2022年中考数学复习方程与不等式

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1、2022年中考数学复习新题速递之方程与不等式（2021年 11月）一 .选 择 题 （ 共10小题）1. （ 2 02 1秋北陪区校级期中）已知关于x的方程3 -（ 机+1） 9 加 =0 是一元一次方程，则m的 值 为 （ ）A . 1B . - 1C . I 为 - I D. 以上结果均不正确2 . （ 2 02 1秋古冶区期中）下列等式变形中正确的是（ ）A. 如果那么- B. 如 果 工 = 6,那么x =32 2 a 2C. 如果 x - 3 = y - 3 , 那么 x =y D. 如果 那么 x =y3. （ 2 02 1 宛城区一模）数学课上，李老师出示了明代数学家程大位的 算

2、法统宗中的一个 问 题 （ 如图） ，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（ 注：明代时1 斤= 1 6 两，故 有 “ 半斤八两”这个成语） .给出四种设未知数及列方程（ 组）的思路，设有x人分银子，根据题意得7 x +4 =9 x - 8 ；设所分银子有） ， 两，根 据 题 意 得 罕 若 ；设所分银子有f 两，根据题意得 4奇 +小设有， 人 分银子，所分银子有两，根据题意得) ）隔墙听得客分银，不知人数不知银.七两分之多四两,九两分之少半斤.(3_（_算_ _法_ _统_ _宗_/）A. 和 B. 和 C. 和D. 和4 . （ 2 02

3、1秋武昌区校级期中）青山村种的某农作物2 019 年平均每公顷产7 2 00依，2 02 1年平均每公顷产8 4 5 0依，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x,根据题意，所列方程正确的是（ ）A . 7 2 00X （ 1+x2） =8 4 5 0 B . 7 2 00+2 X 7 2 00x =8 4 5 0C . 7 2 00X （ 1+x ） 2=8 4 5 0 D . 7 2 00X （ 1+x +x2） =8 4 5 05 . （ 2 02 1秋将乐县期中）某口罩生产厂家2 019 年产量为100万个，为支持防疫工作，加大生产，2021年口罩产量为196万个，求该口罩厂家产量的

4、年平均增长率.设该口罩厂家产量的年平均增长率为x , 则根据题意可列方程为（ ）A. 100?= 196 B. 100 （ 1 -x） 2=196C. 196 （ 1+x） 2=100 D. 100 （ 1+x） 2=1966. （ 2021秋信都区校级月考）解分式方程送二贵- = 8 时，去分母后得到的整式方程x -7 14 -2 x是 （ ）A. 2 （ x- 8） +5x=16 （ x-7） B. 2 （ x- 8） +5x=8C. 2 （ x- 8） -5x=16 （ x-7） D. 2 （ x- 8） - 5x=87. （ 2021秋沙坪坝区校级月考）若关于x的一元一次不等式组3（

5、x -l ） 2 x +l的解集为I x M 2 +ax 60C. 6x- 2 （ 16-x）160 D. 6x - 2 （ 16 -x） 609. （ 2021秋呼和浩特月考） 一双鞋子如果卖150元，可赚50%,如果卖120元可赚（ ）A. 20% B. 22% C. 25% D. 30%1 0 . （ 2021秋沙坪坝区校级期中） 九章算术中记载了一个问题，原文如下：“ 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数，物价各几何？ ”大意是：有几个人一起去买一件物品， 每人出8 文， 多 3 文； 每人出7 文， 少 4 文， 求人数及该物品的价格. 小明用二元一次方程组解此问题，

6、若已经列出一个方程8x-3=y,则符合题意的另一个方程 是 （ ）A. lx - 4 y B. 7x+4 y C . 工+4=x D . 工 -4=x7 7二 . 填 空 题 （ 共5小题）1 1 . （ 2021秋肇源县期中）若 （ -2） - 15是关于x 的一元一次不等式，则？ 的值为.1 2 . （ 2 0 2 1 秋梁溪区校级期中）若 方 程 （ 4 ） 3 - 2 |+ 3X+ 5 =。是一元二次方程，则 的值等于.1 3 . （ 2 0 2 1 秋磐石市期中）已知关于x 的一元一次方程3 x= 2 x+ 机的解为x =- 3 , 则根的值为.1 4 . （ 2 0 2 1 秋北修

7、区校级月考）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮. 其中，甲种粗粮每袋装有2千克A粗粮，3 千克8粗粮，3 千 克 C粗粮；乙种粗粮每袋装有4千克A粗粮，2千克B粗粮，2千 克 C粗 粮 . 甲 、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中4 、B 、C三种粗粮的成本价之和. 已知每袋甲种粗粮的成本比每袋乙种粗粮的成本高1 0 % , 每袋甲种粗粮的利润比每袋乙种粗粮的利润高5 0 % . 当电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比为2 ： 1 时，销售利润率为2 5 % ；当电商销售这两款袋装粗粮的销售利润率为2 4 % 时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是.1

8、5 . （ 2 0 2 1 秋门头沟区校级期中）阅读下列材料：-1 的 解 为 x= l ,x+1 x x-2 x-3工的解为x = 2 , ，的解为x = 3 . 请你x x-l x-3 x-4 x-l x_2 x-4 x-5观 察 上 述 方 程 与 解 得 特 征 ， 写 出 能 反 映 上 述 方 程 一 般 规 律 的 方程，这个方程的解为三 . 解 答 题 （ 共 5小题）1 6 . （ 2 0 2 1 秋北倍区校级期中）解方程：( 1 ) 4 x - 3 = 7 - x ；( 2 ) 4 x- 2 ( 3 x- 2 ) = 2 ( x- l ) ； 0. 6x+0. 5 _0.

9、03x+0. 2 x-90. 2 0 7 0 6 31 7. ( 2 0 2 1 秋和平区校级期中) 解二元一次方程组: (X + 3 y = 7,I x=y-9 (2x+3y=5I x-3y=l1 8 . ( 2 0 2 1 秋梁溪区期中) 解方程：( 1 ) ( x - 1 ) 2 = 3 6 .(2) (x -4 ) 2=2 (x -4 ).(3) W+3x- 18=0.(4) 2?+3x- 1=0.19. (2021秋新化县校级期中) A, 8 两种型号机器人搬运原料，已知A 型机器人比8 型机器人每小时多搬运10仅，且 A 型机器人搬运100版所用时间与B型机器人搬运80依所用时间相

10、等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.20. (2021秋朝阳区校级期中) 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方 程 2%- 6 = 0 的解为x = 3 ,不等式组Y 1 A的解集为1VXV4.x 4o( 2x-9 0( 1 ) 在方程次-3 = 0； 4 + 1 = 0； X- (3x+l) = - 9 中，不等式组43 l-x + 8 x+；的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是户加= ( ) ,x 3 (x + l)则常数m=.( 3 ) 解两个方程：左 3 = 1和三2 + 1 上 乙2 2 3是否存在整数m,使得方

11、程三旦= i和 型 2+1工工都是关于x 的 不 等 式 组 ! 心 22 2 3 l2x+3n ,那 么 人 - B.如果 = 6 ,那么x = 32 2a 2C.如果 x - 3 = y - 3 ,那么 x = y D.如果 那么 x = y【 考点】等式的性质.【 专题】一次方程（ 组）及应用；运算能力.【 分析】根据等式的性质逐个判断即可.【 解答】解：A.当4 = 0时 、 由5 =工6不能推出人= ,故本选项不符合题意；22aB. v Xc= 6 ,2. * . x = 1 2 ,故本选项不符合题意；C. 9x-3 = y-3 ,故本选项符合题意；D .当团=0时，由g= 7 y不

12、能推出= y ,故本选项不符合题意；故选：c.【 点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性 质 1 ：等式的两边都加（ 或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2 ：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立.3 . （ 2 0 2 1 宛城区一模）数学课上，李老师出示了明代数学家程大位的 算法统宗中的一个 问 题 （ 如图） ，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（ 注：明代时1 斤= 1 6 两，故 有 “ 半斤八两”这个成语） . 给出四种设未知数及列方程（ 组 ）的

13、思路，设有x人分银子，根据题意得7 x +4 = 9 x - 8 ；设所分银子有y 两，根据题意得丫；4设所分银子有f 两，根据题意得 4得 + 8 ；设有机入分银子，所分银子有两，根 据 题 意 得 其 中 正 确 的 是 （ ）隔墙听得客分银.不知人额不知银七两分之多四两.九两分之少半斤(3（ 算法统宗）A.和B.和C.和D.和【 考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组.【 专题】应用题；一次 方 程 （ 组）及应用；应用意识.【 分析】根据题意列出方程求出答案.【 解答】解：设这群人人数为x,根据题意得：7 x + 4 = 9 x - 8 , 故正确；设所分银子的数量为x两，根

14、据 题 意 得 得 竺 鱼 故 正 确 ，不正确；7 9设有? 人分银子，所分银子有 两，根据题意得1 71 n+ 4 = n , 故不正确，I 9 m - 8 = n故选：A.【 点评】此题考查了利用方程（ 组）解决实际问题的能力，关键是能准确审题，设出未知数列出方程（ 组） .4 . （ 2 0 2 1 秋武昌区校级期中）青山村种的某农作物2 0 1 9 年平均每公顷产7 2 0 0 仅，2 0 2 1 年平均每公顷产8450口，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x ,根据题意，所列方程正确的是( )A. 7200X (1+x2) =8450 B. 7200+2X7200%=8450C

15、. 7200X (1+x) 2=8450 D. 7200X (1+x+x2) =8450【 考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【 专题】一元二次方程及应用：应用意识.【 分析】根据增长后的产量=增长前的产量X (1+增长率) ，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x ,则2021年的产量是7200 (1+x) 2,据此即可列出方程.【 解答】解：设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是X,由题意得 7200 (1+x) 2=8450.故选：C.【 点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.5. (2021秋将乐县期中) 某口罩生产厂家201

16、9年产量为100万个，为支持防疫工作，加大生产，2021年口罩产量为196万个，求该口罩厂家产量的年平均增长率. 设该口罩厂家产量的年平均增长率为x ,则根据题意可列方程为( )A. 100?= 196 B. 100 (1 -x ) 2=196C. 196 (1+x) 2=100 D. 100 (1+x) 2=196【 考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【 专题】一元二次方程及应用；应用意识.【 分析】设该口罩厂家产量的年平均增长率为x ,根 据“ 2019年产量为100万个，2021年口罩产量为196万个” ，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【 解答】解：设该口罩厂家产量的年平均增

17、长率为X,依题意得：100 (1+x) 2=196,故选：D.【 点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.6. (2021秋信都区校级月考) 解分式方程2二8- _ =8时，去分母后得到的整式方程x-7 14-2x是 ()A. 2 (x - 8) +5x=16 (x -7 ) B. 2 (x- 8) +5x=8C. 2 (x - 8) -5x=16 (x -7 ) D. 2 (x - 8) - 5x=8【 考点】解分式方程.【 专题】分式方程及应用；运算能力.【 分析】分式方程两边乘以2 ( x - 7 ) 去分母得到结果，即可作出判断.【

18、 解答】解：去分母得：2 (x -8 ) +5x=16 (x -7 ).故选：A.【 点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.7. (2021秋沙坪坝区校级月考) 若关于x 的一元一次不等式组( 3 G - l) 2 x + l的解集为 x42+ax 4 ,且关于) ， 的 分 式 方 程 空 正 当 _=4的解是非负整数解，则所有满足条件的整数。的值之和是( )A. 5 B. 7 C. 13 D. 15【 考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解.【 专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组) 及应用；运算能力.【 分析】化简一元一次不等式

19、组，根据解集为xWa得到。的取值范围；解分式方程，根据解是非负整数解，且不是增根，得 到 a 的最终范围，这个范围内能使y 是整数的a 确定出来求和即可.【 解答】解：一元一次不等式组整理得到：,x 2 + a . 不等式组的解集为x 6 0C . 6 x - 2 ( 1 6 - x ) 6 0 D . 6 x -2 (16 -x ) 6 0【 考点】由实际问题抽象出一元一次不等式.【 专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识.【 分析】设该同学答对了 x道，则 答 错 (16 - 1 - x ) 据得分超过6 0分列出不等式即可.【 解答】解：设答对x道，则 答 错 (16 - 1 - x

20、 ) 道，由题意得6 x - 2 (16 - 1 - x ) 6 0,故选：B.【 点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出题目蕴含的不等关系列出不等式解决问题.9 . (2 02 1秋呼和浩特月考)一双鞋子如果卖15 0元，可赚5 0 % , 如果卖12 0元可赚( )A . 2 0% B . 2 2 % C . 2 5 % D . 3 0%【 考点】一元一次方程的应用.【 专题】一次方程(组)及应用；应用意识.【 分析】设鞋子的原价为x元，根据鞋子如果卖15 0元，可赚5 0%列出方程求出原价，再求卖12 0元可赚百分率.【 解答】解：设鞋子的原

21、价为x元，由题意得：x (1+ 5 0%) = 15 0,解得：x = 100,则 (12 0 - 100) + 100= 2 0%,. .卖12 0元可赚2 0%,故选：A.【 点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程.10. （ 2 02 1秋沙坪坝区校级期中） 九章算术中记载了一个问题，原文如下：“ 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？ ”大意是：有几个人一起去买一件物品， 每人出8文， 多3文； 每人出7文， 少4文， 求人数及该物品的价格.小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程8 x -3 = y ,则符合题意的另一个方程 是

22、 （ ）A . 7 x -4 = y B . 7 x + 4 = y C .工+ 4 = x D .工-4 = x7 7【 考点】一元一次方程的应用；由实际问题抽象出二元一次方程；二元一次方程组的应用.【 专题】一次方程（ 组）及应用；推理能力；应用意识.【 分析】由已经列出的方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结 合 “ 每人出7元，少4元” ，即可列出另一方程，此题得解.【 解答】解：；每人出8元，多3元，且已经列出一个方程8 x -3 = y ,.X表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格.又：每人出7元，少4元，； .7 x + 4 = y .故选：B.【 点评

23、】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.填 空 题 （ 共5小题）11.（ 2 02 1秋肇源县期中）若（ m-2 ） - 1 5是关于x的一元一次不等式，则机的值为 1 .【 考点】一元一次不等式的定义.【 专题】一元一次不等式（ 组）及应用；运算能力.【 分析】利用一元一次不等式的定义判断即可.含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.【 解答】解： （ 机-2 ） / ”1-1 5是关于X的一元一次不等式，.（ i r r 2卢 0解得m=l,故答案为：1 .【 点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元

24、一次不等式的定义是解题的关键.12 . （ 2 02 1秋梁溪区校级期中）若 方 程 （ ? -4 ）例-2 1+ 3 * + 5 = 0是一元二次方程,则？ 的值等于 Q .【 考点】绝对值；一元二次方程的定义.【 专题】一元二次方程及应用：运算能力.【 分析】 根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2 ；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案.【 解答】解： 方 程 （ ， -4 ） / 厂2 1+ 3 /5 = 0是一元二次方程，. f m -4卢0 I lm - 2 1 = 2 1解得机= 0 .故答案为：0 .【 点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断

25、一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2 .1 3 . （ 2 0 2 1秋磐石市期中）已知关于x的一元一次方程3 x = 2 x + m的解为x = - 3 ,则根的值为 - 3 .【 考点】一元一次方程的解.【 专题】一次方程（ 组 ）及应用；运算能力.【 分析】直接把x的值代入，进而得出答案.【 解答】解： . 关于x的一元一次方程3 x = 2 x + m的解为x=- 3 ,： . 3 X （ - 3 ） = 2 X （ - 3 ） + m,解得：m - - 3 .故答案为：- 3 .【 点评】此题主要考查了一元一次方

26、程的解，正确把已知数据代入是解题关键.1 4 . （ 2 0 2 1秋北孺区校级月考）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮. 其中，甲种粗粮每袋装有2千克A粗粮，3千克8粗粮，3千 克C粗粮；乙种粗粮每袋装有4千克A粗粮，2千克B粗粮，2千 克C粗 粮 . 甲 、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A、8、C三种粗粮的成本价之和. 已知每袋甲种粗粮的成本比每袋乙种粗粮的成本高1 0 % ,每袋甲种粗粮的利润比每袋乙种粗粮的利润高5 0 % .当电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比为2 ： 1 时，销售利润率为2 5 % ；当电商销售这两款袋装粗粮的销售利润率为2

27、4 % 时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是1 0 ： 9 .【 考点】三元一次方程组的应用.【 专题】一次方程( 组) 及应用；数据分析观念；应用意识.【 分析】设 A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z 元，可得甲的成本，乙的成本，再求出甲、乙的售价，根据甲的利润+ 乙的利润= ( 甲的成本+ 乙的成本) X 2 4 % ,根据等式的性质，可得答案.【 解答】解：设 A的单价为x元，8的单价为y元，C的单价为z 元，甲种粗粮的售价为加元，乙种粗粮的售价为“元，当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为2 4 % 时，该电商销售甲的销售量为。袋，乙的销售量为。 袋，由题意得：甲每袋的成

28、本是2 r + 3 尸3 z , 乙每袋的成本是4 x + 2 y + 2 z ,2x+ 3y+ 3z= ( 4x+ 2y+ 2z) ( 1 + 1 0 % ) ,化简得，3xy+ z,甲每袋的成本是I l x , 乙每袋的成本是1 0 x , 每袋甲种粗粮的利润比每袋乙种粗粮的利润高5 0 % ,： .m- lx= ( n- 10A:) ( 1 + 5 0 % ) ,:电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比为2 ： 1 时，销售利润率为2 5 % ,： .2 ( n - 1 0 x ) ( 1 + 5 0 % ) + n- 1 0 x = ( 2 X l l x + 1 0 x ) x 2 5

29、 % ,解得，n 2x, 14x,甲每袋的售价为1 4 x 元，乙每袋的售价为1 2 x 元，根据甲乙的利润，得 ( 1 4 x - l l x ) a+ ( 1 2 x - 1 0 x ) b = ( IZ x a + l O x Z ? ) x 2 4 % ,化简得：3 a + 2 6 = 2 . 6 4 a + 2 . 4 b0 . 3 6 a = 0 . 4 / ?* a： b 9 故答案为：1 0 ： 9 .【 点评】本题考查了二元-次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键.1 5 . ( 2 0 2 1 秋门头沟区校级期中) 阅读下列材料

30、：，的解为x = l ,x + 1 x x - 2 x - 3工- ，的解为x = 2 , - = - L - -的 解 为 x = 3 . 请你x x - 1 x - 3 x - 4x - 1 x - 2 x - 4 x - 5观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程1-x - ( n - 2 ) 一111x - ( n - l ) -x - ( n + l ) - x - ( n + 2 )-【 考点】分式方程的解；解分式方程.,这 个 方 程 的 解 为 尸【 专题】规律型：运算能力.【 分析】根据已知方程的特点归纳总结得出一般性规律，写出第个方程，表示出方程的解即可.【

31、 解答】解：方程为 J 、 - J、= J、 - J、，方程的解是x=n,x - ( n - 2 ) x - ( n - l ) x - ( n + l ) x - ( n + 2 )故答案为： - - - ：- - - - - - - - - - - - =- - - - - - - - - - - - ，x=n.x - ( n - 2 ) x - ( n - l ) x - ( n + 1 ) x - ( n + 2 )【 点评】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解此题的关键.三 . 解 答 题 ( 共 5 小题)1 6 . ( 2 0 2 1 秋北硝区校级期中) 解方程:( 1 )

32、 4 x - 3 = 7 - x ；( 2 ) 4 x - 2 (3A: - 2 ) = 2 ( x - 1 ) ；( 3 )x3 x + 225 x - 2 I- 0 . 6 x + 0 . 5 0 . 0 3 x + 0 . 2 x - 90 . 2 0 7 0 6 3【 考点】解一元一次方程.【 专题】一次方程( 组) 及应用；运算能力.【 分析】( 1 ) 通过移项、合并同类项、X的系数化为1 解决此题.( 2 ) 通过去括号、移项、合并同类项、x 的系数化为1 解决此题.( 3 ) 通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x 的系数化为解决此题.( 4 ) 通过去分母、去括号、移项、合

33、并同类项、x 的系数化为1 解决此题.【 解答】解 : (1 ) V4x-3= 7 -x,： . 4x+x= 7 +3.-.5JV=10. * x=2.(2) V4x- 2 (3x-2) =2 (x- 1),.4x - 6x+4=2x - 2.,.4x - 6x - 2x= -2 -4 .- 4x= - 6. 丫 A =3，2(3) V J x + 2 =3_5X-2x 2 s 3 6x-3 (3x+2) = 1 8 -2 (5x- 2).,.6x - 9x - 6=18 - 10x+4. 6x-9x+l(k= 18+4+6. 7x=28.x=4. .0 6 x+0 5 0. 03x+0. 2

34、0. 20. 063.*.30 (0.6x+0.5) - 100 (0.03x+0.2) = 2 (x-9).,.18x+15 - 3x-2O=2x - 18.：.Sx-3 x-2 x= - 18+20- 15./. 3x= - 13. x .【 点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键.17. （ 2021秋和平区校级期中）解二元一次方程组:(1)(2)x+3y = 7x= y -92x+3y = 5x-3y = l【 考点】解二元一次方程组.【 专题】一次 方 程 （ 组）及应用：运算能力.【 分析】（ 1）根据代入消元法解决此题.（ 2）将 2x+3y

35、=5记作式，x - 3 y = l 记作式. 由变形得x=3y+l ，再运用代入消元法解决此题.【 解答】解：（ 1）将 =- 9 代入x+ 3 y=7 ,得 y-9+3y=7.y+3y=7+9.4y=16.，y=4./.x=y - 9=4 - 9 = - 5. . . 这个方程组的解为 x=Y.I y=4( 2 ) 将 2x+3y=5记作式，x- 3 y = l记作式.由，得 x=3y+l.将代入，得 2 (3y+l) +3)，=5.6y+2+3y=5.6y+3y=5 - 2.：.9y=3.工.3，x = 3 X JL+1=2.3x=2这个方程组的解为| i.【 点评】本题主要考查解二元一次

36、方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键.18. (2021秋梁溪区期中)解方程：(1) (x - 1) 2=36.(2) (x - 4) 2=2 (x - 4).(3) /+3x- 18=0.(4) 2x1+3x- 1=0.【 考点】解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程- 因式分解法.【 专题】一元二次方程及应用；运算能力.【 分析】(1 ) 利用直接开平方法求解即可；( 2 ) 利用因式分解法求解即可；(3 ) 利用因式分解法求解即可；( 4 ) 利用公式法求解即可.【 解答】解：(1 )(X - 1 ) 2= 36 ,. * . X - 1 =

37、 6 ,* * * x i =7 , X2= 5 ；(2) (x-4) 2= 2 (x-4),(x-4) 2-2 (x- 4) = 0,(x-4) (x-4-2) = 0,. * . % - 4= 0 或 x - 6 = 0,A xi = 4, X 2= 6 ；(3) /+3x- 1 8 = 0,(x+6 ) (x - 3) = 0,A x+6 = 0 或工-3= 0,* xi= _ 6 , %2= 3；(4) 2? +3x- 1 = 0,Va = 2, b=3, c= - 1 ,.-4a c = 32-4X 2X ( - 1 ) = 1 7 , 1 . - - b t V b a c _ -

38、3 V1 7 _ -3 V1 72a 2X2 4一 , =-3+7 1 7 -3-V1 74 4【 点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法.1 9 . (2021秋新化县校级期中)A , 8两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比8型机器人每小时多搬运10kg,且A型机器人搬运1 00依 所用时间与B型机器人搬运8 0依所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.【 考点】分式方程的应用.【 专题】分式方程及应用；应用意识.【 分析】设B型机器人每小时搬运Mg原料，则A型机器人

39、每小时搬运(x+1 0) kg原料,根据工作时间= 工作总量+工作效率，结合A型机器人搬运1 00版 所用时间与B型机器人搬运8 0总所用时间相等，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出结论.【 解答】解：设 8机器人每小时搬运x 千克原料，则A机器人每小时搬运(x+1 0) kg.根据题意得：期_=殁，x+10 x去分母得：1 00x= 8 0 (x+1 0),A 1 00x= 8 0x+8 00,20x= 8 00,. ,. x= 40,经检验得x = 4 0 是原方程的解，.JC=40,即 x+1 0= 5 0.答：A机器人每小时搬运5 0牡，8机器人每小时搬运40k g .【 点评】

40、本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，根据A型机器人搬运1 00依所用时间与B型机器人搬运8 0奴 所用时间相等列出方程是解决问题的关键.20. (2021 秋朝阳区校级期中)如果一元一次方程的解也是一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方 程 2 x - 6 = 0 的解为x = 3 , 不等式组，的解集为l Vx 4.x4(1 )在方程3x-3 = 0 ；4o + 1=0 ；x- (3x+l ) =- 9中，不等式组fJ2x-903 j-x+8x+l的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m=0,x3 (x+1)则常数m = 2 .(3)解两个方程：

41、空和空2 + i 上 乙2 2 3是否存在整数m,使得方程三旦= i 和三2+ 1J也都是关于x 的不等式组卜2 22 1 2 1 3 l2x+3ir2的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数， 的值；若不存在，请说明理由.【 考点】一元一次方程的解；一元一次不等式的定义：解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解.【 专题】一次方程（ 组）及应用；一元一次不等式（ 组）及应用；运算能力.【 分析】（ 1 ）先根据等式的性质求出三个方程的解，再求出不等式组的解集，再得出答案即可；（ 2 ）先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，求 出 x = - 2,再代入方程x

42、 +m= 0求出机即可；（ 3） 先求出两个方程的解，再求出不等式组的解集，得出关于根的不等式组，再求出不等式组的解集即可.【 解答】解：（ 1）3x - 3=0 ,3x 3,x = l ； 2 r+l =0 ,32 =-1,3人X = - -3.2 x - ( 3x +l ) = - 9,x - 3x - 1 = - 9,- 2x= 8,x =4 ,roY_Q 0解不等式组1 得：3. 5x 4 . 5,- x +8x +l所以不等式组2 x - 90的关联方程是,- x +8x +l得：-2 .5 X3 ( x +1)所以不等式的整数解是x = - 2 ,. . 不等式组43： +6x +

43、；的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x + ?=o ,x 3 （ x +1），把 x = - 2 代入方程 x +?=0 得： - 2 +m=0 ,解得：m=2 ,故答案为：2 ：( 3)不存在整数也 使得方程主旦=1和三2+ 1 *1都是关于X的不等式组(X3 22 2 3 l 2 x +3i r2的关联方程，理由是：型3=1，2x +3=2 ,x = - 1;3 ( x +2 ) +6=2 ( x +7) ,3x +6+6=2 x +14 ,3x - 2x= 14 - 6- 6,x 2 ,解不等式组! 2 2得：2 -机 在 迎 ，l 2 x +3i r2 2假如方程2至 =1和三

44、2 + 1一11都是关于X的不等式组(X 32的关联方程，2 1 2 1 3 l 2 x +3i r2则 2 - m 2 ,22 - i rrC -1解不等式组( 2-3 m得：不等式组无解，,2所以不存在整数处使得方程史3=1和三2+ 1 *1都是关于x的不等式组fG2的关联方程.【 点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次方程，能求出方程的解和求出不等式组的解集是解此题的关键.考点卡片1 . 绝对值( 1 ) 概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.有理数的绝对值都是

45、非负数.( 2 ) 如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，”的绝对值是它本身a ；当。是负有理数时，a的绝对值是它的相反数- “ ；当a是零时，。的绝对值是零.即= a ( a 0 ) 0 ( a =0 ) - a ( a 0 )2 . 数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决， 生活中的一些数学常识要了解. 比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等.平时要注意多观察，留意身边的小知识.3 . 等式的性质( 1) 等式的性质性 质 1、等式两边加同一个数( 或式子) 结果仍得等式；性质2 、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍

46、得等式.( 2 ) 利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x= a的形式转化.应用时要注意把握两关：怎样变形；依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的.4 . 一元一次方程的定义( 1 ) 一元一次方程的定义只含有一个未知数( 元) ，且未知数的次数是1 , 这样的方程叫一元一次方程.通常形式是公+8=0 （ a , 6为常数，且a W O ） . 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式. 一元指方程仅含有一个未知数， 一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为。 . 我们将办+6 = 0 （其中x是未知数，a、 b是已知数， 并且a W O ）叫一

47、元一次方程的标准形式. 这里是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1 .（ 2 ） 一元一次方程定义的应用（ 如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面. 求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法.5 . 一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.6 . 解一元一次方程（ I ）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 ,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐

48、向x = a形式转化.（ 2 ）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.（ 3 ）在解类似于“ a r +6 x = c” 的方程时， 将方程左边， 按合并同类项的方法并为一项即（ a +b ）x = c. 使方程逐渐转化为以= % 的最简形式体现化归思想. 将办=匕系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是。还是从 尤其“为分数时；二要准确判断符号，a、匕同号x为正，a、b 异号x 为负.7 . 一元一次方程的应用（ -）一元一次方程解应用题的类型有：（ 1 ）探索规律型问题；（ 2

49、）数字问题；（ 3 ）销售问题（ 利润=售价- 进价，利润率=粤 维X 1 0 0 % ） ； （ 4 ）工程问题（ 工作量=进价人均效率X人数X时间； 如果一件工作分几个阶段完成， 那么各阶段的工作量的和=工作总量） ；（ 5 ）行程问题（ 路程=速度X时间） ；（ 6 ）等值变换问题；（ 7 ）和，差，倍，分问题；（ 8 ）分配问题；（ 9 ）比赛积分问题；（ 1 0 ）水流航行问题（ 顺水速度= 静水速度+水流速度；逆水速度= 静水速度- 水流速度） .（ 二 ） 利用方程解决实际问题的基本思路如下: 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x

50、, 然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹 h 解、答.列一元一次方程解应用题的五个步骤1 . 审 ：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.2 .设：设未知数（ x ） ,根据实际情况，可设直接未知数（ 问什么设什么） ，也可设间接未知数.3 .歹 I J ：根据等量关系列出方程.4 .解：解方程，求得未知数的值.5 .答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.8 . 由实际问题抽象出二元一次方程（ 1 ）由实际问题列方程是把“ 未知”转 化 为 “ 已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系

51、.（ 2） 一般来说，有 2 个未知量就必须列出2 个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符.（ 3 ）找等量关系是列方程的关键和难点. 常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式.9 . 解二元一次方程组（ 1 ）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. 将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程，求出x（ 或 y ）的值. 将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数

52、的值. 把求得的x 、y的值用“ ”联立起来，就是方程组的解.（ 2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数， 就用适当的数去乘方程的两边， 使某一个未知数的系数相等或互为相反数. 把两个方程的两边分别相减或相加， 消去一个未知数，得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程，求得未知数的值. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值. 把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用f x = a的形式表示.I y = b1 0 .由实际问题抽象出二元一次方程组（ 1 ）由实际问题列方程组是把“

53、未知”转 化 为 “ 已知”的重要方法，它的关键是把己知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.（ 2） 一般来说，有儿个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符.（ 3 ）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：确定应用题的类型， 按其一般规律方法找等量关系. 将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有 “ ； ”时一般“ ； ”前后各一层，分别找出两个等量关系. 借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系. 图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系.1 1 .二元一次方程组的应用（ - ）列二元一次方

54、程组解决实际问题的一般步骤：（ 1 ）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.（ 2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.（ 3 ）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.（ 4 ）求解.（ 5 ）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.（ - ）设元的方法：直接设元与间接设元.当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元. 无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程.12 .三元一次方程组的应用在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程.（ 1

55、）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础.（ 2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性.13 . 一元二次方程的定义（ 1 ） 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.（ 2 ）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2 .（ 3 ）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“ 化简后” ；“ 一个未知数” ;“ 未知数的最高次数是2 ” ； “ 二

56、次项的系数不等于0 ； “ 整式方程” .14 . 解一元二次方程- 直接开平方法形如或（ nx + % ）2= p （ p 2 0 ）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成/ =2的形式，那么可得 = 4 ；如果方程能化成（ X+ 7 ）2p （ p 2 0 ）的形式，那么注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.方法是根据平方根的意义开平方.15 . 解一元二次方程- 公式法 把i 乒（ Z ?2 - 4 ac 0 ）叫做一元二次方程（ a W O ）的求根公式.（ 2 ）用求根公式解一元二次方程的

57、方法是公式法.（ 3 ）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进 而 确 定 小 6 , c 的 值 （ 注意符号） ；求出户 - 4 。 的 值 （ 若 序 - 4 a c V 0 , 方程无实数根） ；在的前提下，把 a、b、c 的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：a W O ；/-4“ c2 0 .16 . 解一元二次方程- 因式分解法（ 1 ）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这种方法简便易用， 是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0 ,再把左边通过因式分

58、解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0 ,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（ 数学转化思想） .（ 2 ）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别为零， 得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程， 它们的解就都是原方程的解.17 .由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系， 设出未知数， 用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系

59、，即列出一元二次方程.18 .分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解.注意： 在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中， 扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.19 .解分式方程（ 1 ）解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验：得出结论.（ 2 ）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0 ,所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0 ,则整式方程的解是原分式方程的解.将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0 ,则整

60、式方程的解不是原分式方程的解.所以解分式方程时，一定要检验.20 .分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹U、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题， 规范解题步骤， 另外还要注意完整性： 如设和答叙述要完整，要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率= 工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意， 找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.21 . 一元一次不等式的定义（ 1 ）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.（ 2 ）概念解析一方面： 它与一元一次方程相

61、似， 即都含一个未知数且未知项的次数都是一次， 但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接.另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数. 但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式.22 . 解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为L以上步骤中，只有去分母和化系数为1可能用到性质3 ,即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向.注意：符 号 和 分 别 比 和 各 多 了 一 层 相 等 的 含 义 ，它们是不等号与等号合写形式.23

62、.由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如 “ 大 于 （ 小于） 、不 超 过 （ 不低于） 、是 正 数 （ 负数） ”“ 至少” 、“ 最多”等等，正确选择不等号.因此建立不等式要善于从“ 关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系.24 . 解一元一次不等式组（ I ）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.（ 2 ）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.（ 3 ） 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.25. 一元一次不等式组的整数解（ 1）利用数轴确定不等式组的解（ 整数解） .解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集, 然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.（ 2）已知解集（ 整数解）求字母的取值.一般思路为： 先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等， 然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.