阶常系数非齐次线性方程

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1、二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.f(x)常见类型常见类型下面我们讨论特解会具有什么样的表达式下面我们讨论特解会具有什么样的表达式. 由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数的函数,而方程的右端正好是这种形式的函数而方程的右端正好是这种形式的函数.因此因此我们可以推断出方程我们可以推断出方程(1)的特解应该也是指数函数的特解应该也是指数函数与多项式之积与多项式之积.故设故设接着我们可以推导出接着我们可以推导出Q(x)应该是几次多项

2、式应该是几次多项式.将将代入原方程代入原方程(1)中中,整理整理得得综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.3.由非齐次方程解的结构定理知其通解为由非齐次方程解的结构定理知其通解为解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得为原方程通解为原方程通解例例1 1解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程, 得得例例2 2为原方程通解为原方程通解解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入

3、原方程代入原方程, 得得例例3 3为原方程通解为原方程通解利用欧拉公式利用欧拉公式注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.3.由非齐次方程解的结构定理知其通解为由非齐次方程解的结构定理知其通解为解解对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解例例4 4所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为解解对应齐方通解对应齐方通解代入原方程代入原方程例例5 5所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为由解的叠加原理知由解的叠加原理知练习练习因此因此,原方程的通解为原方程的通解为定理定理5.5.1解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例6 6所求非齐次方程特解为所求非齐次方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）取实部）注意注意解解对应齐方通解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例7 7三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）重根）练练 习习 题题练习题答案练习题答案