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1、第二节第二节 极限的概念和运算法则极限的概念和运算法则一一 数列极限数列极限例如例如按照一定顺序排成的一列数，叫作按照一定顺序排成的一列数，叫作数列数列.组成数列的组成数列的定义定义 每个数都叫作这个数列的每个数都叫作这个数列的项项.一般形式一般形式的变化趋势.定义定义 对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的，对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的，数列数列极限可以用更精确的数学语言来刻画极限可以用更精确的数学语言来刻画 几何解释几何解释: :例例1 证明数列证明数列证证收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理 （惟一性）（惟一性）证证反证法反证法. 矛盾矛盾定义例如例如有界有界无界
2、无界定理定理2（有界性）（有界性）证证发散发散 本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛.例如，数列是有界的，但数列不收敛.二二 函数极限函数极限1. 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限定义定义 例如例如定义定义 例例3 解解 2. 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限定义定义 例如例如定义定义 定理定理 例例6 解解 1. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 定理定理 三三 极限的运算法则极限的运算法则定理定理1可推广到有限个函数的情形可推广到有限个函数的情形. 推论推论1推论推论2例例7 解解 例例8 解解 x =1 时分母为时分母为 0 !例例9
3、解解 例例11 解解 “ 抓大头抓大头”例例 12解解 例例1313 解解 解解原式2. 复合函数的极限法则复合函数的极限法则定理定理 例例1515 解解 1无穷小量无穷小量 定义定义 极限是零的变量极限是零的变量,称为称为无穷小量无穷小量,简称无穷小无穷小.例如例如注意注意(2) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆.(1) 函数是无穷小函数是无穷小,必须指明自变量的变化趋向必须指明自变量的变化趋向.(3) 数数“0”可以看作无穷小可以看作无穷小.四四 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. .注
4、意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .例如例如性质性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .例例1616 解解 2无穷大量无穷大量 定义定义 例如例如特殊情形：正无穷大特殊情形：正无穷大,负无穷大负无穷大注意注意(1) 函数是无穷大函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向必须指明自变量的变化趋向.(2) 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆.定理定理 3无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 4 无穷小的比较无穷小的比较都是无穷小都是无穷小,但是趋于但是趋于0 0的速度似乎是不同的的速度似乎是不同的, ,需要对两个无穷小趋于需要对两个无穷小趋于0 0的速度做出比较的方法的速度做出比较的方法定义定义例例17 比较下列无穷小的阶数的高低比较下列无穷小的阶数的高低:解解 作业习题习题1.21.24 (2) 5 4 (2) 5 、 6 (2) 6 (2) 、(4)(4) 补充题补充题
