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1、矩阵的基本运算矩阵的基本运算解线性方程组解线性方程组矩阵特征值、特征向量矩阵特征值、特征向量用数值方法计算定积分用数值方法计算定积分矩阵的基本运算矩阵的基本运算注意注意k是一个数，是一个数，A是一个矩阵是一个矩阵k*AABAX=B, X=A-1B, A必须是方阵必须是方阵数数 乘乘矩阵的左除矩阵的左除矩阵的右除矩阵的右除A/BXB=A,X=AB-1, B必须是方阵必须是方阵矩阵的行列式矩阵的行列式det(A)A必须为方阵必须为方阵矩阵的逆矩阵的逆inv(A)A必须为方阵，必须为方阵，|A| 0矩阵的乘幂矩阵的乘幂AnA必须为方阵，必须为方阵，n是正整数是正整数矩阵行变换化简矩阵行变换化简 rr
2、ef(A)求求A阶梯形的行最简形式阶梯形的行最简形式P82 表表5-1矩阵的特征值、特征向量、特征多项式矩阵的特征值、特征向量、特征多项式V,D=eig(A)例例1 A=1,-1;2,4;V,D=eig(A)ansV= -985/1393 1292/2889 985/1393 -2584/2889方阵方阵A的特的特征向量矩阵征向量矩阵 D=2 00 3方阵方阵A的特的特征值矩阵征值矩阵 矩阵的特征值、特征向量、特征多项式矩阵的特征值、特征向量、特征多项式p=poly(A)若若A为矩阵，则为矩阵，则p为为A的特征多项式系数；的特征多项式系数；若若A为行向量，则为行向量，则p为以为以A为根的特征多
3、项式系数。为根的特征多项式系数。例例1A=1,-1;2,4;p=poly(A)poly2str(p,x)poly2str(p,x)得到多项式的习惯形式得到多项式的习惯形式ansp=1 -5 6x2-5x+6解解线线性性方方程程组组1、逆矩阵法（求逆法）、逆矩阵法（求逆法）X = 1.4000 0.4000解：解：例例1： 求方程组的解求方程组的解A=2,3;1,-1;b=4;1X=inv(A)*b相当于相当于ans方程的解是：方程的解是：x=1.4, y=0.4A=2,3;1,-1;b=4;1X=Ab逆矩阵法（左除与逆矩阵法（左除与右右除法）除法）例例1： 求方程组的解求方程组的解解解线线性性
4、方方程程组组解：解：ansX = 1.4000 0.4000方程的解是：方程的解是：x=1.4, y=0.4相当于相当于AX=b,X=AbAX=B X=ABXA=B X=B/A 2、初等变换法、初等变换法解解线线性性方方程程组组在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为：1 1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最 后的恒等式后的恒等式“0=00=0”去掉；去掉；2 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解；零的数
5、，那么方程无解。否则有解；3 3、在有解的情况下：、在有解的情况下：l 如果阶梯形方程组中方程的个数如果阶梯形方程组中方程的个数r r等于未知量等于未知量 的个数，那么方程组有唯一的解；的个数，那么方程组有唯一的解；l 如果阶梯形方程组中方程的个数如果阶梯形方程组中方程的个数r r小于未知量小于未知量 的个数，那么方程组有无穷多个解。的个数，那么方程组有无穷多个解。例例5-20 求齐次线性方程组的通解求齐次线性方程组的通解解：解： Matlab命令命令为为1 0 4 00 1 -3/4 -1/40 0 0 0ans=A=1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2; 系数矩阵系数矩阵
6、 rref(A) 行的最简形式行的最简形式解解线线性性方方程程组组分析：分析：将将0=0的一行去掉，则原方程组等价于的一行去掉，则原方程组等价于方程的个数方程的个数未知量个数未知量个数有无穷多个解有无穷多个解取取得得取取得得基础解系为基础解系为，所以方程的通解为所以方程的通解为其中其中 k1, k2 是任意实数是任意实数解解线线性性方方程程组组例例5-21 求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解 解：解： MATLAB命令为：命令为： B=1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2; rref(B) ans = 1 -1 0 -1 1/2 0 0 1
7、 -2 1/2 0 0 0 0 0 例例 求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解解：解： Matlab命令为命令为B=4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8; rref(B)解解线线性性方方程程组组ans=1 0 3/10 00 1 -11/10 00 0 0 1结果分析结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于：行最简形式中最后一行出现了零等于 非零的情况，故方程组无解。非零的情况，故方程组无解。解解线线性性方方程程组组用数值方法计算定积分用数值方法计算定积分yxaby=f(x)的几何意义的几何意义有三种方法：有三种方法： 1、 矩形法矩形法 2、复合梯形公式、复合
8、梯形公式 3、复合辛普生公式、复合辛普生公式P145例例1 1 计算定算定积分分与精确与精确值比比较。h=0.01;x=0:h:1;y=4./(1+x.2);format longz1=sum(y(1:length(x)-1)*h %左矩形公式左矩形公式z2=sum(y(2:length(x)*h %右矩形公式右矩形公式解解 MATLAB命令为命令为: 1 1、使用矩形法求定积分、使用矩形法求定积分输出结果：输出结果：z1 = 3.151575986923129z2 = 3.131575986923129u1 = 0.0100u2 = -0.0100format shortu1=z1-pi,u
9、2=z2-pi 2 2、复合梯形公式、复合梯形公式用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值，比矩形法精度高。以获得定积分的近似值，比矩形法精度高。命令：命令：trapz(x,y)相当于求相当于求3 3、复合辛普生公式、复合辛普生公式用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后求和以获得定积分的近似值，精度比前两种方法高。求和以获得定积分的近似值，精度比前两种方法高。命令：命令：quad(fun,a,b,tol,trace)1、式中、式中fun是被积函数表达式字符串或者是是被积函数表达式字
10、符串或者是M函数函数 文件；文件；2、a,b是积分的下限与上限；是积分的下限与上限；3、tol代表精度，可以缺省（代表精度，可以缺省（tol=0.001）；）；4、trace=1时用图形展示积分过程，省略时无图形。时用图形展示积分过程，省略时无图形。例例3 用三种方法用三种方法计算定算定积分分的的值。解解: 编程如下：编程如下：x=0:0.01:1;y=sin(x.2)./(x+1);s1=sum(y(1:100)*0.01s2=sum(y(2:101)*0.01s3=trapz(x,y)ff=inline(sin(x.2)./(x+1),x)s4=quad(ff,0,1)s4 = 0.1808运行结果为运行结果为：s1 = 0.1787s2 = 0.1829s3 = 0.18080.1808.按左矩形公式计算结果是按左矩形公式计算结果是0.1787，按右矩形公式计按右矩形公式计算结果是算结果是0.1829，按梯形法和辛普生法计算结果都是按梯形法和辛普生法计算结果都是建立函数文件建立函数文件jifen.m：function y=jifen(x)y=sin(x.2)./(x+1);s=quad(jifen,0,1)编程如下：编程如下：
