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1、会计学1简单简单(jindn)复合函数的求导法则复合函数的求导法则90193第一页，共20页。 导数导数(do sh)的加减法法则：的加减法法则： 导数的乘除导数的乘除(chngch)法法则：法法则：第1页/共19页第二页，共20页。引例引例(yn l) 一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积成一个圆形油膜，其面积 是半径是半径 的函数：的函数： 油膜半径油膜半径 随着时间随着时间 的增加而扩大，其函数关的增加而扩大，其函数关系为：系为： 问：油膜面积问：油膜面积 关于时间关于时间 的瞬时变化率是多的瞬时变化率是多少？少？第2
2、页/共19页第三页，共20页。分析分析(fnx)：油膜面积油膜面积 关于时间关于时间 的新函数：的新函数：由于由于所以由导数所以由导数(do sh)的运算法则可得：的运算法则可得： 第3页/共19页第四页，共20页。概括概括(giku) 一般地，对函数一般地，对函数 和和 ，给定给定 的一个值，可得的一个值，可得 的值，进而确定的值，进而确定 的值，的值，这就确定了新函数这就确定了新函数 ，它是由，它是由 和和 复合而成的，我们称之为复合函复合而成的，我们称之为复合函数，其中数，其中 是中间变量。是中间变量。复合函数复合函数 的导数：的导数：第4页/共19页第五页，共20页。复合函数复合函数
3、中，令中，令 ，则，则注意注意(zh y)： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中阶段我们只讨论阶段我们只讨论 的情况。的情况。推广推广(tugung)：注意：注意：不要写成不要写成 ！对对x求导求导对对 求导求导第5页/共19页第六页，共20页。 例例1 求函数求函数 的导数。的导数。例例2 求函数求函数 的导数。的导数。 例例3 一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中，一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中，水面高度水面高度 关于时间关于时间 的函数为：的函数为：求其在求其在 时的导数，并解释其意义。时的导数，并解释其意义。解析解析(ji x)解
4、析解析(ji x)解析解析(ji x)第6页/共19页第七页，共20页。例例4 求下列求下列(xili)函数的导数：函数的导数： 前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则中的对应法则 f 是未知的，是抽象是未知的，是抽象(chuxing)的复合函数。它们的复合函数。它们的导数如何求得？的导数如何求得？解析解析(ji x)第7页/共19页第八页，共20页。（1）首先要弄清复合关系，特别）首先要弄清复合关系，特别(tbi)要注意中间变量；要注意中间变量；（2）尽可能地将函数）尽可能地将函数(hnsh)化简，然后再求导；化简，然后再求导；（3
5、3）要注意复合函数求导法则）要注意复合函数求导法则(fz)(fz)与四则运算的综合与四则运算的综合运用；运用；（4）复合函数求导法则，常被称为复合函数求导法则，常被称为“链条法则链条法则”，一环套一环，缺一不可一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则的注意问题：复合函数求导法则的注意问题：例例3 3第8页/共19页第九页，共20页。1. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2. 求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。动手做一做动手做一做例例4第9页/共19页第十页，共20页。求下列函数求下列函数(hnsh)的导数：的导数：动手做一做动手做一做第10页/共19页第十一页，共20页。小结小
6、结(xioji)关键：分清函数的复合关系，合理选定关键：分清函数的复合关系，合理选定(xun dn)中间变中间变量。量。 复合函数复合函数(hnsh)求导公式：求导公式：利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, , 要从其形式上把握其结构要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。法则。 抽象复合函数的导数：抽象复合函数的导数：结束结束第11页/共19页第十二页，共20页。 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄利用
7、复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，而选择中间清复合关系，而选择中间(zhngjin)变量是复合函数变量是复合函数求导的关键。求导的关键。分析分析(fnx)： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：解：解：例例2第12页/共19页第十三页，共20页。解：解： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：第13页/共19页第十四页，共20页。 利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间变量是复合函数求导的关键。必
8、须正确分析复合函数变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是一个整体，这个暂时的整体，就是(jish)中间变量。求导时需中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。中间变量的系数，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。总结总结(zngji)概
9、括概括(giku)第14页/共19页第十五页，共20页。函数由与函数由与复合而成。复合而成。分析分析(fnx)：解：解： 令令 ，由复合函数求导法则可，由复合函数求导法则可以求得：以求得：第15页/共19页第十六页，共20页。 当当 时，水面高度下降的速度是时，水面高度下降的速度是 。在对法则的运用熟练后，可以不必在对法则的运用熟练后，可以不必(bb)写中间步骤。写中间步骤。练习练习(linx)第16页/共19页第十七页，共20页。 而对于抽象复合函数的求导而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式上一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运把握其结构特征，找出中间变量，
10、另一方面要充分运用复合关系用复合关系(gun x)的求导法则。的求导法则。分析分析(fnx):(fnx): 求复合函数的导数求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关关键在于分清函数的复合关系，合理选定系，合理选定(xun dn)中间变量，明确求导过程中每次是哪中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。个变量对哪个变量求导。第17页/共19页第十八页，共20页。解：解：（1）函数是由）函数是由 与与 复合而成的，复合而成的， 由复合函数由复合函数(hnsh)的求导法则知：的求导法则知：（2）函数由）函数由 与与 复合而成，复合而成，由复合函数的求导法则知：由复合函数的求导法则知：练习练习(linx)第18页/共19页第十九页，共20页。内容(nirng)总结会计学。复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中。例3 一个港口的某一观测点的水位(shuwi)在退潮过程中，。例4 求下列函数的导数：。前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题。（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量。对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量。复合而成，由复合函数求导法则。是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清。一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。练习第二十页，共20页。
