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1、wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 概率论与数理统计第12讲福建师范大学福清分校数计系福建师范大学福清分校数计系1wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 3 区间估计2wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 对一个未知量, 人们在测量或计算时, 常不以得到近似值为满足, 还需估计误差, 即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围). 类似地, 对于未知参数q, 除了求出它的点估计 外, 还希望估计出一个范围, 并希望知道这个范围包含参数q真值的可信程度. 这样的范围通常以区间的形式给出, 同时还给出此区间
2、包含参数q真值的可信程度. 这种形式的估计称为区间估计.3wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 置信区间 设总体X的分布函数F(x;q)含有一个未知参数q, q(是q的可能取值范围), 对于给定值a(0a1), 若由样本X1,X2,.,Xn确定的两个统计量q = q(X1,X2,.,Xn)和q =q(X1,X2,.,Xn)(q q), 对于任意q 满足 Pq(X1,X2,.,Xn) q q(X1,X2,.,Xn)1-a (4.1)则称随机区间(q ,q)是q的置信水平为1-a的置信区间, q 和q分别称为置信水平为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限.4wenj
3、ie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 当X是连续型随机变量时, 对于给定的a, 总是按要求P(q q q)=1-a求出置信区间, 而当X是离散型随机变量时, 对于给定的a, 常常找不到区间(q ,q)使得P(q q q)恰为1-a. 此时去找区间(q ,q)使得P(q q q)至少为1-a, 且尽可能地接近1-a.5wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 (4.1)式的含义为:若反复抽样多次(各次得到的样本的容量相等, 都是n), 每个样本值确定一个区间(q ,q), 每个这样的区间要么包含q的真值, 要么不包含q的真值, 按大数定律, 包含q真值
4、的约占100(1-a)%, 不包含q真值的约占100a%, 例如, 若a=0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000个区间中不包含q真值的约仅为10个. 6wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 区间估计的图示区间估计的图示q7wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 例 设总体XN(m,s2), s2为已知, m为未知, 设X1,X2,.,Xn是来自X的样本, 求m的置信水平为1-a的置信区间.解参数.8wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 按标准正态分布的上a分位点的定义, 有0a/2za/2a/2-za
5、/29wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 这样就得到了m的一个置信水平为1-a的置信区间常写成10wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 如果取a=0.05, 即1-a=0.95, 又若s=1, n=16, 查表得za/2=z0.025=1.96. 于是得到一个置信水平为0.95的置信区间再者, 若由一个观察值算得样本均值的观察值x =5.20, 则得到一个区间(5.200.49), 即 (4.71, 5.69)11wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 最后得到的区间(4.71,5.69)已经不是随机区间了,
6、但我们仍称它为置信水平为0.95的置信区间. 其含义是: 若反复抽样多次, 每个样本值(n=16)按(4.7)式确定一个区间, 按上面的解释, 在这么多的区间中, 包含m的约占95%, 不包含m的约仅占5%. 现在抽样得到区间(4.71,5.69), 则该区间属于那些包含m的区间的可信程度为95%, 或该区间包含m这一陈述的可信度为95%.12wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 然而, 置信水平为1-a的置信区间并不是惟一的. 以上例来说, 若给定a=0.05, 则又有也是置信水平为0.95的置信区间.13wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2
7、006 而比较两个置信区间14wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 易知, 象N(0,1)分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况, 当n固定时, 以形如(4.5)那样的区间其长度为最短. 我们自然选用它.通过上例, 可看到求未知参数q的置信区间的具体做法如下(1)寻求一个样本X1,X2,.,Xn的函数:W=W(X1,X2,.,Xn;q),它包含待估的参数q, 而不含其它未知参数, 并且W的分布已知且不依赖于任何未知参数(当然不依赖于待估参数q);15wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 (2) 对于给定的置信水平1-a, 定出两个常数
8、a,b, 使PaW(X1,X2,.,Xn;q)b)1-a;(3) 若能从aW(X1,X2,.,Xn;q)b得到等价的不等式q q 50, 要求p的置信水平为1-a的置信区间. 因n较大, 按中心极限定理, 知近似地服从N(0,1)分布.41wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 于是有而上面的不等式等价于即42wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 记此处于是p的一个近似的置信水平为1-a的置信区间为(p1,p2).43wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 例 设自一大批产品的100个样品中, 得一级品60个, 求
9、这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间.于是 p1=0.50, p2=0.69故得p的一个置信水平为0.95的近似置信区间为 (0.50, 0.69)解 一级品率p是(0-1)分布的参数, 此处n=100, x=60/100=0.6, 1-a=0.95, a/2=0.025, za/2=1.96, 按(6.7),(6.8)式来求p的置信区间, 其中44wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 6 单侧置信区间45wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 在上述讨论中, 对于未知参数q, 我们给出两个统计量q,q, 得到q的双侧置信区间
10、(q,q). 但在一些实际问题中, 例如, 对于设备, 元件的寿命来说, 平均寿命长是我们所希望的, 我们关心的是平均寿命q的下限, 与此相反, 在考虑化学药品中杂质含量的均值m时, 我们常关心参数m的上限. 这就引出了单侧置信区间的概念.46wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 对于给定值a(0aq 1-a,(7.1)称随机区间(q, )是q的置信水平为1-a的单侧置信区间, q 称为q的置信水平为1-a的单侧置信下限.47wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 又若统计量q =q(X1,X2,.,Xn), 对于任意q满足Pq q 1-a
11、,(7.2)称随机区间(-,q )是q 的置信水平为1-a的单侧置信区间, q 称为q 的置信水平为1-a的单侧置信上限.48wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 例如对于正态总体X, 若均值m, 方差s2均为未知, 设X1,X2,.,Xn是一个样本, 由有即49wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 于是得到m的一个置信水平为1-a的单侧置信区间m的置信水平为1-a的单侧置信下限为50wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 又由有即51wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 于是得s2的
12、一个置信水平为1-a的单侧置信区间s2的置信水平为1-a的单侧置信上限为52wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 例 从一批灯泡中随机地取5只做寿命试验, 测得寿命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的置信下限.解 1-a=0.95, n=5, ta(n-1)=t0.05(4)=2.1318,x=1160, s2=9950. 由(7.4)式得所求单侧置信下限为53wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 作业 第七章习题第185页第14,15,16题54wenjie, 福建师范大学福清分校数学与计算机科学系,2006 请提问请提问55
