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1、现代数值计算方法公式 一、 插值法 1.拉格朗日Lagrange 插值法 a) 两点一次： 1( ) = 1010+ 0101 1( ) = ( ) 1( ) =( )2!(0)(1) (0 1) b)三点二次： 2( ) =( 1)( x 2)(01)( 02)0+( 0)( 2)(10)( 12)1+( 0)( 1)(20)( 21)2 2( ) = ( ) 2( ) =3( )3!(0)(1)(2) (0 2) 2.牛顿Newton 插值 a)n 次牛顿法多项式： ( ) = (0) + 0,1( 0) + + 0,1,( 0) (1) ( ) = ( ) ( ) =(+1)( )( +
2、 1)!+1( ) (0 ) 其中+1( ) = ( 0)( 1) (1) () 一 阶 差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 () 0,1 1,2 2,3 3,4 0,1,2,3 1,2,3,4 () 0,1,2 () 1,2,3 0,1,2,3,4 () 2,3,4 () 0,1 = (1) (0)10 0,1,2 =1,2 0,120 b) 向前差分： (0+ ) = 0+ 0+ + ( 1)( 2) ( + 1)!0 (0+ ) = ( 1)( 2) ( )(+ 1)!+1(+1)( ) (0 ) = + = + 下减上 c) 向后差分： (+ ) = + + + ( + 1) ( +
3、1)! (+ ) = ( + 1)( + 2) ( + )(+ 1)!+1(+1)( ) (0 ) = 2= 上减下 3.三次埃米尔特Hermite 插值 ( ) = ( )+ ( )+ ( )+ () ( ) = (+ )( ) ( ) = (+ )( ) ( ) = ()( ) ( ) = ()( ) ( ) =( )( )!()() (0 1) 二、 拟合曲线最小二乘 (x) = a0 + a1x + a22 S(a0, a1, a2) = () 2=1= (a0+ a1+ a22) 2=1 0= 01= 02= 0 三、 数值积分 1. 牛顿-柯特思Newton-Cotes公式 梯形求
4、积公式2 节点 I T1 =( )2 ( ) () RT1 = ( )312() 复化梯形求积公式 I 2 ( ) + 2 ()1=1+ () n RT = 12( )2= (2) 辛普生求积公式3 节点 I S1 = 6 ( ) + 4(+ 2) + ( ) RS1 = ( )52880(4)() 复化辛普生求积公式 I 6 ( ) + 4 (+12)1=0+ 2 ()1=1+ () R = 28804(4)( ) = (4) 2. 高斯Gauss 公式 高斯-勒让德求积公式 1. 先用勒让德公式求解 xi ( ) =12 !(21) 2. 利用“高斯积分公式具有 2n+1 次代数精度”将
5、xi带入求 Ai 3. 将 xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。 ( )11 ()=0 =22+3( + 1)!4(2+ 3)( 2+ 2)!3(2+2)() 普通积分化标准形式： = ( ) 积分区间a,b变换 = 2 + 2 ( )= 2 ( 2 + 2)11 3. 代数精度 假设求积公式对 f(x)=1,x,x2,xm时精确成立，而对 f(x)=xm+1时不成立，则称此求积公式具有 m 次代数精确度 四、 解线性代数方程组的直接方法 三角形分解法 求解 = ，先将 A 分解为= ，则原式变为 = ，那么问题就变为了求解 = = 五、 解线性代数方程的迭代法 1. 范数 向量范数 定义
6、： 设 ( ) 其中 R 为实数域、C 为复数域，假设某实值函数N(x) |x| 满足条件 1） 非负性 |x| 0，|x|=0 当且仅当 x=0 成立 2） 其次行 | = | | | 3） 三角不等式 |x + y| |x| + |y| 称N(x) |x| 为( )域上的一个向量范数 常见范数： |x|= max1| |x|1= |=1 |x|2= |2=11/2 矩阵范数 定义： 设 ( ) 其中 R 为实数域、C 为复数域，假设某实值函数N(A) |A| 满足条件 1） 非负性 |A| 0，|A|=0 当且仅当 A=0 成立 2） 其次行 | = | | | 3） 三角不等式 |A+
7、B| |A| + |B| 4） 乘积性质 |AB| |A| | | 称N(A) |A| 为( )域上的一个矩阵范数 常见范数： |A|= max1|=1(行范数) |A|1= max1|=1(列范数) |A|2= 1,1为 的最大按模特征值 |A|= 2,=11/2 2. 谱半径 (A) = max1| 3. 雅可比迭代 向量： 用第 i个方程解出 xi的方程，分量通式如下： +1=1( ()=1) 矩阵： 对于 Ax=b，先将 A 拆分成对角线矩阵 D 减去下三角矩阵 L，再减去上三角矩阵 U。 (+1)= ( )+ 其中 = 1( + ),= 1 4. 高斯-塞德尔迭代 向量： 用第 i
8、个方程解出 xi 的方程，并将上式得到的(+1)带入下边的公式，分量通式如下： +1=1( (+1)1j=1 ()=+1) 矩阵： 对于 Ax=b，先将 A 拆分成对角线矩阵 D 减去下三角矩阵 L，再减去上三角矩阵 U。 (+1)= ( )+ 其中 = ()1,= ()1 5. 松弛迭代 雅可比松弛JOR ： (+1)=( 1)()+ 1 注： 当0 2时，收敛 雅可比方法收敛时，0 1收敛 逐次超松弛SOR ： +1=( (+1)1j=1 ()=+1) 注： 系数矩阵 A 对称正定，0 2时收敛 六、 方程求根 1. 大范围收敛定理 a) (x)在a,b上连续； b) 当 x a,b时，
9、(x) a,b； c) (x)存在，且对任意 x a,b有 |(x)| L 1 2. 牛顿迭代法 +1= ()() 牛顿下山法+1= ()()，其中1 3. 割线法 +1= x1 () (1) () 七、 矩阵特征问题求解 1. 标准化乘幂法 ()= ( )/max ()(+1)= () 2. 原点位移乘幂法 取一个0，用 B=A-I*0替代 A，则得到的特征值 ui=i-0，特征向量不变 八、 常微分方程的数值解法 1. 欧拉公式 +1= + (,) (0) = 0 2. 向后欧拉公式 +1= + (+1,+1) (0) = 0 3. 梯形公式 +1= +2 (,) + (+1,+1) (0) = 0 4. 改良欧拉公式 +1= +2 (,) + (+1,+ (,)
