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1、总复习总复习 无穷级数无穷级数主要内容有主要内容有数项级数的判敛幂级数求收敛域、和函数及函数的幂级数 展开傅氏级数一、基本题型一、基本题型判断下列级数的敛散性例例1例例2 选择题选择题1. 设常数 k 0 , 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛 ;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛与发散与 k 有关 . 提示提示:绝对收敛条件收敛C2. 设 a 是常数 , 则级数(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛 ;(C) 发散 ; (D) 收敛性与 a 的取值有关 .提示提示:而发散 , 故原级数发散 .C绝对收敛( 常数 a 0 ) ( )3. 级数(A) 发散; (B) 条件收敛 ;(C) 绝对
2、收敛; (D) 收敛性与 a 的有关 .提示提示: 因收敛 , 故原级数绝对收敛 , 所以应选 ( C )C4. 设 常数(A) 发散; (B) 条件收敛 ;(C) 绝对收敛; (D) 收敛性与 有关 . 提示提示:而和都收敛, 故原级数绝对收敛C收敛 , 则级数且级数且5. 设(A) 绝对收敛 ; (B) 条件收敛 ;(C) 发散 ; (D) 敛散性与 有关 .提示提示: 正项级数收敛收敛所以原级数绝对收敛A则级数收敛 , 常数肯定收敛肯定收敛的是（ )6. 设 则下列级数中提示提示:D收敛绝对收敛7. 幂级数的收敛半径 R = .提示提示: 当时级数收敛的收敛域为 则 a 应满足 .提示提
3、示: 当且仅当0 a 1 时,0 a 18. 若幂级数9. 设的傅立叶级数为则系数 , 级数在处收敛于提示提示:例例4.判别的敛散性.解解:收敛例例6. 给定级数级数收敛 , 当 时级数发散 . 当 时提示提示:故时原级数收敛 ; 时原级数发散 ;时,故原级数也发散 例例7. 设幂级数必定在区间 内收敛. 的收敛半径为 3 , 则幂级数提示提示: 令则收敛半径均为 3 ,(2 , 4)故必在这里关键用到幂级数求导后收敛半径不变即内收敛 .与例例8. 求幂级数的收敛区间.解解: 令则又时级数的一般项不趋于 0 ,因此收敛区间为解解例例9例例11 求级数的和。解解 设级数例例12例例13例例15. 将函数展成余弦级数解解: 将 f (x) 进行偶延拓和周期延拓 ,则例例17例例19 求级数的和。解解 设
