线性代数公式.pdf

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1、 线性代数线性代数 基本运算基本运算 ABBA+=+ ()()CBACBA+=+ ()cBcABAc+=+ ()dAcAAdc+=+ ()()AcddAc= 00=ccA或0=A。 ()AATT= ()TTTBABA= ()()TTAccA=。 ()TTTABAB= ()()()212112=nnCnnn nnAaAaAaD2222222121+= 转置值不变AAT= 逆值变AA11= AccAn= ,2121+=+ ()321,=A，3 阶矩阵 ()321,=B BABA+ ()332211,+=+ BA 332211,+=+ BA BABABA=00 ( )()1,=cjiE 有关乘法的基

2、本运算有关乘法的基本运算 njinjijiijbababaC+=2211 线性性质 ()BABABAA2121+=+， ()2121ABABBBA+=+ ()()()cBAABcBcA= 结合律 ()()BCACAB= ()TTTABAB= BAAB = lklkAAA+= ()kllkAA= ()kkkBAAB=不一定成立！不一定成立！ AAE =，AEA = ()kAkEA=，()kAAkE= EBAEAB= 与数的乘法的不同之处与数的乘法的不同之处 ()kkkBAAB=不一定成立！不一定成立！ 无交换律无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 ()()EA

3、EAEAA+=3322 无消去律无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB时0= / A或0=B 由0A和00= /=BAB 由0A时CBACAB= /=（无左消去律） 特别的特别的 设A可逆，则A有消去律有消去律。 左消去律：CBACAB=。 右消去律：CBCABA=。 如果A列满秩，则A有左消去律，即 00=BAB CBACAB= 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 i）当A可逆时， TA也可逆，且()()TTAA11=。 kA也可逆，且()()kkAA11=。 数0c，cA也可逆，()111=AccA。 ii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆，且()111=ABAB。 推论：设A，B是两个n阶矩

4、阵，则EBAEAB= 命题：初等矩阵都可逆，且 ()()()jiEjiE,1= ( )()()=ciEciE11 ( )()()()()cjiEcjiE=,1 命题：准对角矩阵 kkAAAA0000000000002211=可逆每个iiA都可逆，记11221111000000000000=kkAAAA 伴随矩阵的基本性质：伴随矩阵的基本性质： EAAAAA=* 当A可逆时， EAAA=* 得AAA*1=， （求逆矩阵的伴随矩阵法） 且得：()()=11*AAAA ()()=AAAAA1111* 伴随矩阵的其他性质伴随矩阵的其他性质 1*=nAA, 1*=AAA ()(),*TTAA= ()*1

5、AccAn=, ()*,*ABAB= ()()kkAA* =， ()AAAn 2*=。 2=n时， ()AA=* =dcbaA* 关于矩阵右上肩记号关于矩阵右上肩记号：T，k，1，* i) 任何两个的次序可交换， 如()()TTAA* =， ()()*11= AA等 ii) ()()111 ,=ABABABABTTT， ()*ABAB= 但()kkkABAB=不一定成立！ 线性线性表示表示 s,021 si,21 =+sssxxx221121,有解 ()=xs,21有解()()Tsxxx,1= =Ax有解，即可用 A 的列向量组表示 ()srrrCAB,21=，()nA,21=， 则nsrrr

6、,2121。 st,2121， 则存在矩阵C，使得()()Cst,2121= 线性表示关系有传递性 当pstrrr,212121， 则ptrrr,2121。 等价关系：如果s,21与t,21互相可表示 ts,2121 记作ts,2121。 线性相关线性相关 1=s，单个向量，0=x 相关0= 2=s，21,相关对应分量成比例 21,相关nnbababa:2211= 向量个数s=维数n，则n1,线性相（无）关( )01=n ()nA,21=，0=Ax有非零解0= A 如果ns ，则s,21一定相关 0=Ax的方程个数，则t,1一定线性相关。 证明：记()sA,1=，()tB,1=， 则存在ts矩

7、阵C，使得 ACB =。 0=Cx有s个方程，t个未知数，ts | 唯一解()( )nAA=| 无穷多解()( )nAA=| 方程个数方程个数m： ()( )mAmA,| 当( )mA =时，()mA=|，有解 当nm 时，( )nA ，不会是唯一解 对对于齐次线性方程组于齐次线性方程组0=Ax， 只有零解( )nA =（即A列满秩） （有非零解( )nA =ACxCxACxCxBxxTTTT （C可逆，0x，0Cx！ ） 我们给出关于正定的以下性质我们给出关于正定的以下性质 A正定EA 存在实可逆矩阵C，CCAT=。 A的正惯性指数n=。 A的特征值全大于0。 A的每个顺序主子式全大于0。

8、判断判断A正定的三种方法：正定的三种方法： 顺序主子式法。 特征值法。 定义法。 基本概念基本概念 对称矩阵对称矩阵AAT=。 反对称矩阵反对称矩阵AAT=。 简单阶梯形矩阵简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1 ，台角正上方的元素都为 0。 如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵A是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：矩阵消元法： （解的情况） 写出增广矩阵()A，用初等行变换化()A为阶梯形矩阵()B。 用()B判别解的情况。 i）如果()B最下面的非零行为()d0 , 0 ，则无解，否则有解。 ii）如果有解，记是()B的非零行数，则 n= 时唯一解。 n时无穷多解。 iii）唯一解求解的

9、方法（初等变换法） 去掉()B的零行，得()00 B，它是()cnn+矩阵，0B是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 则0 nnbiinnbb01 1都不为0。 ()()()ErBA行行 就是解。 一个一个n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的值：的值： 是! n项的代数和 每一项是n个元素的乘积， 它们共有! n项 nnjjjaaa2121其中njjj21是n, 2 , 1的一个全排列。 nnjjaa11 前面乘的应为()()njjj211 ()njjj21的逆序数 ()()=nnnjjjnjjjjjjaaa212121211 ()()()212112=nn

10、Cnnn 代数余子式代数余子式 ijM为ija的余子式。 ()ijjiijMA+=1 定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列） ，各元素与各自代数余子式乘积之和。 nnAaAaAaD2222222121+= 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。 范德蒙行列范德蒙行列式式 =jiijnaaaaa)(11111 2nC个 乘法相关乘法相关 AB的()ji,位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。 njinjijiijbababaC+=2211 乘积矩阵的列向量与行向量乘积矩阵的列向量与行向量 （1）设nm矩阵()nA,21=，n维列向量()Tnbbb,21=，则

11、 nnbbbA+=2211 矩阵乘法矩阵乘法应用于方程组应用于方程组 方程组的矩阵形式 =Ax，()()Tmbbb,21= 方程组的向量形式 =+nnxxx2211 （2）设CAB =， ()sAAAAB,21= nniiiiibbbAr+=2211 AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。 AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。 矩阵分解矩阵分解 当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积 特别的在有关对角矩阵的乘法中特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题的若干问题 ()n

12、n000000000000,2121 ()nn,2211= 对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量 于是AAE =，AEA = ()kAkEA=，()kAAkE= 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂 对一个n阶矩阵A，规定( )Atr为A的对角线上元素之和称为A的迹数。 于是 ()()TkTkT1=()TkTtr1= ()TTtr= 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如：=101020101A 初等矩阵及其在乘法中的作用初等矩阵及其在乘法中的作用 （

13、1）()jiE ,：交换E的第ji,两行或交换E的第ji,两列 （2）()(ciE：用数()0c乘E的第i行或第i列 （3）()(,cjiE：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。 初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换 乘法的分块法则乘法的分块法则 一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。 两种常用的情况两种常用的情况 （1）BA,都分成 4 块 =22211211AAAAA，=22211211BBBBB 其中1 iA的列数和jB1的行数相等，2iA的

14、列数和jB2的行数相关。 +=22221221212211212212121121121111BABABAAABABABABAAB （2）准对角矩阵 kkAAA0000002211 =kkkkkkkkBABABABBBAAA0000000000000000002222111122112211 矩阵方程与可逆矩阵矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程两类基本的矩阵方程 （都需求A是方阵，且0A） ( )BAxI= ( )BxAII= （I）的解法： ()()xEBA行 （II）的解法，先化为TTTBxA=。 ()()TTTxEBA。 通过逆求解：BAx =，BAx1= 可逆矩阵及其逆矩阵可逆矩阵

15、及其逆矩阵 定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得EAH =，且EHA =，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作1A。 定理：n阶矩阵A可逆0 A 求求1A的方程的方程（初等变换法） ()()1AEEA行 伴随矩阵伴随矩阵 ()TijnnnnnnAAAAAAAAAAA=212221212111* 线性表示线性表示 可以用s,21线性表示，即可以表示为s,21的线性组合， 也就是存在sccc,21使得 =+ssccc2211 记号：s,21 线性相关性线性相关性 线性相关：存在向量i可用其它向量sii,111+线性表示。 线性无关：每个向量i都不能用其它向量线性表示 定 义 ： 如

16、果 存 在 不 全 为0的sccc,21， 使 得02211=+ssccc则 称s,21线性相关，否则称s,21线性无关。 即：s,21线性相（无）关011=+ssxx有（无）非零解 ()0,21=xs有（无）非零解 极大无关组和秩极大无关组和秩 定义：s,21的一个部分组( )I称为它的一个极大无关组，如果满足： i）( )I线性无关。 ii）( )I再扩大就相关。 ( )Is,21 ( )( )IIIs1 定义：规定s,21的秩()( )Is#, 21=。 如果s,21每个元素都是零向量，则规定其秩为0。 ()sns,min, 01 有相同线性关系的向量组有相同线性关系的向量组 定义：两个

17、向量若有相同个数的向量：ss,2121，并且向量方程 0,2211=+ssxxx与02211=+ssxxx同解，则称它们有相同的线性关系。 对应的部分组有一致的相关性。 421,的对应部分组421,， 若421,相关，有不全为0的421,ccc使得 0442211=+ccc， 即()0 , 0 , 0 ,421ccc是02211=+ssxxx的解， 从而也是02211=+ssxxx的解，则有 0442211=+ccc， 321,也相关。 极大无关组相对应，从而秩相等。 有一致的内在线表示关系。 设：()sA,21=，()sB,21=，则 02211=+ssxxx 即 0=Ax， 02211=+

18、ssxxx 即 0=Bx。 s,21与s,21有相同的线性关系即0=Ax与0=Bx同解。 反之，当0=Ax与0=Bx同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。 矩阵的秩矩阵的秩 定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定( )=Ar行（列）向量组的秩。 ( )Ar的计算的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即( )Ar。 命题：( )AAr=的非零子式阶数的最大值。 方程组的表达形式方程组的表达形式 1=+=+=+mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 2=Ax 是解= A 3=+nnxxx2211 有解n,21

19、 基础解系和通解基础解系和通解 10=Ax有非零解时的基础解系有非零解时的基础解系 e,21是0=Ax的基础解系的条件： 每个i都是0=Ax的解 e,21线性无关 0=Ax的每个解e,21 / ( )Anl= 通解通解 如果e,21是0=Ax的一个基础解系，则0=Ax的通解为 eeccc+2211，ic任意 如果0是()0=Ax的一个解，e,21是0=Ax的基础解系，则=Ax的通解为 eeccc+22110，ic任意 特征向量与特征值特征向量与特征值 定义：如果0，并且A与线性相关，则称是A的一个特征向量。此时，有数，使得=A，称为的特征值。 设A是数量矩阵E，则对每个n维列向量，=A，于是，

20、任何非零列向量都是E的特征向量，特征值都是。 特征值有限特征向量无穷多 若=A，()()cccAcA= ()()2211221122112211ccAcAcccAAA+=+=+= 每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 计算时先求特征值，后求特征向量。 特征向量与特征值计算特征向量与特征值计算 0,=A ()0, 0=AE 是()0=xAE的非零解 命题：是A的特征值0 =AE 是属于的特征向量是()0 =xAE的非零解 称多项式AxE 为A的特征多项式。 是A的特征值是A的特征多项式AxE 的根。 的重数：作为AxE 的根的重数。 n阶矩阵A的特征值有n个：n , , 2

21、1，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤： 求出特征多项式AxE 。 求AxE 的根，得特征值。 对每个特征值i ，求()0 =xAEi的非零解，得属于i 的特征向量。 n 阶矩阵的相似关系阶矩阵的相似关系 设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得BAUU=1，则称A与B相似，记作BA 。 n 阶矩阵的对角化阶矩阵的对角化 基本定理 A可对角化A有n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵()nU,21=，则 =nAUU000000000000211 ()()nnnnUA,000000000000,22112121= iiiA=，ni, 2 , 1= 判别法则判别法则 A可对角

22、化对于A的每个特征值，的重数()AEn=。 计算：对每个特征值i，求出()0=xAEi的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，n,1。令()nU,21=，则 =nAUU000000000000211，其中i为i的特征值。 二次型（实二次型）二次型（实二次型） 二次型及其矩阵二次型及其矩阵 一个n元二次型的一般形式为 ()jijiijniiiinxxaxaxxxfnxxxf。 例 如 ， 标 准 二 次 型()222221121,nnnxdxdxdxxxf+=正 定0id，ni, 1= （必要性“” ，取11=x，02=xxx，此时()00 , 0 , 11= df同样可证每

23、个0id） 实对称矩阵正定实对称矩阵正定即二次型AxxT正定，也就是：当0x时，0AxxT。 例如实对角矩阵n 00000000 0000 21正定0 i，ni, 1= 定义：定义：设A是一个n阶矩阵，记rA是A的西北角的r阶小方阵，称rA为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式） 。 附录一附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化 一向量的内积一向量的内积 1定义定义 两个n维实向量,的内积是一个数，记作(),，规定为它们对应分量乘积之和。 设=nnbbbaaa2121,，则 ()nnbababa+=2211, T= 2性质性质 对称性：()(),= 双线

24、性性质：()() (),2121+=+ ()() ()2121,+=+ ()()()ccc,= 正交性：()0,，且()00,= ()=niia12, 3 3长度与正交长度与正交 向量的长度()=niia12, 00= cc= 单位向量：长度为1的向量 001，010，22022， 若0，则是单位向量，称为的单位化单位化。 11= 两个向量,如果内积为 0：()0,=，称它们是正交正交的。 如果n维向量组s,21两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组正交向量组。 例 1如果向量组s,21两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。 证：记()sA, 21=，则 =2222

25、1000000000000sTAA 则()( )sArsAArT= ,即()srs=,1。 例 2若A是一个实的矩阵，则()( )ArAArT=。 二正交矩阵二正交矩阵 一个实n阶矩阵A如果满足EAAT=，就称为正交矩阵。1= AAT 定理 A是正交矩阵A的行向量组是单位正交向量组。 A的列向量组是单位正交向量组。 例 3正交矩阵A保持内积，即 ()(),=AA =A 证：()(),=TTTAAAA 例 4 （04）A是 3 阶正交矩阵，并且111=a，求=001Ax的解。 三施密特正交化方法三施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。 c=12 设32

26、1,线性无关 正交化：令11= ()()1112122,= （设122k=，()()()111212,k= 当()()1112,=k时，12,正交。 ） ()()()()222321113133,= 单位化：令111=，222=，333= 则321,是与321,等价的单位正交向量组。 四实对称矩阵的对角化四实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵，则 A的每个特征值都是实数。 对每个特征值，重数()AErn=。即A可以对角化。 属于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩阵Q，使得AQQ1是对角矩阵。 对每个特征值，找()0=xAE的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 设A

27、是6阶的有3个特征值1（二重） ，2（三重） ，1（一重） 找1的2个单位正交特征向量21,。 找2的3个单位正交特征向量543,。 找3的一个单位特征向量6。 ()654321,=Q 例 5 （04）A是3阶实对称矩阵，( )2=Ar，6是它的一个二重特征值， 011，112和321都是属于6的特征向量。 （1）求A的另一个特征值。 （2）求A。 解： （1）另一个特征值为0。 （2）设321xxx是属于0的特征向量，则 =+=+=+03202032132121xxxxxxxx 此方程组3=n，( )2=Ar，( )1=Arn，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。 于是，每个非零解都是属于

28、0的特征向量。 000110101321112011 =111是一个解。 =0600660126110111121A 4222422241000100010006612066111112011 =422242224A 附录二附录二 向量空间向量空间 1n维向量空间及其子空间维向量空间及其子空间 记为nR由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。 设V是nR的一个子集，如果它满足 （1）当21,都属于V时，21+也属于V。 （2）对V的每个元素和任何实数c，c也在V中。 则称V为nR的一个子空间。 例如n元齐次方程组0=AX的全部解构成n

29、R的一个子空间，称为0=AX的解空间。 但是非齐次方程组=AX的全部解则不构成nR的子空间。 对于nR中的一组元素s,21，记它们的全部线性组合的集合为 ()任意isssccccL+=221121,，它也是nR的一个子空间。 2基，维数，坐标基，维数，坐标 设V是nR的一个非0子空间（即它含有非0元素） ，称V的秩为其维数，记作Vdim。 称V的排了次序的极大无关组为V的基。 例如0=AX的解空间的维数为( )Arn ，它的每个有序的基础解系构成基。 又如()()ssrL,dim2121=，s,21的每个有序的极大无关组构成基。 设k,21是V的一个基，则V的每个元素都可以用k,21唯一线性表

30、示： kkccc+=2211 称其中的系数()kccc,21为关于基k,21的坐标，它是一个k维向量。 坐标有线性性质： （1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和： 如果向量和关于基k,21的坐标分别为()kccc,21和()kddd,21，则+关于基k,21的坐标为 ()() ()kkkkdddcccdcdcdc,21212211+=+ （2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如果向量关于基k,21的坐标为()kccc,21，则c关于基k,21的坐标为()()kkcccccccccc,2121=。 坐 标 的 意 义 ： 设V中 的 一 个 向 量 组t,21关 于 基k,21的 坐 标 依

31、次 为t,21，则t,21和t,21有相同的线性关系。 于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。 3过渡矩阵，坐标变换公式过渡矩阵，坐标变换公式 设k,21和k,21都 是V的 一 个 基 ， 并 设1在k,21中 的 坐 标 为()kiiiccc,21，构造矩阵 =kkkkkkcccccccccC212222111211， 称C为k,21到k,21的过渡矩阵。 ()()Ckk,2121=。 如果V中向量在其k,21和k,21中的坐标分别为 ()Tkxxxx,21=和()Tkyyyy,21=，则 ()xk,21= ()k,21=()Cyyk,21= 于是关系式： Cy

32、x = 称为坐标变换公式。 4规范正交基规范正交基 如果V的一基k,21是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设的坐标为()kccc,21，的坐标为()kddd,21， 则()kkdcdcdc+=2211, 两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 做题思路做题思路 先化简再计算 例 5 （03）设n维列向量()Taa, 0 , 0 , =，0a。规定TEA=，TaEB1=。已知EAB =，求a。 注意化简技巧（中间过程也很重要） 例 13 （00）己知=8030010100100001*A，求矩阵B，使得EBAABA311+=. 证明一个矩阵可逆证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明 Ax=E ， 证明两式相等证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA （从对称性想到 AB 可逆 BA 也可逆的着手点EBAEAB=） 例 20设n阶矩阵A和B满足等式bBaAAB+=，0ab, 证明：BAAB =