《多维随机变量的数字特征ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多维随机变量的数字特征ppt课件（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章 随机随机变量的数字特征量的数字特征 分布函数可以完好地描画随机变量的统计特性，但在一些实践问题中，只需知道随机变量的某些特征，因此不需求求出它的分布函数. 评定某企业的运营才干时，只需知道该企业人均赢利程度；例如：例如： 研讨水稻种类优劣时，我们关怀的是稻穗的平均粒数及每粒的平均分量； 检验棉花的质量时，既要留意纤维的平均长度，又要留意 纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好; 调查一射手的程度，既要看他的平均环数能否高，还要看他弹着点的范围能否小，即数据的动摇能否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完好地描画随机变量，但能明晰地描
2、画随机变量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在实际和实际上都具有重要意义.随机随机变量某一方面的概率特性量某一方面的概率特性 都可用数字来描写都可用数字来描写q 随机变量的平均取值 数学q 期望q 随机变量取值平均偏离平均值的q 情况 方差q 描画两个随机变量之间的某种关q 系的数 协方差与相关系数本本章章内内容容定定义 设离散型随机离散型随机变量量X 的分布列的分布列为假假设无无穷级数数绝对收收敛，那么称其和，那么称其和为随机随机变量量 X 的数学期望的数学期望记为1. 数学期望的定数学期望的定义4.1 数学期望数学期望 设延续型随机变量X 的概率密度为 假假设积分分绝对收收敛，那么称此
3、，那么称此积分的分的值为随机随机变量量 X 的的数学期望，数学期望，记为 数学期望简称期望，又称均值 留意留意: :数学期望反映了随机数学期望反映了随机变量取量取值的平均的平均值, ,它它是一种加是一种加权平均平均解解例例1 例例2 解解例例3 解解例例4 解解例例5解解例例6解解常常见随机随机变量的数学期望量的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP() 分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(, 2)2. 数学期望的性质数学期望的性质证明：仅就证明：仅就证性质证性质4解解引入随机引入随机变量
4、量 那么有那么有 例例7故故 次次 例例8解解3. 随机随机变量函数的数学期望量函数的数学期望X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 1/8X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3例例9解解解解例例10例例11解解解解 例例12 设二维延续随机变量设二维延续随机变量 的概率密度为的概率密度为数学期望的性数学期望的性质留意留意: :3. 数学期望的数学期望的简单运用运用 市场上对某种产品每年的需求量为X 吨 ， X U 2000,4000 , 每出卖一吨可赚3万元 , 售不出去，那么每吨需仓库保管费1万元，问 应该消费这中商品多少
5、吨, 才干使平均利润 最大？例例13解解设每年消每年消费 y 吨的利吨的利润为 Y ，2000 y 4000故故 y = 3500 时，EY 最大，最大， EY = 8250万元万元 为普普查某种疾病某种疾病, n 个人需个人需验血血, 可采用两种可采用两种方法方法验血：血： 分分别化化验每个人的血每个人的血, 共需化共需化验 n 次；次； 将将 k 个人的血混合在一同化个人的血混合在一同化验，假，假设化化验结 果果为阴性阴性, 那么此那么此 k 个人的血只需化个人的血只需化验一次；一次； 假假设为阳性阳性, 那么那么对 k 个人的血逐个化个人的血逐个化验，找，找 出有病者出有病者, 这时 k
6、 个人的血需化个人的血需化验 k + 1 次次. 设某地域化某地域化验呈阳性的概率呈阳性的概率为 p，且每个，且每个人能否人能否为阳性是相互独立的阳性是相互独立的. 试阐明明选择哪一哪一种方法可以减少化种方法可以减少化验次数次数.验血方案的选择验血方案的选择解解 为简单计，设 n 是是 k 的倍数，的倍数， 设共分成共分成 n / k 组第第 i 组需化需化验的次数的次数为X iXi P 1 k + 1假设假设那么那么EX n例如，例如，4.2 例例1 解解例例2 解解4.3 方差方差引例引例 检验两批灯泡的两批灯泡的质量量, ,从中分从中分别随机抽随机抽样5 5只只, ,测得运用寿命得运用寿
7、命( (单位位: :小小时) )如下如下: : A: 2000 1500 1000 500 1000 A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比比较这两批灯泡两批灯泡质量的好坏量的好坏计算得算得: :平均寿命分平均寿命分别为:A:1200 B:1200:A:1200 B:1200 察看得:A中运用寿命偏离较大,B中运用寿命 偏离较小,所以所以,B,B产质量量量量较好好数学期望数学期望方差方差 1. 方差的定义(X - EX)2 随机随机变量量X 的取的取值偏离平均偏离
8、平均值的的 情况情况, 是是X的函数的函数, 也是随机也是随机变量量 E(X - EX)2 随机随机变量量X的取的取值偏离平均偏离平均值的平均偏离程度的平均偏离程度 数数注注: 方差反映了随机方差反映了随机变量相量相对其均其均值的偏离程度的偏离程度假假设 X 为离散型随机离散型随机变量，概率分布量，概率分布为假假设 X 为延延续型随机型随机变量，概率密度量，概率密度为f (x)常用的常用的计算方差的公式：算方差的公式： 2. 方差的性质例例1 设 X P ( ), 求求 DX解解 3. 方差的计算例例2 设 X B( n , p)，求，求 DX 解一解一 仿照上例求仿照上例求DX 解二解二 引
9、入随机变量引入随机变量相互独立，相互独立，故故解解例例3 设 X U( a , b)，求，求 DX 例例4 设 X N ( , 2), 求求 DX 解解常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P() 分布分布方差方差概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(, 2)f(x)x0假假设固定固定,改改动, ,那么那么越大越大, ,曲曲线越平坦越平坦, , 越小越小, ,曲曲线越峻峭越峻峭小大方差的概念直方差的概念直观背景也可以背景也可以经过正正态分布中分布中不同不同22的
10、密度曲的密度曲线反映出来反映出来: :解解 例例5证例例6例例7 知知X ,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求求 E( | X Y | )解解故故例例8 设X 表示独立射表示独立射击直到直到击中目的中目的 n 次次为止止 所需射所需射击的次数，知每次射的次数，知每次射击中靶的概中靶的概 率率为 p ，求，求EX , DX 解解 令令 X i 表示表示击中目的中目的 i - 1 次后到第次后到第 i 次次击中中 目的所需射目的所需射击的次数，的次数，i = 1,2, n 相互独立相互独立 ,且且故故例例9 求求 EY , DY 解解规范化随机范化随机变量量为 X
11、的的规范化随机范化随机变量量. 显然，然，仅知随机知随机变量的期望与方差并不能确定其分布量的期望与方差并不能确定其分布,例如：例如：P -1 0 1 0.1 0.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025与与它它们有一有一样的期望的期望,方差方差但是分布但是分布却不同却不同但假但假设知分布的知分布的类型及期望和方差，常能型及期望和方差，常能确定分布确定分布例例10 知知 X 服从正服从正态分布分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求求 Y 的密度函数的密度函数解解 例例11 知知 X 的密度函数的密度函数为其中其中 A ,B 是常数，且是常数，且
12、EX = 0.5(1) 求求 A ,B(2) 设 Y = X 2, 求求 EY ,DY 解解 (1)(2) 4.4 协方差及相关系数方差及相关系数问题 对于二于二维随机随机变量量(X ,Y ):知知结合分布合分布边缘分布分布 这阐明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间能够还有某种联络. 问题是用一个什么样的数去反映这种联络. 数数反映了随机反映了随机变量量X ,Y 之之间的某种关系的某种关系定定义 称称为X ,Y 的的协方差方差 ，记为1. 协方差和相关系数的定方差和相关系数的定义为X ,Y 的的 相关系数相关系数假设假设称称 X ,Y 不相关不相关称称因此因此, ,
13、方差是方差是协方差的特例方差的特例协方差描写两个随机方差描写两个随机变量之量之间的的“某种关系某种关系可以可以证明明 假假设(X,Y)服从二服从二维正正态分布分布, 即即那那么么 假假设 ( X ,Y ) 为离散型，离散型，假假设 ( X ,Y ) 为延延续型，型，计算算协方差方差的常用公式的常用公式注注:注注: :显然然相关相关不相关不相关正相关正相关负相关负相关完全正相关完全正相关完全负相关完全负相关求求 Cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 知知 X ,Y 的结合分布为的结合分布为XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解 1 0 p qX Y P 例例2 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2, 22,), 求求 XY 解解假假设 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, )那么那么X ,Y 相互独立相互独立X ,Y 不相关不相关例例3 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求求 XZ解解例例4解解例例5解解
