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1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一一 问题的提出问题的提出三三 两个定理两个定理四四 小结小结 思考题思考题二二 定义无穷小的比较定义无穷小的比较帮助帮助返回返回一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,观观察察各各极极限限极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定义定义: :设设 ， 是同一过程中的两个无穷小，且是同一过程中的两个无穷小，且如果如果 ，称，称 是比是比 高阶的无穷小，记作高阶的无穷小，记作 ；如果如果 ，称，称 是比是比 低阶的无穷小；低阶的无穷小；如果如果 ，称，称 与与 是同阶的无穷小；是同阶的无穷小；如果如果 ,称称 是是
2、 的的k k阶的无穷小阶的无穷小; ;如果如果 ，称，称 与与 是等价的无穷小是等价的无穷小, ,记作记作 ，当，当 时，时， 是比是比 高阶的无穷小，说高阶的无穷小，说明明 比比 趋近于趋近于0的速度快些。的速度快些。 ，当，当 时，时， 是比是比 低阶的无穷小。低阶的无穷小。 ，当，当 时，时， 与与 是同阶无穷小。是同阶无穷小。 ，当，当 时，时， 是关于是关于 的二阶无穷小。的二阶无穷小。 定理定理1： 与与 是等价无穷小的充分必要条件是是等价无穷小的充分必要条件是 证证 于是有于是有 ， .二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换设设 ， 且且 存在，则存在，则 . .证证意义意义: :
3、 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。或者分子分母同时代换。定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )例例1 1解解:原式原式当当 时，常用的时，常用的 等价无穷小等价无穷小例例2 2求求解：解：当当 时，时， ，所以原式所以原式注意：注意：不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .对于
4、代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .错错解解解解例例3 3. 0=例例4 4解解三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时
