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1、二、二、二、二、齐齐次微分方程次微分方程次微分方程次微分方程例如例如可改写可改写为故原方程故原方程为齐次方程次方程 。定义定义 则称这方程为齐次方程。则称这方程为齐次方程。假设假设中的函数中的函数的函数，的函数， 可写成可写成在齐次方程在齐次方程 中，中，变量的方程。变量的方程。令令就化为变量可分离就化为变量可分离12解解令令那么那么原方程原方程变为 即即例例1求方程求方程原方程可写成：原方程可写成：分离分离变量得量得两端两端积分得分得所所给方程的通解方程的通解为P-1933例例2解解4可化为齐次微分方程的方程可化为齐次微分方程的方程5都可以用上述方法求解都可以用上述方法求解6一、一一、一一、
2、一一、一阶线阶线性微分方程性微分方程性微分方程性微分方程: :方程方程2分离分离变量后得量后得其通解其通解为:两两边积分，分，得得:-一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程（1） -对应于对应于1的齐次线性微分方程的齐次线性微分方程（2）7常数常数变易法：易法：设设为为1的解，的解，将将代入代入1），得：），得：即即求得求得1的通解的通解为：对应的齐次方程的通解对应的齐次方程的通解 该方程的特解该方程的特解 8例例1 求方程求方程 的通解的通解 。解解分离分离变量得量得其通解其通解为对应齐次方程次方程为先求先求对应齐次方程次方程 的通解的通解设原方程通解原方程通解为（3）那么那么 将将3
3、式与式与4式式 代入原方程，整理得代入原方程，整理得（4）法法1 常数常数变易法易法9两端两端积分得分得 ，待定函数，待定函数为原方程通解原方程通解为法法2 公式法公式法10例例2 2解解11四、伯努利方程四、伯努利方程四、伯努利方程四、伯努利方程（6）可化可化为代入代入6式，可将伯努利方程化式，可将伯努利方程化为一一阶线性微分方程：性微分方程： 求出此方程的通解后，以求出此方程的通解后，以 代代 z，便得方程，便得方程6的通解。的通解。引入新的未知函数引入新的未知函数12 例例1求方程求方程 的通解的通解 。 解解得得 令令该方程通解为该方程通解为以以 代代 z ，得所求方程通解为：，得所求
4、方程通解为：即即 利用变量替换把一个较复杂的微分方程化为较简单的微分利用变量替换把一个较复杂的微分方程化为较简单的微分 方程，是解方程，是解 微分方程的一种常用方法。微分方程的一种常用方法。注注13例例 4 解方程解方程法法1一一阶线性微分方程解略）。性微分方程解略）。令令 x + y = u，分离分离变量得量得以以 u = x + y 代入即得原方程通解代入即得原方程通解为两端两端积分得分得解解把方程变形为把方程变形为法法2那么那么 y = u - x 代入原方程得代入原方程得14小小结：1. 齐次方程齐次方程令令2. 线性微分方程线性微分方程一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程3. 伯努利方程伯努利方程令令15
