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1、教学要求教学要求1 1、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加速度、全加速度等概念及有关计算公式。速度、全加速度等概念及有关计算公式。2 2、掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法、掌握用自然坐标法求点的速度、加速度的方法步骤。步骤。第三节第三节 用自然坐标法确定点的位置、速度和加速度用自然坐标法确定点的位置、速度和加速度 自然坐标法自然坐标法: :以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位置、描述点的运动规律的方法。置、描述点的运动规律的方法。一、点的弧坐标形式的运动方程一、点的弧坐标形式的运动方程 以以O O点为坐标原
2、点，以轨迹作为自点为坐标原点，以轨迹作为自然坐标轴。则动点然坐标轴。则动点M M在瞬时在瞬时t t的位的位置可用弧长置可用弧长s s来唯一确定。弧长来唯一确定。弧长s s称为称为弧坐标弧坐标。 弧坐标弧坐标s s是时间是时间t t的单值连续函数的单值连续函数: :s =s =（t t） 点的弧坐标形式的运动方程点的弧坐标形式的运动方程: s =: s =（t t） 1 1、弧坐标、弧坐标2 2、自然轴系、自然轴系以动点以动点M M的切线和法线的切线和法线 为坐为坐标轴，其切向轴的正向为弧标轴，其切向轴的正向为弧坐标的正向，法向轴的正向坐标的正向，法向轴的正向指向指向M M点的曲率中心。此正点的
3、曲率中心。此正交坐标系称为自然（坐标）交坐标系称为自然（坐标）轴系轴系 。矢量在自然轴上的。矢量在自然轴上的投影为其自然坐标。投影为其自然坐标。 切向轴和法向轴的单位矢量用切向轴和法向轴的单位矢量用和和n n表示。表示。二、用自然坐标表示点的速度二、用自然坐标表示点的速度 动点的速度沿着轨迹在该点动点的速度沿着轨迹在该点的切线方向，它在切向轴上的切线方向，它在切向轴上的投影即为速度的大小，其的投影即为速度的大小，其值等于弧坐标对时间的一阶值等于弧坐标对时间的一阶导数。导数。 当当ds/dtds/dt0 0时，速度时，速度v v与与同向；同向； 当当ds/dtds/dt0 0时，速度时，速度v
4、v与与反向。反向。 三、用自然坐标表示点的加速度三、用自然坐标表示点的加速度在自然轴系中，将动点加速度在自然轴系中，将动点加速度a a向向和和n n轴方向分解，轴方向分解，即：即： a =aa =a+a+an n= = a a+a+an nn n式中：式中：a a、a an n分别称为点的切向加速度和法向加速度。分别称为点的切向加速度和法向加速度。 1 1、切向加速度、切向加速度a a: :反映了动点速度的大小随时间反映了动点速度的大小随时间的瞬时变化率。的瞬时变化率。 即点的切向加速度的大小等于点的速度的大小对即点的切向加速度的大小等于点的速度的大小对时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶
5、导数。时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶导数。点的切向加速度为矢量。点的切向加速度为矢量。当当dv/dtdv/dt0 0时，切向加速度时，切向加速度a a与与同向；同向；当当dv/dtdv/dt0 0时，切向加速度时，切向加速度a a与与反向。反向。2 2、法向加速度、法向加速度a an n: :反映了动点速度的方向随时间的反映了动点速度的方向随时间的瞬时变化率。瞬时变化率。点的法向加速度的大小等于点点的法向加速度的大小等于点的速度大小的平方除以对应点的速度大小的平方除以对应点轨迹的曲率半径；点的法向加轨迹的曲率半径；点的法向加速度为矢量，其方向始终指向速度为矢量，其方向始终指向该点轨迹
6、的曲率中心。该点轨迹的曲率中心。 3 3、全加速度、全加速度a:a:在自然轴系中，称点的加速度为在自然轴系中，称点的加速度为全加速度。全加速度。全加速度全加速度a a的大小及方向：的大小及方向： 式中：式中：为全加速度为全加速度a a与法向轴与法向轴n n正向所夹的锐角。正向所夹的锐角。四、点的运动的几种特殊情况四、点的运动的几种特殊情况 1 1、匀速直线运动、匀速直线运动v =v =常量，常量，故，故a a=0=0， a an n =0 =0，即，即a=0a=0。若已知点的运动的初始条件，当若已知点的运动的初始条件，当t=0t=0时，时，s= ss= s0 0，则有则有v = v = ds/
7、dtds/dt，积分得，积分得s ss s0 0= =vtvt。2 2、匀速曲线运动、匀速曲线运动v =v =常量，故常量，故a a=0=0， a an n 0 0，即，即a= aa= an n= v= v2 2/；a a的方向即的方向即 a an n的方向。的方向。3 3、匀变速直线运动、匀变速直线运动a an n=0=0，a = aa = a= =dv/dtdv/dt= =常量。若已知点的运动的初始常量。若已知点的运动的初始条件，当条件，当t=0t=0时，时，s= ss= s0 0，v= vv= v0 0，则积分可得，则积分可得 v = vv = v0 0 + at + at s = s
8、s = s0 0+ v+ v0 0t +att +at/2 /2 由上式消去由上式消去t t 可得可得 v v 2 2= v= v0 0 2 2+2a+2a（s-ss-s0 0） 4 4、匀变速曲线运动、匀变速曲线运动a an n= v= v2 2/， a a= =dv/dtdv/dt= =常量。若已知点的运动常量。若已知点的运动的初始条件，当的初始条件，当t=0t=0时，时，s= ss= s0 0，v= vv= v0 0，则积分可，则积分可得得v = vv = v0 0 + +a at t s = s s = s0 0+ v+ v0 0t +at +at t/2 /2 由上式消去由上式消去t
9、 t可得可得 v v2 2= v= v0 02 2+2a+2a（s-ss-s0 0） 例例3 3：如图如图a a所示：杆所示：杆ABAB的的A A端铰接固定，环端铰接固定，环M M将将ABAB杆杆与半径为与半径为R R的固定圆环套在一起，的固定圆环套在一起，ABAB与垂线之夹角为与垂线之夹角为=tt，求套环，求套环M M的运动方程、速度、加速度。的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法方法一：自然坐标法 分析动点的运动、建立弧坐标轴。分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环动点套环M M的轨迹为沿固定圆环的轨迹为沿固定圆环的圆周运动。以圆环上的的圆周运动。以圆环上的OO点点为弧坐标原点，
10、顺时针为弧坐标为弧坐标原点，顺时针为弧坐标正向，建立弧坐标轴。正向，建立弧坐标轴。 列动点的运动方程。列动点的运动方程。 图示几何关系：图示几何关系：s = Rs = R（22）故有：故有：s= 2Rts= 2Rt求点的速度、加速度。求点的速度、加速度。 由由v = v = ds/dtds/dt得得 v = dv = d（2Rt2Rt）/ /dtdt=2R =2R 速度速度v v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由由a an n = v = v2 2/，a a= =dv/dtdv/dt得得 a a= =dv/dtdv/dt=0=0，a an
11、n = v = v2 2/=4R/=4R2 2 即点即点M M的全加速度为：的全加速度为：a=aa=an n=4R=4R2 2 a a的方向即的方向即 a an n的方向，自的方向，自M M点半径指向圆心。点半径指向圆心。（套环（套环M M沿固定圆环作匀速圆周运动。）沿固定圆环作匀速圆周运动。） BAMOO2xyvxv yvaxaya2方法二：直角坐标法方法二：直角坐标法 列动点的运动方程。列动点的运动方程。 建立直角坐标系建立直角坐标系OxyOxy，如图所示。，如图所示。 图示几何关系：图示几何关系：x=Rsinx=Rsin2 2 y=Rcos y=Rcos2 2 故点故点M M的运动方程为
12、的运动方程为 x=Rsin2t x=Rsin2t y=Rcos2t y=Rcos2t求点的速度。求点的速度。v vx x= = dx/dtdx/dt = 2Rcos2t = 2Rcos2t v vy y= = dy/dtdy/dt =-2Rsin2t =-2Rsin2t 点点M M速度的大小为：速度的大小为：v =vv =vx x2 2+v+vy y2 2 = 2R = 2R速度的方向余弦：速度的方向余弦：coscos（v v，i i）= v= vx x/v= cos2t=cos2/v= cos2t=cos2 求点的加速度求点的加速度a ax x= = dvdvx x/dt/dt = -4R
13、= -4R2 2sin2tsin2ta ay y= = dvdvy y/dt/dt = -4R = -4R2 2cos2tcos2t点点M M加速度的大小为加速度的大小为a =aa =ax x2 2+a+ay y2 2 = 4R = 4R2 2加速度的方向余弦：加速度的方向余弦：coscos（v v，i i）= a= ax x/a = -sin2t =-sin2/a = -sin2t =-sin2即即a a方向沿该点轨迹的半径指向圆心方向沿该点轨迹的半径指向圆心O O。例例4 4：已知点的运动方程已知点的运动方程x=2tx=2t、y=t2y=t2，其中，坐标、，其中，坐标、时间的单位分别为时间
14、的单位分别为m m和和s s。求。求t=2st=2s时，动点的曲率半径时，动点的曲率半径。求点的速度。求点的速度。v vx x= = dx/dtdx/dt=2=2（m/sm/s），），v vy y= =dy/dtdy/dt=2t=2t速度的大小为：速度的大小为：求点的加速度。求点的加速度。a ax x= = dvdvx x/dt/dt =0 =0，ay= ay= dvdvy y/dt/dt = 2 = 2（m/sm/s2 2）加速度的大小为：加速度的大小为：由由a a= =dv/dtdv/dt得点的切向加速度关系式：得点的切向加速度关系式：当当t=2st=2s时，时，v =25v =25（m/sm/s） a= 45/5a= 45/5（m/s2m/s2）故有故有则有则有
