世纪金榜理科数学(广东版)

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1、第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式考考纲考情考情广广东五年五年3 3考高考指数考高考指数: : 1.1.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sinsin2 2x xcoscos2 2x x1 1，2.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式的正弦、余弦、正切的诱导公式五年五年考考题2013 T162013 T162012 T162012 T162011 T162011 T16 考情考情播播报1.1.已知角的一个三角函数已知角的一个三角函数值, ,求其他三角函数求其他三角函数值是高是高考考考考查的的热点点2.2.

2、作作为一种运用与三角恒等一种运用与三角恒等变换相相结合出合出现在解答在解答题中中, ,主要起到化主要起到化简三角函数关系式的作用三角函数关系式的作用3.3.题型主要以型主要以选择题、填空、填空题为主主, ,属中低档属中低档题【知识梳理知识梳理】1.1.同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系(1)(1)平方关系：平方关系：_._.(2)(2)商数关系：商数关系：_._.sinsin2 2coscos2 21 12.2.三角函数的三角函数的诱导公式公式组数数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+( (kZkZ) )+- - - + +正弦正弦sinsin_余弦余弦coscos_- -sin

3、sin- -sinsinsinsincoscoscoscos- -coscoscoscos- -coscossinsin- -sinsin组数数一一二二三三四四五五六六正切正切tantan_口口诀函数名不函数名不变符号看象限符号看象限函数名改函数名改变符号看象限符号看象限tantan- -tantan- -tantan3.3.特殊角的三角函数特殊角的三角函数值角角0 03030454560609090120120150150180180角角的的弧度数弧度数0 0sinsin_1 1_0 0coscos_0 0_-1-1tantan_1 1_0 00 01 10 0【考点自测考点自测】1.(1.

4、(思考思考) )给出下列命题：给出下列命题：sinsin2 2coscos2 21;1;同角三角函数的基本关系式中角同角三角函数的基本关系式中角可以是任意角可以是任意角; ;六组诱导公式中的角六组诱导公式中的角可以是任意角可以是任意角; ;诱导公式的口诀诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”中的中的“符号符号”与与的大小无关的大小无关; ;若若sin(ksin(k) (kZ)(kZ)，则，则sin sin 其中正确的是其中正确的是( )( )A. B. A. B. C. C. D.D.【解析解析】选选B.B.错误错误.sin.sin2 2coscos2 21 1中的角不

5、是同角中的角不是同角. .错误错误. .在在 中中 kZkZ. .错误错误. .对于正、余弦的诱导公式角对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于可以为任意角，而对于正切的诱导公式正切的诱导公式 kZkZ. .正确正确. .诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角都看成都看成锐角时原函数值的符号，因而与锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关的大小无关. .错误错误. . 当当k k2n(nZ)2n(nZ)时，时，sin(ksin(k)sin(2nsin(2n)sin(sin()sin sin 则则sin = sin = 当当k k2n2n1(nZ)1(nZ

6、)时，时，sin(ksin(k)sinsin(2n(2n1)1)sin(2nsin(2n)sin(sin()sin sin 2.sin 5852.sin 585的值为的值为( )( )【解析解析】选选A.sinA.sin 585 585sin(360sin(360225225) )sin 225sin 225sin(180sin(1804545) )sin 45sin 453.3.若若tan tan 2 2，则，则 的值为的值为( )( )【解析解析】选选B. B. 4.(20144.(2014汕头模拟汕头模拟) )已知已知sin(-sin(-)= )= 且且 则则tan =_.tan =_.

7、【解析解析】因为因为sin(-sin(-)=-)=-sin(-sin(-)=-sin ,)=-sin ,又因为又因为sin(-sin(-)= )= 所以所以sin =sin =又因为又因为 所以所以所以所以答案：答案：5.(20145.(2014天津模拟天津模拟) )化简化简 =_.=_.【解析解析】= =答案：答案：1 1 6.6.已知已知 则则 _._.【解析解析】 答案答案: :考点考点1 1 利用诱导公式求值利用诱导公式求值【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014济宁模拟济宁模拟) ) =_. =_.(2)(2)已知已知 则则 _._.【解题视点解题视点】(1)(1)利用诱导

8、公式化为锐角的三角函数值求解利用诱导公式化为锐角的三角函数值求解. .(2)(2)寻求寻求 与与 的联系，再利用诱导公式求解的联系，再利用诱导公式求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)原式原式= = = =答案：答案：1 1(2)(2)因为因为所以所以 答案：答案：【互动探究互动探究】在本例在本例(2)(2)的条件下，求的条件下，求【解析解析】【规律方法规律方法】1.1.给角求值的原则和步骤给角求值的原则和步骤(1)(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了原则：负化正、大化小、化到锐角为终了. .(2)(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为步骤：利用诱导公式可以把任意角的三

9、角函数转化为0 0之间角的三角函数步骤：之间角的三角函数步骤： 2.2.给值求值的原则给值求值的原则寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现若出现 的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系, ,然后然后求解求解. .常见的互余与互补关系常见的互余与互补关系(1)(1)常见的互余关系有：常见的互余关系有： 与与 与与 与与 等等. .(2)(2)常见的互补关系有：常见的互补关系有： 与与 与与 等等. .遇到遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想此类问题，不妨考虑

10、两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题方法解决问题. .【变式训练变式训练】1.(20141.(2014珠海模拟珠海模拟)sin 480)sin 480的值为的值为( )( )【解析解析】选选B.sinB.sin 480 480=sin(360=sin(360+120+120)=sin 120)=sin 120= =2.sin(2.sin(1 2001 200) )cos 1 290cos 1 290coscos( (1 0201 020) )sin(sin(1 0501 050) )tan 945tan 945_._.【解析解析】原式原式sin 1 200sin 1 200cos

11、1 290cos 1 290coscos 1 020 1 020( (sin 1 050sin 1 050) )tan 945tan 945sin 120sin 120cos 210cos 210coscos 300 300( (sin 330sin 330) )tan 225tan 225( (sin 60sin 60) )( (cos 30cos 30) )cos 60cos 60sin 30sin 30tan 45tan 45答案：答案：2 2【加固训练加固训练】1.sin 6001.sin 600tan 240tan 240的值等于的值等于( )( )【解析解析】选选B.sinB.si

12、n 600 600tan 240tan 240sin(720sin(720120120) )tan(180tan(1806060) )sin 120sin 120tan 60tan 602.2.已知已知 =a(a=a(a1,a0),1,a0),求求 的值的值. .【解析解析】考点考点2 2 利用诱导公式化简、证明利用诱导公式化简、证明【典例典例2 2】(1)(1)已知已知A A (kZ)(kZ)，则，则A A的值构成的集合是的值构成的集合是( )( )A.1A.1，1,21,2，2 B.2 B.1,11,1C.C.1 D.11 D.1，1,0,21,0,2，22(2)(2014(2)(2014

13、福州模拟福州模拟) ) _._.【解题视点解题视点】(1)(1)根据根据k k的奇偶性分类讨论求解的奇偶性分类讨论求解. .(2)(2)利用诱导公式化简约分利用诱导公式化简约分. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.当当k k2n (2n (nZnZ) )时，时，原式原式当当k k2n2n1(nZ)1(nZ)时，时，原式原式综上，原式综上，原式1.1.(2)(2)原式原式答案：答案：1 1【规律方法规律方法】1.1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用

14、诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少数名称最少. .(2)(2)要求：要求：化简过程是恒等变形；化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值. .2.2.证明三角恒等式的主要思路证明三角恒等式的主要思路(1)(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简. .(2)(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式左右归一法：使两端化异为同，把左右

15、式都化为第三个式子子. .(3)(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明. .提醒：提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有由终边相同的角的关系可知，在计算含有22的整数倍的整数倍的三角函数式中可直接将的三角函数式中可直接将22的整数倍去掉后再进行运算，如的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5cos(5)cos(cos()coscos . .【变式训练变式训练】证明：证明：【证明证明】左边左边= = = = =tan =tan =右边，所以原式成立右边，所以原式成立. .【加固训练加固训练】1. =_.1. =_.【解析解析】原式原式 答

16、案：答案：1 12. 2. _._.【解析解析】原式原式sin sin sin sin 0.0.答案：答案：0 0 考点考点3 3 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 【考情考情】同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活活. .在高考中以选择题、填空题的形式出现，考查求值、化简、在高考中以选择题、填空题的形式出现，考查求值、化简、1 1的代换等问题的代换等问题. .高频考点高频考点通关通关 【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014海口模拟海口模拟) )记记coscos( (8080) )k k，那么，那么tan 10

17、0tan 100等于等于( )( )(2)(2014(2)(2014银川模拟银川模拟) )若若tan tan 则则_，sinsin2 22sin 2sin coscos _._.【解题视点解题视点】(1)(1)注意注意8080角与角与100100角互补，再利用同角关系角互补，再利用同角关系求解求解. .(2)(2)将所求表达式看成关于将所求表达式看成关于sin sin 与与coscos 的齐次分式，利用的齐次分式，利用商数关系转化成关于商数关系转化成关于tan tan 的表达式求解的表达式求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为coscos( (8080) )coscos

18、 80 80k k，所以所以所以所以(2) (2) sinsin2 22sin 2sin coscos 答案：答案：【通关通关锦囊囊】 高考指数高考指数重点重点题型型破解策略破解策略在在sin,cossin,cos与与tantan三者中知一求二三者中知一求二利用平方关系和商数关利用平方关系和商数关系构造方程系构造方程组求解求解知知tantan的的值求关于求关于sinsin与与coscos的的齐n n次次分式的分式的值分子分母同除以分子分母同除以coscosn n, ,转化成关于化成关于tantan的式子的式子求解求解高考指数高考指数重点重点题型型破解策略破解策略1 1的代的代换问题含有含有si

19、nsin2 2,cos,cos2 2及及sincossincos的式子求的式子求值问题, ,可可将所求式子的分母看作将所求式子的分母看作“1 1”, ,利利用用“sinsin2 2+ cos+ cos2 2=1=1”代代换后后转化化为“切切”后求解后求解【关注关注题型型】利用同角关系利用同角关系化化简对于既有切又有弦的于既有切又有弦的问题, ,可利用可利用商数关系弦切互化商数关系弦切互化统一函数后求一函数后求解解利用同角关系利用同角关系消元消元利用利用“sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1”可起到消可起到消元降元降幂的作用的作用证明三角恒等明三角恒等式式仔仔细观察左右两察左右两边之

20、之间的角、函的角、函数名及有关运算之数名及有关运算之间的差异及的差异及联系系, ,从复从复杂一一边进行行变形向另一形向另一边转化化【通关通关题组】1.(20141.(2014茂名模拟茂名模拟)是第一象限角，是第一象限角，tan tan ，则，则sin sin ( )( )【解析解析】选选B.tanB.tan sinsin2 2 coscos2 21 1，且且是第一象限角，所以是第一象限角，所以sin sin 2.(20142.(2014安庆模拟安庆模拟) )已知已知sin(3sin(3) 则则sin sin coscos 等于等于( )( )【解析解析】选选A.A.因为因为sin(3sin(3

21、)sin(sin() 所以所以sin sin 2cos 2cos ，所以所以tan tan 2 2，所以所以3.(20143.(2014深圳模拟深圳模拟) )已知已知 =_.=_.【解析解析】答案：答案：【加固训练加固训练】1.(20141.(2014长沙模拟长沙模拟) ) ( )( )A.tanA.tan x x B.sinB.sin x x C.cosC.cos x x D. D. 【解析解析】选选D. D. 2.(20142.(2014肇庆模拟肇庆模拟) )求证：求证：【证明证明】右边右边= = = = =左边，所以原等式成立左边，所以原等式成立. .3.(20143.(2014珠海模拟

22、珠海模拟) )是否存在是否存在 (0(0，)，使等，使等式式 同时成同时成立？立？若存在，求出若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由的值，若不存在，请说明理由【解析解析】假设存在假设存在,使得等式成立，即有使得等式成立，即有由诱导公式可得由诱导公式可得2 22 2得得sinsin2 23cos3cos2 22 2，解得，解得coscos2 2又因为又因为 所以所以 或或将将 代入代入得得又又(0(0，)，所以，所以 代入代入可知符合可知符合. .将将 代入代入得得又又(0(0，),),所以所以 代入代入可知不符合可知不符合. .综上可知，存在综上可知，存在 满足条件满足条件. .【巧思妙解巧

23、思妙解3 3】巧用平方关系求值巧用平方关系求值【典例典例】(2014(2014汉中模拟汉中模拟) )已知已知是三角形的内角，且是三角形的内角，且sin sin coscos 则则tan =_.tan =_.【常规解法常规解法】由由消去消去coscos 整理得，整理得，25sin25sin2 25sin 5sin 12120.0.解得解得sin sin 或或sin sin 因为因为是三角形的内角，是三角形的内角，所以所以sin sin 又由又由sin sin coscos 得，得，coscos 所以所以tan tan 答案：答案：【解法分析解法分析】1.1.直接利用平方关系，构造方程组求出直接利

24、用平方关系，构造方程组求出sin sin ，然后再求，然后再求coscos ，是三角运算问题的常规思路，是三角运算问题的常规思路. .2.2.解法体现了方程思想，但计算量大，运算过程极易出错解法体现了方程思想，但计算量大，运算过程极易出错. . 【巧妙解法巧妙解法】因为因为sin sin +cos+cos = =所以所以(sin (sin +cos+cos ) )2 2=1+2sin =1+2sin coscos = =即即2sin 2sin coscos = =所以所以(sin (sin -cos-cos ) )2 2=1-2sin =1-2sin coscos = =又又2sin 2sin

25、 coscos = 0 = 0，所以所以sin sin 0 0，coscos 0 0，即，即sin sin -cos-cos 0 0，故故sin sin -cos-cos = =由由 得得 所以所以答案：答案：【妙解分析妙解分析】1.1.处由平方关系得到处由平方关系得到sin sin coscos 与与sin sin coscos 的关的关系，为下一步应用求系，为下一步应用求sin sin coscos 做好铺垫做好铺垫. .2.2.处再次利用了平方关系：处再次利用了平方关系：sinsin2 2coscos2 21 1，得到了，得到了sin sin coscos 与与sin sin cosco

26、s 的关系，突出了整体思想，减的关系，突出了整体思想，减少了运算量少了运算量. . 【小试牛刀小试牛刀】已知已知sin sin -cos-cos = ,(0,), = ,(0,),则则tan =( )tan =( )【解析解析】常规解法：选常规解法：选A.A.由由 消去消去coscos 整理得整理得2sin2sin2 22 sin +12 sin +10 0，解得，解得sin sin . .又由又由sin sin -cos-cos = = 得，得，coscos =- , =- ,故故tan =tan = =-1. =-1.巧妙解法：选巧妙解法：选A.A.若若 , ,则由图知则由图知sin sin -cos-cos 1, 1, = 1,且且(0,),(0,),则则 , ,因为因为 所以解得所以解得sin = ,cos =- sin = ,cos =- ，故故tan = =-1.tan = =-1.