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1、 梦想不会辜负每一个努力的人 1 绝密启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷） 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.
2、已知集合 A=|，B=|22，则=【A】 .-2,-1 .-1,2） .-1,1 .1,2） 2.=【D】 . . . . 3.设函数，的定义域都为 R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是【B】 .是偶函数 .|是奇函数 .|是奇函数 .|是奇函数 x2230xxxxABABCD32(1)(1)iiA1 iB1 iC1 i D1 i ( )f x( )g x( )f x( )g xA( )f x( )g xB( )f x( )g xC( )f x( )g xD( )f x( )g x高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 2 4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为【A】
3、. .3 . . 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】 . . . . 6.如图， 圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点， 角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为【B】 7.执行下图的程序框图，若输入的分别为 1,2,3，则输出的=【D】 . . . . FC223 (0)xmym mFCA3BC3mD3mA18B38C58D78xOAOPPOAMMOPx( )f xy( )f x, ,a b kMA203B165C72D158高考真题
4、 梦想不会辜负每一个努力的人 3 8.设，且，则【B】 . . . . 9.不等式组的解集记为.有下面四个命题： ：，：, ：，：. 其中真命题是【C】 .， .， .， .， 10.已知抛物线：的焦点为，准线为 ，是 上一点，是直线与的一个焦点，若，则=【C】 . . .3 .2 11.已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为【C】 .（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1） 12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C】 . . .6 .4 第卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-
5、第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。(0,)2(0,)21 sintancosA32B22C32D22124xyxyD1p( , ),22x yD xy 2p( , ),22x yD xy3P( , ),23x yD xy4p( , ),21x yD xy A2p3PB1p4pC1p2pD1p3PC28yxFlPlQPFC4FPFQ|QFA72B52CD( )f x3231axx( )f x0x0xaABCDA6 2B4 2CD 梦想不会辜负每一个努力的人 4 第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13.的展开式中的系数为 -20
6、 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 A . 15.已知 A， B， C 是圆 O 上的三点， 若， 则与的夹角为 90 . 1 6 . 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数. ()证明：； （）是否存在，使得为等差数列？并说明理由. 解： （I）由题设， 两式相减得
7、由于，所以 （II）由题设，可得 由（I）知， 令，解得 8()()xy xy22x y1()2AOABACABAC, ,a b cABC, ,A B Ca(2)(sinsin)()sinbABcbCABC3nannS1a0na 11nnna aS2nnaana11211,1.nnnnnna aSaaS121().nnnaaaa10na2.nnaa11a 1211a aS21.a31.a2132aaa4. 梦想不会辜负每一个努力的人 5 故，由此可得 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，； 是首项为 3，公差为 4 的等差数列，. 所以，. 因此存在，使得数列为等差数列. 18. (本小题满
8、分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： ()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表） ； （） 由频率分布直方图可以认为， 这种产品的质量指标值服从正态分布， 其中近似为样本平均数，近似为样本方差. (i)利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记表示这 100 件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求. 附：12.2. 若，则=0.6826，=0.9544. 24nnaa21na2143nan
9、2na241nan21nan12nnaa4 nax2sZ2( ,)N x22s(187.8212.2)PZXEX150Z2( ,)N ()PZ(22 )PZ高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 6 解： （I）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 =200 （II） （i）由（I）知，从而 （ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为 0.682 6， 依题意知 X-B(100，0.682 6)，所以 19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥中，侧面为菱形，. () 证明：； （）若，AB=Bc，求二面角的余弦值. 解：()连接 BC1，交
10、B1C 于点 O，连接 AO，因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点，又 ABB1C，所以 B1C平面 ABO，由于 AO平面 ABO，故 B1CAO.(线面垂直线线垂直) 又 B1OCO，故 ACAB1. ()因为 ACAB1，且 O 为 B1C 的中点， 所以 AOCO，又因为 ABBC， 所以BOABOC， x2s170 0.02180 0.09190 0.22200 0.33x 210 0.24220 0.08230 0.022222( 30)0.02( 20)0.09( 10)0.22s 2220 0.33 100.24200.083
11、00.02150. (200,150)ZN(187.8212.2 = (20012.220012.2)0.6826.PZPZ）100 0.682668.26.EX 111ABCABC11BBC C1ABBC1ACAB1ACABo160CBB111AABC 梦想不会辜负每一个努力的人 7 故 OAOB，从而 OA，OB，OB1两两互相垂直 以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又 ABBC， 则 A(0，0，33)，B(1，0，0)，B1(0，33，0)，C(0，33，0)，(0，33，33)
12、，(1，0，33)，(1，33，0)， 设 n(x，y，z)是平面 AA1B1的一个法向量， 则，即33y33z0x33z0， 所以取 n(1， 3， 3) 设 m 是平面 A1B1C1的一个法向量，则. 同理可取 m(1， 3， 3) 则 cosn，mnm|n|m|17， 所以二面角 AA1B1C1的余弦值为17. 20. (本小题满分 12 分) 已知点（0，-2） ，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点. ()求的方程； （）设过点的直线 与相交于两点，当的面积最大时，求 的方程. 解：()设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3，又ca32，所以 a2，
13、b2a2c21， 故 E 的方程为x24y21. ()当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 将 ykx2 代入x24y21，得(14k2)x216kx120. 当 16(4k23)0，即 k234时， x1，28k2 4k234k21， AE22221(0)xyabab32FAF2 33OEAlE,P QOPQl高考真题 梦想不会辜负每一个努力的人 8 从而|PQ| k21|x1x2|4 k21 4k234k21. 又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21. 设4k23t，则 t0，SO
14、PQ4tt244t4t. 因为 t4t4.当且仅当 t2，即 k72时等号成立，且满足 0. 所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y72x2 或 y72x2. 21. (本小题满分 12 分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：. 解：()函数 f(x)的定义域为(0，)，f (x)aexlnxaxexbx2ex1bxex1. 由题意可得 f(1)2，f (1)e. 故 a1，b2. ()由()知，f(x)exlnx2xex1，从而 f(x)1 等价于 xlnxxex2e. 设函数 g(x)xlnx，则 g(x)1lnx. 所以当 x(0，1e)时，g(x)0. 故
15、 g(x)在(0，1e)单调递减，在(1e，)单调递增，从而 g(x)在(0，)的最小值为 g(1e)1e. 设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x) 所以当 x(0，1)时，h(x)0； 当 x(1，)时，h(x)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1. 请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后1( 0lnxxbef xaexx( )yf x(1)f(1)2ye x, a b( )1f x 梦想不会辜负每一个努力的人 9 的 方框涂黑。 22.（本
16、小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE .()证明：D=E； （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形. 解：()由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE. 由 CBCE 得CBEE， 故DE. ()设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 BMMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上 又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点， 故 OMAD，即 MNAD. 所以 ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE，由()知
17、，DE，所以ADE 为等边三角形 23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线 ：（ 为 参数）. ()写出曲线的参数方程，直线 的普通方程； （）过曲线上任一点作与 夹角为的直线，交 于点，求的最大值与最小值. 解：()曲线 C 的参数方程为x2cosy3sin( 为参数)，直线 l 的普通方程为 2xy60. ()曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为 d55|4cos3sin6|. 则|PA|dsin302 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan43. 当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55； 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55. C22149xyl222xtyttClCPlo30lA|PA 梦想不会辜负每一个努力的人 10 24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 若，且. () 求的最小值； （）是否存在，使得？并说明理由. 解：()由 ab1a1b2ab，得 ab2，且当 ab 2时等号成立 故 a3b32 a3b34 2，且当 ab 2时等号成立 所以 a3b3的最小值为 4 2. ()由()知，2a3b2 6 ab4 3. 由于 4 36，从而不存在 a，b，使得 2a3b6. 0,0ab11abab33ab, a b236ab
