光的干涉与衍射超经典.pdf

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1、第 14 章第 14 章 干涉和衍射 干涉和衍射 14.1 波的叠加 .2 14.2 杨氏双缝干涉实验.4 例 14.1：双缝实验.6 14.3 光强分布 .6 例 14.2：三缝干涉的光强.8 14.4 衍射 .10 14.5 单缝衍射 .11 例 14.3：单缝衍射.12 14.6 单缝衍射的光强 .12 14.7 双狭缝衍射条纹的光强.15 14.8 衍射光栅 .16 14.9 总结 .17 14.10 附录：总电场的计算.18 14.11 解题.21 14.11.1 双缝实验.21 14.11.2 相位差.21 14.11.3 干涉增强.22 14.11.4 双缝干涉的光强.23 14

2、.11.5 二级亮条纹.23 14.11.6 双缝衍射的光强.24 14.12 概念题 .26 14.13 附加题 .26 14.13.1 双缝干涉.26 14.13.2 干涉-衍射条纹.26 14.13.3 三缝干涉.26 14.13.4 双缝干涉的光强.27 14.13.5 二级极大.27 14.13.6 干涉-衍射条纹.27 1干涉和衍射 干涉和衍射 14.1 波的叠加波的叠加 考虑两个或多个波同时经过的空间区域。按照叠加原理，净位移可用矢量或由各个位移的代数和给出。干涉是基于同样的原理，由两个或多个波叠加组成的复合波。叠加原理的概念见图 14.1.1。 图图 14.1.1 波的叠加原理

3、。(b) 干涉相长；(c) 干涉相消。 假定我们有两个波： 叠加后的波为 如果),(tx的振幅大于单个波的振幅（图 14.1.1(b)） ，则干涉加强；反之则干涉相消（图 14.1.1(c)） 。 作为例子，我们来考虑下述两个波在 t = 0 时刻的叠加： 叠加后的波为 这里我们用了 以及 。进一步运用恒等式 2 以及 从而得到 其中。波叠加的图像见图 14.1.2。 图图 14.1.2 两支正弦波的叠加。 我们看到，在1)sin(=+x时，或=2x时，波有最大振幅。这时干涉增强。反之，在61. 2=xrad 时，干涉相消，此时0sin=。 为了形成干涉条纹，入射光必须满足两个条件： (i)

4、光源必须是相干的。就是说，来自多个波源的平面波相互间必须保持固定的相位关系。例如，如果两支波完全不同相=，那么这个相位差就不可能随时间保持不变。 (ii) 光必须是单色的。就是说，光是由单一波长k/2=的波组成的。 白炽灯发出的光是不相干的，因为这种光由不同波长的波组成，它们之间无法保持固定的相位关系。因此观察不到干涉条纹。 图图 14.1.3 白炽灯光源 314.2 杨氏双缝干涉实验杨氏双缝干涉实验 1801 年，托马斯杨做了一个实验用来揭示光的性质。这个双缝实验的示意图见图 14.2.1。 图图 14.2.1 杨氏双缝干涉实验 单色光源入射到装有狭缝S0的第一个屏。透射的光入射到装有两平行

5、狭缝S1和S2的第二个屏，它相当于两个相干光源。从这两个狭缝出来的光波发生干涉，并在观察屏上形成干涉条纹。亮条纹对应于干涉极大， 暗条纹对应于干涉极小。 图 14.2.2 显示了波叠加形成干涉增强和干涉相消的方式。 图图 14.2.2 干涉增强发生在 (a) P点和 (b) P1点；干涉相消发生在 (c) P2点。 双缝干涉的几何图像见图 14.2.3。 图图 14.2.3 双缝干涉实验 考虑落到屏上距O点距离为y的P点的光，双缝距屏的距离为 L，双缝间距为 d。由狭缝 2 出射的光在到达 P 时要比狭缝 1 出射的光的行程多出12rr =的距离。这个额外距离称为程差。由图 13.2.3，利用

6、余弦定理，我们有 和 4 用方程(14.2.2)减去方程(14.2.1)，得 在L d，即屏到狭缝的距离远大于缝间距离的极限情形下，r1与r2之和可以近似为，这样程差变成 rrr221+ 在此极限下，两束光r1与r2基本上可视为平行束（见图 14.2.4） 。 图图 14.2.4 在 L d 极限下，两束光之间的程差 两束光是同相位还是不同相取决于的值。当为零或是波长的整数倍时，屏上出现的是干涉增强： 这里 m 称作干涉级数。零级（m = 0）极大对应于0=的中央亮条纹，一级极大（）是中央条纹两边的亮条纹。 1=m反之，当为半波长2/的奇整数倍时，到达 P 点的波相位相差 180，导致干涉相消

7、，因而屏上出现的是暗条纹。干涉相消的条件是： 在图 14.2.5 中，我们展示了2/=（m = 0）程差如何引起干涉相消，以及=（m = 1）如何引起干涉增强的图像。 图图 14.2.5 (a) 干涉相消；(b) 干涉增强 5为了确定条纹在屏上位置距 O 点的垂直距离，除了条件 L d 之外，我们还假定缝间距离 d 远远大于单色光的波长，d。这个条件意味着角非常小，故有 将上述两个表示干涉增强和干涉相消的条件分别代入方程(14.2.5)和(14.2.6)， 即可得亮条纹和暗条纹的位置，分别为 和 例例 14.1：双缝实验：双缝实验 假定在双缝实验安排中，d = 0.150 mm，L =120

8、cm， = 833 nm，y = 2.00 cm。 (a) 光从双狭缝到屏上 P 点的程差是多少？ (b) 用 表示这个程差。 (c) P 点对应的是光强极大值、极小值还是中等亮度值？ 解： 解： (a) 程差由sind=给出。当时，yL 很小，近似有Ly/tan=。因此 (b) 由 (a) 的答案可得 或00. 3=。 (c) 由于程差是 的整数倍，故 P 点对应的是光强极大值。 14.3 光强分布光强分布 考虑如图 14.3.1 所示的双缝实验。 图图 14.3.1 双缝干涉 6屏上 P 点总的瞬时电场Er等于两个源的矢量和：21EEErrr+=。同时，坡印亭通量 S 正比于总电场的平方：

9、 取 S 的时间平均，可得 P 点的总光强 I 为 交叉项21EErr2表示两束光波之间的关联。对于非相干光源，由于1Er和2Er之间不存在确定的相位关系，故交叉项为零，因此非相干光源的光强只是两单独光强的简单相加： 对相干光源，交叉项不为零。事实上，对干涉增强，21EErr=，故叠加后光强为 即 4 倍于单个光源的光强。反之，当干涉相消时，21EErr=，1I21EErr，故总光强变为 正如所预料的那样。 假定狭缝出射的波为正弦平面波。令来自缝 1 和缝 2 的波在 P 点的电场分量分别为 和 这里假定波从狭缝出来时具有同样的振幅。为简单起见，我们将P点取为原点，这样波函数里kx的依赖性可忽

10、略。由于来自缝 2 的波到P点要多走额外的程差0E，故E2相对于来自缝 1 的E1有一个额外的相移。 对于干涉增强，程差=对应于2=的相移。于是有 或 假定两个电场指向相同的方向，则总电场即可由 13.4.1 节讨论的叠加原理获得： 7这里我们用了三角恒等式 光强 I 正比于总电场平方的时间平均值： 或 这里I0是屏上最大光强。代入方程(14.3.4)，上述表达式变为 图图 14.3.2 光强与sind的函数关系 对于小角度，利用方程(14.2.5)，光强可改写成 例例14.2：三缝干涉的光强：三缝干涉的光强 假定一个单色相干光源发出的光经过三个平行狭缝，相邻狭缝间的距离均为 d，如图 14.

11、3.3 所示。 图图 14.3.3 三狭缝干涉 8各狭缝透过的波具有相同的振幅E0和角频率，且到达P点时的位相差sin2d=固定。 (a) 证明：P 点光强为 这里I0是中央主极大的最大光强。 (b) 主极大与次极大的光强比是多少？ 解： 解： (a) 令三波在 P 点的电场振幅分别为 利用三角恒等式 E1和E3的和为 P 点的总电场振幅为 其中sin2d=。光强正比于2E： 这里我们用了2/1)(sin2=+t。当1cos=时有最大光强。因此， 即是说 (b) 干涉条纹见图 14.3.4。 9 由图可见，极小光强为零，出现在2/1cos=位置上。主极大的条件是1cos+=，由此给出。此外，在

12、1/0=II1cos=位置上还有第二级极大。这个条件意味着) 12(+=m或,.2, 1, 0),2/1(sin=+=mmd故光强比为9/1/0=II。 14.4 衍射衍射 波除了干涉之外， 还有另一个特性衍射， 一种波在经过障碍物或小孔时表现出的弯曲现象。衍射现象可用如下的惠更斯原理来说明。 波前上每个无阻碍的点都是下一级球面波的波源。 新的波前是一个与所有下一级球面波相切的曲面。 波前上每个无阻碍的点都是下一级球面波的波源。 新的波前是一个与所有下一级球面波相切的曲面。 图 14.4.1 展示了基于惠更斯原理的波的传播。 图图 14.4.1 基于惠更斯原理的波的传播 按照惠更斯原理，入射到

13、两缝上的光波会扩散开来并在附近区域显示出干涉图案（图 14.4.2a） 。这种图案称为衍射条纹。另一方面，如果不出现绕射，光波将沿直线前进，这时不会出现任何衍射条纹（图 14.4.2b） 。 我们主要讨论所谓夫琅和费衍射这样一种特殊情形。在此情形下，由狭缝出来的所有光线近似于彼此平行。为使衍射条纹出现在屏上，我们在屏缝间放置一个凸透镜以使光线聚焦到屏上。 图图 14.4.2 (a) 光线散开形成衍射条纹；(b) 如果光波路径是直线，就不存在衍射条纹。 1014.5 单缝衍射单缝衍射 在杨氏双缝干涉实验中，我们假定缝宽很小，这样每个狭缝都可视为一个点光源。在本节里，我们将缝宽看成是有限的，并观察

14、夫琅花费衍射是如何形成的。 令单色光入射到缝宽为 a 的狭缝上，如图 14.5.1 所示。 图图 14.5.1 光经过缝宽为 a 的狭缝形成的衍射 在夫琅和费衍射中，穿过狭缝的所有光线都是彼此平行的。不仅如此，按照惠更斯原理，狭缝的每个点都是一个光源。为简单起见，我们将狭缝分成两个半狭缝。在第一级极小位置上，来自上狭缝的每条光线均与来自下狭缝的对应光线有 180的相位差。例如，假定有 110 个点，前 50 个点位于下狭缝，51 到 100 位于上狭缝。源 1 与源 51 间距为，程差2/a2/=。源 2 与源 52 间距也是，以此类推。这样，第一极小的条件是 2/a 或 对等间距 a / 4

15、，程差4/sina=的四个点形成的波前做同样的操作，干涉相消的条件是 将这种讨论一般化，我们可以证明，干涉相消将出现在 图 14.5.2 给出了单狭缝衍射的光强分布。这里0=是极大值。 图图 14.5.2 单狭缝衍射的光强分布 11通过比较方程(14.5.4)和(14.2.5)，我们看到，如果将单狭缝的缝宽 a 换成双狭缝的缝间距 d，单狭缝衍射的极小值条件变成了双狭缝干涉的极大值条件。其原因是因为在双狭缝情形下，缝宽被认为小到只是一个单个的光源，同一缝中光线间的干涉可忽略不计。而在单狭缝情形里，单狭缝衍射的极小条件考虑的恰恰是同一缝中光波间的干涉。 例例14.3：单缝衍射：单缝衍射 波长nm

16、600=的单色光通过一个缝宽为 0.800 mm 的单狭缝。 (a) 如果衍射条纹的第一级极小在屏上的位置距中心 1.00 mm，那么屏缝间的距离是多大？ (b) 计算中央条纹的宽度。 解： 解： (a) 干涉极小的一般条件是 对于小，有近似关系Ly/tansin=，因此有 第一级极小对应于 m = 1，如果，则 mm00. 11=y (b) 中央主极大的宽度为（见图 14.5.2） 14.6 单缝衍射的光强单缝衍射的光强 我们怎么来确定单狭缝衍射产生的条纹的光强分布呢？要作此计算，必须先求出狭缝处每一点光源在屏上某点的总电场。 我们将单狭缝分割成 N 个等宽Nay/=的小区域，如图 14.6

17、.1 所示。凸透镜将平行光束聚焦到屏上 P 点。我们假定y，这样来自同一给定区域的所有光线均同相位，而相邻两个区域的相对程差为siny=。于是相对相移由如下比值给出： 12 图图 14.6.1 单狭缝夫琅和费衍射 假定第一个点（从上往下数）的波前到达屏上 P 点时的电场为 来自与点 1 相邻的点 2 的电场有相移，其电场为 由于每个相邻的分量相对于前一个均有相同的相移，故第 N 个的电场为 总电场是这些单个贡献的加和： 注意，点 N 与点 1 之间的总相移是 此处ayN=。利用代数和三角几何关系， 方程(14.6.5)给出的总电场的表达式可简化。用其他方法来简化方程(14.6.5)见附录。为此

18、我们有， 将各项相加，并注意到除两项之外左边的所有项相消： 左边剩下的两项相加有 13 因此有结果 故总电场为 光强正比于2E的时间平均值： 我们将光强表示为 这里引入因子N2是为了保证对应于中央主极大的光强0I)0(0=。在0的极限情形下， 于是光强变为 在图 14.6.2 中，我们给出了光强比关于0/II2/的函数图。 图图 14.6.2 单狭缝夫琅和费衍射的光强 从方程(14.6.15)，我们立刻可知极小光强的条件是 14 或 图 14.6.3 画出了=a和2=a两种情形下光强与角之间的函数关系。 我们看到， 随着比值/a的增长，峰变得越来越窄，光强更多地集中在中央主峰内。这里没给出I0

19、随缝宽a的变化关系。 图图 14.6.3 =a和2=a两种情形下单狭缝衍射光强与角之间的函数关系 14.7 双狭缝衍射条纹的光强双狭缝衍射条纹的光强 在前几节，我们已经看到单缝衍射和双缝干涉的光强分布： 假定现在我们有两个狭缝，每个的宽为 a，缝间距为 d。这样双缝干涉的条纹将包括单缝衍射条纹。条纹的总光强就是两个函数的乘积： 上述方程的第一项和第二项分别表示“干涉因子”和“衍射因子” 。前者产生的是干涉亚结构，而后者则形成干涉峰的数目趋于极限时的包络线（见图 14.7.1） 。 15 图图 14.7.1 具有单狭缝衍射的双缝干涉 我们已经看到，当md=sin时，干涉出现极大值。另一方面，衍射

20、第一极小的条件是=sina。因此，第 m 级干涉极大有可能正好与衍射的第一极小相重合。m 值可由下式获得： 或 由于第 m 级条纹不可见，故中央条纹两边每边的条纹数是1m。因此中央衍射极大内的条纹数是 14.8 衍射光栅衍射光栅 衍射光栅由数目很大的 N 条缝宽为 a 缝间距为 d 的平行狭缝组成，见图 14.8.1。 图图 14.8.1 衍射光栅 如果入射的光是平面光，且衍射使得每条狭缝出射的光具有很大的衍射角，以致所有狭缝的出射光相互间均发生干涉。与双狭缝情形类似，每一对相邻狭缝的光在到达屏上某一点时的相对程差是sind=。如果这个程差等于波长的整数倍，那么所有的狭缝出射的光在到达屏上该点

21、时将彼此干涉极大，屏上角的地方将出现亮点。因此主极大的条件是 如果光的波长和第 m 级极大的位置已知，则这个缝间距离 d 很容易推导出来。 光强极大的位置不依赖于狭缝的数目 N。 但极大值的明锐程度随 N 的增大明显上升。 可以证明， 16极大值的宽度反比于 N。 在图 14.8.2 中， 我们显示了 N = 10 和 N = 30 的衍射光栅的光强分布与2/的函数关系。注意，随 N 的增大，中央主极大变得越发明亮和狭窄。 图图 14.8.2 衍射光栅的光强分布 (a) N = 10；(b) N = 30 这一观察结果可作如下解释：假定如果只有两个狭缝，并假定给出中央主极大的角（已知/sin2

22、 a=）只是稍许增大一点点，那么这两束波仍将几乎是同相的，并产生宽大的极大值条纹。但在有大量刻槽的光栅情形，即使角对产生极大值条纹位置哪怕有一星半点的偏离，都会使相邻较远的两条光波间彼此不同相。由于光栅产生的峰要比双缝干涉的峰明锐得多，因此它能更精确地测量光的波长。 14.9 总结总结 干涉干涉是两个或多个波按照叠加原理合成形成的复合波。 在杨氏双缝实验杨氏双缝实验中，缝间距为 d 的两狭缝出射的单色相干光形成干涉增强干涉增强的条件是 这里 m 称为级数级数。反之，形成干涉相消干涉相消的条件是 双缝干涉条纹的光强是 这里I0是屏上的最大光强。 衍射衍射是当波经过某个障碍物或小孔时发生的弯曲现象

23、。在单狭缝夫琅和费衍射中，发生干涉相消的条件是 17这里 a 是缝宽。干涉条纹的光强为 这里/sin2 a=是单缝上端的波与下端的波之间的总相位差，I0是0=时的光强。 对于缝宽为 a 缝间距为 d 的双缝，干涉条纹中也包括单狭缝的衍射条纹，其光强是 14.10 附录：总电场的计算附录：总电场的计算 在 14.6 节，我们用三角公式得到了单缝衍射的总电场。下面我们用另外两种方法来简化方程(14.6.5)。 (1) 复数方法 总电场 E 可以写成几何级数。由欧拉公式 我们可以写出 这里“Im”表示虚部。因此我们有 这里我们用了 于是总电场变为 这就是方程(14.6.12)。 18(2) 矢量图法

24、 另外，我们还可以用矢量图法来得到总电场中与时间无关的部分。在进行之前，我们先来看看两个波函数是如何进行矢量相加的。 图图 14.10.1 矢量相加 令sin101EE=，)sin(202+=EE，则总电场为 运用矢量图法，E1和E2分别由二维矢量1Er和2Er表示，其和21EEErrr+=见图 14.10.1。 这种几何处理的概念是基于这样一个事实：当两个矢量相加时，结果矢量的分量等于各矢量相应分量之和。而Er的垂直分量，它等于1Er和2Er的垂直投影之和，就是要求的总电场 E。 如果两个场具有相同的振幅，则矢量图变成 2010EE= 图图 14.10.2 等幅度的两个矢量相加 由上图我们看

25、到，=+，=+ 2。由此给出 19此外， 合并两个方程，我们有 故总电场为 利用方程(14.3.18)的三角函数恒等式，你也可以得到这个总电场。 现在我们回到 14.6 节里计算单狭缝衍射光强的有 N 个光源的情形。在方程(14.6.5)中令 t = 0，总电场中与时间无关的部分为 相应的矢量图见图 14.10.3。我们注意到，所有矢量都处于半径为 R 的圆上，相邻矢量间的相位差为。 图图 14.10.3 确定 E 的时间无关部分的矢量图 由图可见， 由于弧长是RNE=10，因此我们有 其中N=。这个结果与用代数法算得的方程(14.6.11)完全一致。光强正比于，重写如下： 20E 它给出方程

26、(14.6.15)的结果。 2014.11 解题解题 14.11.1 双缝实验双缝实验 在杨氏双缝实验中，假定缝间距 d = 0.320 mm。一束 500 nm 的光照在缝上形成干涉条纹。在范围内极大值有几个？ oo0 .450 .45解： 解： 在观察屏上，当两波干涉增强时光强极大，此时有 这里是光的波长。在时，因此有 o0 .45=m1020. 34=dm105009= 就是说，在范围内有 452 个极大值。根据对称性，在范围内也有 452个极大值，加上 m = 0 的中央极大，总的极大值有 o0 .45000 .45 d 的屏上干涉极小的位置近似为 这里 n 不是 3 的倍数。 (b)

27、 令 L = 1.2 m， = 450 nm，d = 0.10 mm。屏上相邻两极小值的间距是多少？ 2614.13.4 双缝干涉的光强双缝干涉的光强 在双缝干涉实验中，假如缝宽不同，且屏上 P 点的电场由下式给出： 证明：P 点的光强为 这里 I1和I2是各个缝在P点的光强。 14.13.5 二级极大二级极大 在单缝衍射条纹中，我们在 14.6 节给出了光强 (a) 解释：为什么二级极大的条件不是,.3 , 2 , 1,)2/1(2/=+=mm (b) 将上述表达式对 I 求导，证明：二级极大的条件为 (c) 画出2/=y和)2/tan(=y曲线。 用具有图形函数或数学软件的计算器计算两曲线相交时的值，并由此求得第一个和第二个二级极大的值。将你的答案与)2/1(2/+=m比较。 14.13.6 干涉干涉-衍射条纹衍射条纹 如果双缝干涉条纹的中央衍射极大内有 7 个条纹，你能求出缝宽和缝间距吗？ 27