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1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 1.81.8二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性也连续在其定义域内）也连续在其定义域内）一、连续函数的四则运算一、连续函数的四则运算( 利用极限的运算法则利用极限的运算法则)定理定理13 连续函数的和、差、积、商分母不为连续函数的和、差、积、商分母不为0）仍是连续的函数仍是连续的函数 .例如例如,例如例如,在在上连续且单调增加，上连续且单调增加，其反函数其反函数在在 1 , 1 上也连续且单调增加上也连续且单调增加.定理定理4. 连续的单调函数连续的单调函数 的反函数的反函数 也也是连续函数，并且与是连续函数，
2、并且与 具有相同的单调性。具有相同的单调性。二、反函数的连续性二、反函数的连续性（证略）（证略）三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性在在上连续且单调增加上连续且单调增加,其反函数其反函数在在上也连续且单调增加上也连续且单调增加.证证: 设函数设函数于是于是故复合函数故复合函数又如又如, 且且即即定理定理5,6. 两个连续函数的复合函数是连续函数两个连续函数的复合函数是连续函数.例如例如是由连续函数是由连续函数因而因而在在上连续上连续 .复合而成复合而成 ,及及幂函数可以看作复合函数幂函数可以看作复合函数例例: 求极限求极限解：解：？四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义
3、区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续定理定理7. 一切初等函数在定义区间内连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为例例. 求求解解: 原式原式例例. 求求解解: 令令那那么么原式原式特别特别: 当当时时, 有有 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明: 分段函数在分界点处是否连续需讨论其分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.例例. 求求解解:原式幂指型极限的分解幂指型极限的分解例例.例例. 求求解解: 原式原式 =指出下列演算的错误指出下列演算的错误思考与练习思考与练习续续? 反例反例 x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数处处间断处处间断,处处连续处处连续 .反之是否成立反之是否成立?提示提示:“反之反之” 不成立不成立 .
