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1、阶段复习课第 二 章主题主题1 1 一元二次方程的相关概念与解法一元二次方程的相关概念与解法【主主题训练题训练1 1】(2013(2013盐盐城中考城中考) )先化先化简简, ,再求再求值值: :(x-1) (x-1) 其中其中x x为为方程方程x x2 2+3x+2=0+3x+2=0的根的根. .【自主解答自主解答】原式原式= = 由由x x2 2+3x+2=0,+3x+2=0,得得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=-2.=-2.当当x=-1x=-1时时, ,原式无意义原式无意义, ,所以所以x=-1x=-1舍去舍去, ,当当x=-2x=-2时时, ,原式原式=1.=1.【主题升华主题
2、升华】一元二次方程的有关概念一元二次方程的有关概念(1)(1)一元二次方程满足的四个条件一元二次方程满足的四个条件整式方程整式方程只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2二次项系数不为二次项系数不为0 0(2)(2)一元二次方程的项包括它前面的符号一元二次方程的项包括它前面的符号, ,一次项和常数项可以一次项和常数项可以为为0.0.(3)(3)根能使方程左右两边相等根能使方程左右两边相等, ,已知一个根已知一个根, ,可代入确定方程中可代入确定方程中的字母系数的字母系数. .1.(20131.(2013西双版西双版纳纳州中考州中考) )一元二次方程一元二次方程
3、x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的解是的解是 ( () )A.xA.x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3 B.xB.x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-3C.xC.x1 1=-1,x=-1,x2 2=-3=-3 D.xD.x1 1=1,x=1,x2 2=3=3【解析解析】选选A.a=1,b=-2,c=-3,bA.a=1,b=-2,c=-3,b2 2-4ac=16,-4ac=16,x= xx= x1 1=-1,x=-1,x2 2=3.=3.2.(20142.(2014长长汀汀县县一模一模) )方程方程(2x+1)(3x-2)=0(2x+1)(3x-2)=0的解是的解是. .【解
4、析解析】(2x+1)(3x-2)=0,(2x+1)(3x-2)=0,2x+1=0,3x-2=0,2x+1=0,3x-2=0, 答案答案: : 3.(20133.(2013常州中考常州中考) )已知已知x=-1x=-1是关于是关于x x的方程的方程2x2x2 2+ax-a+ax-a2 2=0=0的一的一个根个根, ,则则a=a=. .【解析解析】根据题意得根据题意得:2-a-a:2-a-a2 2=0,=0,解得解得a=-2a=-2或或1.1.答案答案: :-2-2或或1 14.(20134.(2013广州中考广州中考) )解方程解方程:x:x2 2-10x+9=0.-10x+9=0.【解析解析】
5、将方程将方程x x2 2-10x+9=0,-10x+9=0,变形为变形为:x:x2 2-10x=-9,-10x=-9,配方配方,x,x2 2-10x+25=-9+25,-10x+25=-9+25,整理整理, ,得得(x-5)(x-5)2 2=16,=16,解得解得,x,x1 1=1,x=1,x2 2=9.=9.【一题多解一题多解】公式法公式法: :因为因为a=1,b=-10,c=9,a=1,b=-10,c=9,=100-36=640,=100-36=640,由求根公式解得由求根公式解得,x,x1 1=1,x=1,x2 2=9.=9.因式分解法因式分解法: :将方程将方程x x2 2-10x+9
6、=0,-10x+9=0,变形为变形为:(x-1)(x-9)=0,:(x-1)(x-9)=0,解得解得,x,x1 1=1,x=1,x2 2=9.=9.【知识归纳知识归纳】一元二次方程解法的理论依据及适用形式一元二次方程解法的理论依据及适用形式方法名称方法名称理论依据理论依据适用方程的形式适用方程的形式直接开直接开平方法平方法平方根的意义平方根的意义x x2 2=p=p或或(mx+n)(mx+n)2 2 =p(p0)=p(p0)配方法配方法完全平方公式完全平方公式所有的一元二次方程所有的一元二次方程公式法公式法配方法配方法所有的一元二次方程所有的一元二次方程分解分解因式法因式法两个因式的积等于两个
7、因式的积等于0,0,那那么这两个因式至少有一么这两个因式至少有一个等于个等于0 0一边是一边是0,0,另一边是易另一边是易于分解成两个一次因于分解成两个一次因式的乘积的一元二次式的乘积的一元二次方程方程解读解读: :配方法要先配方配方法要先配方, ,再降次再降次; ;公式法是判断公式法是判断b b2 2-4ac0-4ac0后直接利后直接利用求根公式用求根公式; ;分解因式法是把方程的一边化为两个一次因式的分解因式法是把方程的一边化为两个一次因式的乘积乘积, ,另一边为另一边为0.0.主题主题2 2 一元二次方程的根与一元二次方程的根与b b2 2-4ac-4ac的关系的关系【主主题训练题训练2
8、 2】(2013(2013乐乐山中考山中考) )已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2- -(2k+1)x+k(2k+1)x+k2 2+k=0.+k=0.(1)(1)求求证证: :方程有两个不相等的方程有两个不相等的实实数根数根. .(2)(2)若若ABCABC的两的两边边AB,ACAB,AC的的长长是是这这个方程的两个个方程的两个实实数根数根, ,第三第三边边BCBC的的长为长为5.5.当当ABCABC是等腰三角形是等腰三角形时时, ,求求k k的的值值. .【自主解答自主解答】(1)(1)一元二次方程为一元二次方程为x x2 2-(2k+1)x+k-(2k+1)x+k2 2+k=0,
9、+k=0,=-(2k+1)=-(2k+1)2 2-4(k-4(k2 2+k)=10,+k)=10,此方程有两个不相等的实数根此方程有两个不相等的实数根. .(2)ABC(2)ABC的两边的两边AB,ACAB,AC的长是这个方程的两个实数根的长是这个方程的两个实数根, ,由由(1)(1)知知,ABAC,ABC,ABAC,ABC的第三边的第三边BCBC的长为的长为5,5,且且ABCABC是等腰三角形是等腰三角形, ,必然有必然有AB=5AB=5或或AC=5,AC=5,即即x=5x=5是原方程的一个解是原方程的一个解. .将将x=5x=5代入方程代入方程x x2 2-(2k+1)x+k-(2k+1)
10、x+k2 2+k=0,+k=0,即即25-5(2k+1)+k25-5(2k+1)+k2 2+k=0,+k=0,解得解得k=4k=4或或k=5.k=5.当当k=4k=4时时, ,原方程为原方程为x x2 2-9x +20=0,x-9x +20=0,x1 1=5,x=5,x2 2=4,=4,以以5,5,45,5,4为边长能构为边长能构成等腰三角形成等腰三角形; ;当当k=5k=5时时, ,原方程为原方程为x x2 2-11x +30=0,x-11x +30=0,x1 1=5,x=5,x2 2=6,=6,以以5,5,65,5,6为边长能为边长能构成等腰三角形构成等腰三角形. .kk的值为的值为4 4
11、或或5.5.【主题升华主题升华】一元二次方程的根与一元二次方程的根与b b2 2-4ac-4ac的关系的关系(1)b(1)b2 2-4ac0-4ac0方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根. .(2)b(2)b2 2-4ac=0-4ac=0方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根. .(3)b(3)b2 2-4ac0-4ac0,-4ac0,所以方程有两个不相等的实所以方程有两个不相等的实数根数根; ;选项选项B B中的中的b b2 2-4ac0,-4ac0,所以方程没有实数根所以方程没有实数根; ;选项选项C C中的中的b b2 2- -4ac=0,4ac=0,所以方程有两个相等
12、的实数根所以方程有两个相等的实数根; ;选项选项D D中的中的b b2 2-4ac0,-4ac0,0,方程总有两个不相等的实数根方程总有两个不相等的实数根. .(2)(2)由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1x x2 2= =-m= =-m2 20,x0,x1 1+x+x2 2=m-3,=m-3,xx1 1,x,x2 2异号异号, ,又又|x|x1 1|=|x|=|x2 2|-2,|-2,即即|x|x1 1|-|x|-|x2 2|=-2,|=-2,若若x x1 10,x0,x2 20,0,上式化简得上式化简得:x:x1 1+x+x2 2=-2,=-2,m-3=-2,m-3=-2,即
13、即m=1,m=1,方程化为方程化为x x2 2+2x-1=0,+2x-1=0,解得解得:x:x1 1=-1+ ,x=-1+ ,x2 2=-1- .=-1- .若若x x1 10,x0,0,上式化简得上式化简得:-(x:-(x1 1+x+x2 2)=-2,)=-2,xx1 1+x+x2 2=m-3=2,=m-3=2,即即m=5,m=5,方程化为方程化为x x2 2-2x-25=0,-2x-25=0,解得解得:x:x1 1=1- ,x=1- ,x2 2=1+ .=1+ .主题主题4 4 一元二次方程的一元二次方程的应应用用【主主题训练题训练4 4】 (2013 (2013重重庆庆中考中考) )“4
14、 42020”雅安地震后雅安地震后, ,某商某商家家为为支援灾区人民支援灾区人民, ,计计划捐划捐赠帐赠帐篷篷1680016800顶顶, ,该该商家商家备备有有2 2辆辆大大货货车车、8 8辆辆小小货车货车运送运送, ,计计划大划大货车货车比小比小货车货车每每辆辆每次多运每次多运帐帐篷篷200200顶顶, ,大、小大、小货车货车每天均运送一次每天均运送一次, ,两天恰好运完两天恰好运完. .(1)(1)求大、小求大、小货车货车原原计计划每划每辆辆每次各运送每次各运送帐帐篷多少篷多少顶顶? ?(2)(2)因地震因地震导导致路基受致路基受损损, ,实际实际运送运送过过程中程中, ,每每辆辆大大货车
15、货车每次比每次比原原计计划少运划少运200m200m顶顶, ,每每辆辆小小货车货车每次比原每次比原计计划少运划少运300300顶顶. .为为了了尽快将尽快将帐帐篷运送到灾区篷运送到灾区, ,大大货车货车每天比原每天比原计计划多跑划多跑m m次次, ,小小货车货车每天比原每天比原计计划多跑划多跑 m m次次, ,一天一天刚刚好运送了好运送了帐帐篷篷1440014400顶顶, ,求求m m的的值值. .【解析解析】(1)(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷设小货车原计划每辆每次运送帐篷x x顶顶, ,则大货车则大货车原计划每辆每次运送帐篷原计划每辆每次运送帐篷(x+200)(x+200)顶顶, ,
16、根据题意根据题意, ,得得28x+2(x+200)=16800,28x+2(x+200)=16800,解得解得x=800,x=800,x+200=800+200=1000.x+200=800+200=1000.答答: :大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷10001000顶顶,800,800顶顶. .(2)(2)根据题意根据题意, ,得得2(1000-200m)+8(800-300)(1+ m)=14400,2(1000-200m)+8(800-300)(1+ m)=14400,化简为化简为m m2 2- -23m+42=0,23m+42=0,解得解得m m
17、1 1=2,m=2,m2 2=21.=21.1000-200m1000-200m不能为负数不能为负数, ,且且 m m为整数为整数, ,m=21m=21不符合实际不符合实际, ,舍去舍去, ,mm的值为的值为2.2.【主题升华主题升华】列一元二次方程解应用题的三点注意列一元二次方程解应用题的三点注意1.1.审题审题: :准确找出已知量与未知量之间的关系准确找出已知量与未知量之间的关系. .2.2.设元设元: :分为直接设未知数和间接设未知数两种分为直接设未知数和间接设未知数两种, ,对于直接设未对于直接设未知数列方程比较困难或列出的方程比较复杂时知数列方程比较困难或列出的方程比较复杂时, ,要
18、考虑采用间要考虑采用间接设未知数接设未知数. .3.3.检验检验: :求出方程的解后求出方程的解后, ,必须检验所求的解是否符合题目要求必须检验所求的解是否符合题目要求或客观实际或客观实际, ,不符合的解需要舍去不符合的解需要舍去. .1.(20131.(2013白白银银中考中考) )某超市一月份的某超市一月份的营业额为营业额为3636万元万元, ,三月三月份的份的营业额为营业额为4848万元万元. .设设每月的平均增每月的平均增长长率率为为x,x,则则可列方程可列方程为为( () )A.48(1-x)A.48(1-x)2 2=36 B.48(1+x)=36 B.48(1+x)2 2=36=3
19、6C.36(1-x)C.36(1-x)2 2=48 D.36(1+x)=48 D.36(1+x)2 2=48=48【解析解析】选选D.D.二月份的营业额为二月份的营业额为36(1+x),36(1+x),三月份的营业额为三月份的营业额为36(1+x)(1+x)=36(1+x)36(1+x)(1+x)=36(1+x)2 2, ,即所列的方程为即所列的方程为36(1+x)36(1+x)2 2=48.=48.2.(20132.(2013广元中考广元中考) )三角形的两三角形的两边长边长分分别为别为3 3和和6,6,第三第三边边是方是方程程x x2 2-6x+8=0-6x+8=0的解的解, ,这这个三角形的周个三角形的周长长是是( () )A.11A.11B.13B.13C.11C.11或或1313D.11D.11和和1313【解析解析】选选B.B.解方程解方程x x2 2-6x+8=0,-6x+8=0,得得x x1 1=2,x=2,x2 2=4.2+36,=4.2+36,第三第三边不能为边不能为2,2,当第三边为当第三边为4 4时时, ,周长为周长为3+6+4=13.3+6+4=13.
