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1、1.2 1.2 应用举例应用举例第一课时第一课时 问题提出问题提出1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？么？2.2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与夹角或三边余弦定理：两边与夹角或三边.3.3.在平面几何中，两点间的距离就是连在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长接这两点的线段长. .对于不可以直接度量对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进行的两点间的距离，通常用什么办法进行计算？计算？ 构造三
2、角形构造三角形4.4.在测量问题中，对于可到达的点之间在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析作些实例分析. . 探究（一）：一个不可到达点的距离测量探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考思考1 1：如图，设如图，设A A、B B两点在河的两岸，两点在河的两岸，测量者在点测量者在点A A的同侧，在点的同侧，在点A A所在河岸边所在河岸边选定一点选定一点C C，若测出，若测出A A、C C
3、的距离是的距离是55m55m，BAC=51BAC=51，ACB=75ACB=75，如何求出，如何求出A A、B B两点的距离？两点的距离？C CA AB B思考思考2 2：若改变点若改变点C C的位置，哪些相关数的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算据可能会发生变化？对计算A A、B B两点的两点的距离是否有影响？距离是否有影响？ C CA AB B思考思考3 3：一般地，若一般地，若A A为可到达点，为可到达点，B B为不为不可到达点，应如何设计测量方案计算可到达点，应如何设计测量方案计算A A、B B两点的距离？两点的距离？C CA AB B选定一个可到达点选定一个可到达点C C； 测
4、量测量ACAC的距离及的距离及BACBAC，ACBACB的大小的大小 利用正弦定理求利用正弦定理求ABAB的距离的距离. .思考思考4 4：根据上述测量方案设置相关数据，根据上述测量方案设置相关数据，计算计算A A、B B两点的距离公式是什么？两点的距离公式是什么？ C CA AB B设设AC=dAC=d，ACB=ACB=，BAC=. BAC=. 探究（二）：两个不可到达点的距离测量探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考思考1 1：如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，已知中，已知BACBACDBCDBC4545，DACDAC7575，ABDABD3030，且，且ABAB ，你能求
5、出，你能求出CDCD边的长吗？边的长吗？ A AB BC CD D3030454545457575思考思考2 2：设设A A、B B两点都在河的对岸（不两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算可到达），你能设计一个测量方案计算A A、B B两点间的距离吗？两点间的距离吗？C CD DA AB B选定两个可到达点选定两个可到达点C C、D D； 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.思考思考3 3：在上述测量方案中，设
6、在上述测量方案中，设CD=aCD=a，ACB=ACB=，ACD=ACD=，BDC=BDC=，ADB=ADB=，那么，那么ACAC和和BCBC的计算公式是什的计算公式是什么？么？ C CD DA AB B思考思考4 4：测量两个不可到达点之间的距离测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法吗？还有别的测量方法吗？理论迁移理论迁移 例例 某观测站某观测站C C在城在城A A的南偏西的南偏西2020方向，方向，由城由城A A出发的一条公路沿南偏东出发的一条公路沿南偏东4040方向笔方向笔直延伸直延伸. .在在C C处测得公路上处测得公路上B B处有一人与观测处有一人与观测站站C C相距相距31km
7、31km，此人沿公路走了，此人沿公路走了20km20km后到达后到达D D处，测得处，测得C C、D D间的距离是间的距离是21km21km；问这个人还；问这个人还要走多远才能到达要走多远才能到达A A城？城？ A AC CB BD D东东北北1515小结作业小结作业1.1.在测量上，根据测量需要适当确定的在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线线段叫做基线. .基线的选取不唯一，一般基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高基线越长，测量的精确度越高. .2.2.距离测量问题包括一个不可到达点和距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种，设计测量方案的两个不可到达点两种，设
8、计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，其中测量数据计算所求两点间的距离，其中测量数据与基线的选取有关，计算时需要利用正、与基线的选取有关，计算时需要利用正、余弦定理余弦定理. .作业：作业：P13P13练习：练习：1.1.1.2 1.2 应用举例应用举例第二课时第二课时 问题提出问题提出1.1.测量一个可到达点与一个不可到达点测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？之间的距离，应如何测量和计算？C CA AB B2.2.测量两个不可到达点之间的距离，应测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？如何测量和
9、计算？C CD DA AB B3.3.竖直方向两点间的距离，通常称为高竖直方向两点间的距离，通常称为高度度. .如何测量顶部或底部不可到达的物体如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题的高度，也是一个值得探究的问题. .探究（一）：利用仰角测量高度探究（一）：利用仰角测量高度思考思考1 1：设设ABAB是一个底部不可到达的竖直是一个底部不可到达的竖直建筑物，建筑物，A A为建筑物的最高点，在水平面为建筑物的最高点，在水平面上取一点上取一点C C，可以测得点，可以测得点A A的仰角，若计的仰角，若计算建筑物算建筑物ABAB的高度，还需解决什么问题的高度，还需解决什么问题？
10、C CA AB B计算计算ACAC的长的长思考思考2 2：取水平基线取水平基线CDCD，只要测量出哪些，只要测量出哪些数据就可计算出数据就可计算出ACAC的长？的长？C CA AB BD D点点C C、D D观察观察A A的仰角和的仰角和CDCD的长的长 思考思考3 3：设在点设在点C C、D D出测得出测得A A的仰角分别的仰角分别为为、，CD=aCD=a，测角仪器的高度为，测角仪器的高度为h h，那么建筑物高度那么建筑物高度ABAB的计算公式是什么？的计算公式是什么？C CA AB BD D思考思考4 4：设在点设在点A A处测得点处测得点B B、C C的仰角分的仰角分别为别为、，铁塔的高
11、，铁塔的高BC=aBC=a，测角仪的，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度高度忽略不计，那么山顶高度CDCD的计算的计算公式是什么？公式是什么？ A AB BC CD D探究（二）：借助方位角测量高度探究（二）：借助方位角测量高度思考思考1 1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到方向行驶，到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515方向上，行驶方向上，行驶5km5km后到达后到达B B处，处，测得此山顶在西偏北测得此山顶在西偏北2525方向上，仰角为方向上，仰角为8 8，根据这些测量数据计算，此山的高度约是，
12、根据这些测量数据计算，此山的高度约是多少？多少？A AB BC CD D东东西西1047m1047mA AC CB BD D 例例1 1 如图，有大小两座塔如图，有大小两座塔ABAB和和CDCD，小塔的高为小塔的高为h h，在小塔的底部，在小塔的底部A A和顶部和顶部B B测测得另一塔顶得另一塔顶D D的仰角分别为的仰角分别为、，求塔，求塔CDCD的高度的高度. .理论迁移理论迁移小结作业小结作业1.1.解决物体高度测量问题时，一般先从解决物体高度测量问题时，一般先从一个或两个可到达点，测量出物体顶部一个或两个可到达点，测量出物体顶部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三或底部的仰角、俯角或方位角
13、，再解三角形求相关数据角形求相关数据. .具体测量哪个类型的角，具体测量哪个类型的角，应根据实际情况而定应根据实际情况而定. .通常在地面测仰角，通常在地面测仰角，在空中测俯角，在行进中测方位角在空中测俯角，在行进中测方位角. .2.2.计算物体的高度时，一般先根据测量计算物体的高度时，一般先根据测量数据，利用正弦定理或余弦定理计算出数据，利用正弦定理或余弦定理计算出物体顶部或底部到一个可到达点的距离，物体顶部或底部到一个可到达点的距离，再解直角三角形求高度再解直角三角形求高度. .作业：作业：P15P15练习：练习：2.2.1.2 1.2 应用举例应用举例第三课时第三课时 问题提出问题提出1
14、.1.测量水平面内两点间的距离，有哪两测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？种类型？分别测量哪些数据？一个可到达点与一个不可到达点之间的一个可到达点与一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离距离；两个不可到达点之间的距离. 基线长和张角基线长和张角.2.2.测量物体的高度时，对角的测量有哪测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？几种类型？在实际问题中如何选择？仰角、俯角或方位角仰角、俯角或方位角. . 在地面测仰角，在地面测仰角， 在空中测俯角，在空中测俯角， 在行进中测方位角在行进中测方位角. . 3.3.角度是三角形的基本元素，是反映实
15、角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容一个重要内容. .探究（一）：测量行进方向探究（一）：测量行进方向思考思考1 1：一艘海轮从海港一艘海轮从海港A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向航行的方向航行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B B，然后从然后从B B出发，沿北偏东出发，沿北偏东3232的方向航行的方向航行54.0 54.0 n milen mile后到达海岛后到达海岛C C，那么，那么A A、C C 两点
16、间的直两点间的直线距离是否确定？如何计算？线距离是否确定？如何计算？C CA AB B东东北北AC=113.15AC=113.15海里海里思考思考2 2：在上述问题中，若海轮直接从海在上述问题中，若海轮直接从海港港A A出发，直线航行到海岛出发，直线航行到海岛C C，如何确定，如何确定海轮的航行方向？海轮的航行方向？C CA AB B东东北北沿北偏东沿北偏东5656的方向航行的方向航行 探究（二）：测量相对位置探究（二）：测量相对位置思考思考1 1：甲船在甲船在A A处，乙船在点处，乙船在点A A的东偏南的东偏南4545方向，且与甲船相距方向，且与甲船相距9 n mile9 n mile的的B
17、 B处处. .在点在点B B南南偏西偏西1515方向有一个小岛方向有一个小岛C C，甲、乙两船分别，甲、乙两船分别以以28 n mile/h28 n mile/h和和20 n mile/h20 n mile/h的速度同时向的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B B处与处与小岛的距离是多少？小岛的距离是多少？C CA AB B东东北北15 15 海里海里思考思考2 2：在在A A处观察小岛，其位置如何？处观察小岛，其位置如何？C CA AB B东东北北南偏东南偏东7 7，相距，相距2121海里海里小结作业小结作业1.1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求
18、利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度测量问题的基本内容，角的大小，是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航行方向的测量与计主要应用于航海中航行方向的测量与计算算. .2.2.角与距离是密切相关的，将背景材料角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数据转化为三角形的边角值，中的相关数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求相关角的大小，再利用正、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本思路是解题的基本思路. .3.3.如果角或距离不能直接利用正、余弦如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想处理定理求解，就用方程思想处理. .作业：作业：P16P16练习：练习：1.1
19、. 1.2 1.2 应用举例应用举例第四课时第四课时 问题提出问题提出1.1.三角形中有一系列基本定理和公式，三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括内角和定理，勾股定理，正弦其中包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面积公式定理，余弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识是解决三角形问题的基本等，这些知识是解决三角形问题的基本理论依据理论依据. .2.2.以三角形为背景的数学问题，除了解以三角形为背景的数学问题，除了解三角形和测量问题外，还有与三角函数三角形和测量问题外，还有与三角函数相关联的三角变换问题，我们将对这类相关联的三角变换问题，我们将对这类问题作些分析与探究问题作
20、些分析与探究. .探究（一）：三角形面积的计算探究（一）：三角形面积的计算思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若B=62.7B=62.7，C=65.8C=65.8，b=3.16cmb=3.16cm，如何求三角形的，如何求三角形的面积？面积？思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若a=41.4cma=41.4cm，b=27.3cmb=27.3cm，c=38.7cmc=38.7cm，如何求三角形的，如何求三角形的面积？面积？思考思考3 3：能否用三角形的三边长为能否用三角形的三边长为a a，b b，c c表示三角形的面积表示三角形的面积S S？探究（二）：三角形内角的计算探究（二）：三角
21、形内角的计算思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若sinAsinAsinBsinBsinCsinC=5=57 78 8，则角，则角B B的值为多少？的值为多少？ 6060思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若 ，则角则角A A的值为多少？的值为多少？ 120120思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若acosBacosB= =bcosAbcosA，则，则ABCABC的形状如何？的形状如何？ 探究（三）：三角形形状的确定探究（三）：三角形形状的确定等腰三角形等腰三角形 思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若B=60B=60，且，且b b2 2=ac=ac，则，则ABCABC的形状如何？的形状如何？正三角形正三角形 思考思考3 3：在在ABCABC中，若中，若 ，则则ABCABC的形状如何？的形状如何？等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 探究（四）：三角恒等式证明探究（四）：三角恒等式证明思考思考1 1：在在ABCABC中，如何证明中，如何证明 ？思考思考2 2：在在ABCABC中，如何证明中，如何证明 作业：作业：P18P18练习：练习：2 2，3.3.
