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1、学案学案11 11 导数及其运算导数及其运算 导导导导数数数数及及及及其其其其运运运运算算算算(1)了解导数概念的实际背景了解导数概念的实际背景.(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义通过函数图象直观理解导数的几何意义.(3)能根据导数的定义求函数能根据导数的定义求函数y=C(C为常数为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y=x的导数的导数.(4)能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数函数的导数.常见的基本初等函数的导数公式常见的基本初等函数的导数公式:(C)=0(C为常数为常数);(
2、xn)=nxn-1(nN+);(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(ex)=ex;(ax)=axlna(a0,且且a1);(lnx)= ;(logax)= logae(a0,且且a1).常用的导数运算法则常用的导数运算法则:法则法则1:u(x)v(x)=u(x)v(x).法则法则2:u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x).法则法则3: (v(x)0). 1.导数的几何意义是高考考查的重点内容导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中. 2.导数的运算每年必考导数的运算每年必
3、考,一般不单独考查一般不单独考查,在考查导在考查导数应用的同时考查导数的运算数应用的同时考查导数的运算.1.导数的概念若函数若函数y=f(x)在在x0处的增量处的增量y与自变量的增量与自变量的增量x的比的比值值,当当x0时的极限时的极限lim = 存在存在,则称则称f(x)在在x0处可导处可导,并称此极限值为函数并称此极限值为函数f(x)在在x0处的处的导数导数,记为记为 或或 .x0y|x=x f(x0) 02.导函数如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内每一点都可导内每一点都可导,就就 说说f(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导,其导数也是开区间其导数也是开区间(a,
4、b)内的内的函数函数,又称作又称作f(x)的导函数的导函数,记作记作 或或 .3.函数f(x)在x0处的导数函数函数f(x)的导函数的导函数f(x)在在x=x0处的函数值处的函数值 即为函数即为函数f(x)在在x0处的导数处的导数.4.导数的几何意义(1)设函数设函数f(x)在在x0处可导处可导,则它在该点的导数等于函数所则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的处的 .(2)设设s=s(t)是位移函数是位移函数,则则s(t0)表示物体在表示物体在t=t0时刻的时刻的 .f(x) y f(x0) 切线的斜率切线的斜率 瞬时速度瞬时速度 (3)设设v=v(
5、t)是速度函数是速度函数,则则v(t0)表示物体在表示物体在t=t0时刻的时刻的 .5.常用的导数公式C= (C为常数为常数);(xm)= (mQ);(sinx)= ;(cosx)= ;(ex)= ;(ax)= ;(lnx)= ;(logax)= .6.导数的运算法则f(x)g(x)=f(x)g(x),Cf(x)=Cf(x)(C为常数为常数),加速度加速度0 mxm-1 cos x -sinx exaxlnalogae f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),7.复合函数求导的运算法则一般地一般地,设函数设函数u=(x)在点在点x处有导数处有导数ux= (x),函函数数y=f(u
6、)在在u处有导数处有导数yu=f(u),则复合函数则复合函数y=f(x)在点在点x处也有导数处也有导数,且且y x=_= .f(u)(x) yuux考点考点考点考点1 1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义用定义法求下列函数的导数用定义法求下列函数的导数.(1)y=x2; (2)y= .【分析分析】先求先求 ，再求其，再求其x0时的极限时的极限.【解析解析】 (1)= =2x+x,y=lim =lim(2x+x)=2x.(2)y= =- , =-4 ,lim =lim -4 = .x0x0x0x0 【评析评析评析评析】 利用导数定义求函数的导数应分三步：利用导数定义求函数的导数应分三步：
7、求函数求函数增量增量y;求平均变化率求平均变化率 ;求极限求极限lim .x0用定义求函数用定义求函数y=f(x)= 在在x=1处的导数处的导数. 【解析解析解析解析】y=f(1+x)-f(1)考点考点考点考点2 2 求简单函数的导数求简单函数的导数求简单函数的导数求简单函数的导数 (1)f（x）=ax3+3x2+2,若若f (-1)=4,则则a= .(2)已知已知f（x)=x2,g（x)=x3,若若f（x)-g(x)=-2,则则x= .(3)函数函数y=xcosx-sinx的导数为的导数为 .【分析分析分析分析】应用导数公式和导数的运算法则求解应用导数公式和导数的运算法则求解. 【 解析解析
8、解析解析】 （1）f(x)=3ax2+6x,f(-1)=3a-6=4,a= .(2)f(x)=2x,g(x)=3x2,f(x)-g(x)=2x-3x2=-2,整理得整理得3x2-2x-2=0,x= .(3)y=(xcosx)-(sinx)=xcosx+x(cosx)-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 【评析评析评析评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性并进行简单的求导数运算，注意
9、运算中公式使用的合理性并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性及准确性及准确性及准确性. .求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1) y= ;(2) y= ;(3)y=xex;(4)y=tanx.【解析解析】(1) y .(2)y=(3)y=xex+x(ex)=ex+xex=ex(x+1).(4)y= 求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=sin(2x+ ); （2）y=e2x-sinxcosx. 【分析分析分析分析】形如形如f(ax+b)型函数的导数型函数的导数,可用复合函数的可用复合函数的求导法则求导法则.考点考点
10、考点考点3 3 求复合函数的导数求复合函数的导数求复合函数的导数求复合函数的导数【解析解析解析解析】 【评评评评析析析析】对对对对复复复复合合合合函函函函数数数数进进进进行行行行求求求求导导导导时时时时，中中中中间间间间变变变变量量量量的的的的选选选选择择择择应应应应是是是是函函函函数数数数的的的的基基基基本本本本结结结结构构构构，即即即即通通通通过过过过中中中中间间间间变变变变量量量量的的的的选选选选择择择择，把把把把复复复复合合合合函函函函数数数数分分分分解解解解成成成成若若若若干干干干个个个个基基基基本本本本初初初初等等等等函函函函数数数数的的的的形形形形式式式式，再再再再按按按按由由由
11、由外外外外到到到到内的顺序逐层求导内的顺序逐层求导内的顺序逐层求导内的顺序逐层求导. .求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y= ;(2)y=sin2(2x+ );(1)设设u=1-3x,y=u-4.则则yx=yuux=-4u-5(-3)= .(2)设设y=u2,u=sinv,v=2x+ ,则则yx=yuuvvx=2ucosv2=4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ ).设函数设函数f（x）=g（x）+x2，曲线，曲线y=g（x）在点（）在点（1，g（1）处的切线方程为）处的切线方程为y=2x+1，则曲线，则曲线y=f（x）在点）在点（1，f（1）处切线的斜率为）处切线
12、的斜率为( )A.4 B. C.2 D.【分析分析】利用导数的几何意义解题利用导数的几何意义解题.【解析解析】由条件知由条件知g(1)=2,又又f(x)=g(x)+x2=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=2+2=4.故应选故应选A.考点考点考点考点4 4 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义【评析评析评析评析】曲线在某点处切线的斜率即为该点处的导数曲线在某点处切线的斜率即为该点处的导数.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,点点P在曲线在曲线C:y=x3-10x+3上上,且在第二象限内且在第二象限内,已知曲线已知曲线C在点在点P处的切线斜率处的切线斜率为为2,则
13、点则点P的坐标为的坐标为 . 由由y=x3-10x+3，得，得y=3x2-10，由曲线由曲线C在点在点P处的切线的斜率为处的切线的斜率为2，y=3x2-10=2，即即x2=4，又点，又点P在第二象限，在第二象限，x=-2，又点，又点P在曲线在曲线C上，上，y=（-8）+20+3=15，则点则点P的坐标为（的坐标为（-2，15）.设函数设函数f（x)=ax- ,曲线曲线y=f（x)在点（在点（2，f（2)）处的）处的切线方程为切线方程为7x-4y-12=0.（1）求）求f（x)的解析式；的解析式；（2）证明：曲线）证明：曲线y=f（x)上任一点处的切线与直线上任一点处的切线与直线x=0和和直线直
14、线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值所围成的三角形面积为定值，并求此定值.考点考点考点考点5 5 综合应用综合应用综合应用综合应用【分析分析】由导数的几何意义求出由导数的几何意义求出a,b，则解析式可求；，则解析式可求；由三角形面积公式，求切点横坐标由三角形面积公式，求切点横坐标. 【解析解析】【评析评析评析评析】“ “过某点过某点过某点过某点” ”与与与与“ “在某点处在某点处在某点处在某点处” ”的切线是不的切线是不的切线是不的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在同的，过某点的切线，此
15、点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点某点处的切线才表明此点是切点某点处的切线才表明此点是切点某点处的切线才表明此点是切点. .【解析解析】1.2010年高考课标全国卷年高考课标全国卷曲线曲线y=x3-2x+1在点（在点（1，0）处的切线方程为）处的切线方程为 ( )A.y=x-1 B.y=-x+1C.y=2x-2 D.y=-2x+22.2010年高考辽宁卷年高考辽宁卷已知点已知点P在曲线在曲线y= 上，上，为为曲线在点曲线在点P处的切线的倾斜角，则处的切线的倾斜角，则的取值范围是的取值范围是( )A. B. C. D. 【解析解析】 1.A（由题可知，点（由题可知，点（1，0）在曲
16、线）在曲线y=x3-2x+1上，求导可得上，求导可得y=3x2-2,所以在点（所以在点（1，0）处的切线的斜率）处的切线的斜率k=1,切线过点（切线过点（1，0），），根据直线的点斜式可得过点（根据直线的点斜式可得过点（1，0）的曲线）的曲线y=x3-2x+1的切线方程为的切线方程为y=x-1.故应选故应选A.)求求导导数数时时，先先化化简简再再求求导导是是运运算算的的基基本本方方法法.一一般般地地，分分式式函函数数求求导导，要要先先观观察察函函数数的的结结构构特特征征，可可先先化化为为整整式式函函数数或或较较简简单单的的分分式式函函数数；对对数数函函数数求求导导先先化化为为和和、差差形形式式
17、；三三角角函函数数求求导导，先先应应用用三三角角公公式式转转化化为为和和或或差差的形式的形式.求形如求形如求形如求形如f(ax+bf(ax+b) )型复合函数的导数型复合函数的导数型复合函数的导数型复合函数的导数, ,一般要利用求导法则一般要利用求导法则一般要利用求导法则一般要利用求导法则求导求导求导求导, ,将问题转化为基本函数的导数解决将问题转化为基本函数的导数解决将问题转化为基本函数的导数解决将问题转化为基本函数的导数解决, ,具体地具体地具体地具体地: :(1)(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的
18、要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的, ,适适适适当选定中间变量当选定中间变量当选定中间变量当选定中间变量. .(2)(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导, ,而而而而其中特别需要注意中间变量的系数其中特别需要注意中间变量的系数其中特别需要注意中间变量的系数其中特别需要注意中间变量的系数. .(3)(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则根据基本函数的导数公式及导数的运算法则根据基本函数的导数公式及导数的运算法则根据基本函数的导数公式及导数的运算法则, ,求出求出求出求出各函数的导数各函数的导数各函数的导数各函数的导数, ,并把中间变量转换成自变量的函数并把中间变量转换成自变量的函数并把中间变量转换成自变量的函数并把中间变量转换成自变量的函数. .(4)(4)对较复杂的函数对较复杂的函数对较复杂的函数对较复杂的函数, ,要先化简再求导以简化运算过程要先化简再求导以简化运算过程要先化简再求导以简化运算过程要先化简再求导以简化运算过程. .
