常用模拟低通滤波器的设计

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1、第八节常用模拟低通滤波器的设计一、为何要设计模拟低通滤波器一、为何要设计模拟低通滤波器首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标后，设计“模拟低通原型”滤波器。模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。 1、Butterworth巴特渥斯滤波器2、Chebyshev切比雪夫滤波器它们都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计，它们滤波器各有特点。典型模拟滤波器的特点1、Butterworth巴特渥斯滤波器它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫滤波器 在通带或阻带等波纹，可提高选择性。3.B

2、essel贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位特性。4.Ellipse椭圆滤波器其选择性相对前三种是最好的。二、模拟滤波器设计思想模拟滤波器设计思想根据模拟滤波器设计要求，求出相应的模拟系统函数.使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群时延特性)，在此我们采用幅度平方函数特性来设计。 三、根据幅度平方函数确定系统函数1、求滤波器的幅度平方函数设 计 模 拟 滤 波 器 经 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 数 其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。假 设p1, z1为Ha(s) 的一个零点和一个极点，则-p1, -z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，

3、Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：-z1-p1z1p12、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤我 们 知 道， 实 际 滤 波 器 都 是 稳 定 的， 因 此 其 极 点 一 定 位 于S 平 面 左 半 平 面， 这 样 可 根 据 幅 度 平 方 函 数 通 过 如 下 步 骤 分 配 零、 极 点 来 设 计 出 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 。(1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。(2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。(3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性

4、的 对 比 就 可 确 定 出 增 益 常 数。 (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。将 代入 中即得到s平面函数。(2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。将左半平面的极点归于Ha(s)。如无特殊要求，可取 的对称零点的任一半作为 Ha(s) 的零点。如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为Ha(s) 的零点。且 轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s) 。 (3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 , 确 定 出 增 益 常 数。由 的条件，代入可求得增益常数。例子根据以下幅度平方函数 确定系统函数H

5、a(s).四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器1、幅度平方函数Butterworth 低 通 滤 波 器 具 有 通 带 最 平 幅 度逼近 特 性， 是 一 全 极 点 型 滤 波 器，且极点均匀分布上c的圆上，并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅 度 平 方 函 数为其 中N 为 整 数， 表 示 滤 波 器 的 阶 次，c 定 义 为 截截 止止 频频 率率， 为 振 幅 响 应 衰 减 到 - 3dB 处 的 频 率。2、Butterworth滤波器的极点分布 由 可知Butterworth的零点全部在S=处，它是全极点型滤波器，且

6、分布在半径为c 的圆上,呈象限对称分布。为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点, 设计出巴特沃斯低通滤波器.3、Butterworth的幅度响应及极点分布其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数极点不会落在S平面上的虚轴上4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。5、3dB带宽6、Butterworth滤波器的特点（总结）(1)当=0时， 即=0处无衰减。(2)当=c时，在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有幅频特性曲

7、线都经过-3dB点，或说衰减3dB,这就是3dB不变性。或通带最大衰减(3) 在c，即在过渡带及阻带中，|Ha(j)|2 也随增加而单调减小，但是/c 1，故比通带内衰减的速度要快得多，N越大，衰减速度越大。当=s ，即频率为阻带截止频率时，衰减为：(5)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而幅频特性更接近于理想的矩形频率特性。2为阻带最小衰减。7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数在一般设计中，都先把c 设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查。即

8、若令8、Butterworth滤波器设计步骤 (1) 根 据 设 计 规 定， 确 定c 和N。(2) 由 确 定Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。 (3) Sk 的 前N个值(k=1,2,.,N) ， 即 Re(Sk)0部 分 的极点，构成Ha(s).(4)常 数K0 可 由A() 和Ha(s) 的 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。 9、例子导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设c=1rad/s，N =3。解：方法一：根据幅度平方函数： 方法二方法二：由于c=1rad/s,查表得10、Butterworth滤波器的阶数N 设计公式(1)已知c 、 s和As求Butt

9、erworth DF阶数N（2）已知c 、 s和=p的衰减Ap 求Butterworth DF阶数N（3）已知p 、 s和=p的衰减Ap 和As 求Butterworth DF阶数N例子1试设计一个模拟低通Butterworth滤波器取N=3阶，根据N=3，查表得归一化系统函数：例子2设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2,止带频率ws=0.4,在 w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。(设采样频率fs=20kHz）解：设计分为4步。（1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤将数字滤波器的设计指标转变为

10、模拟滤波器的设计指标波器的设计指标。因为：fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz对于冲激不变法，频率变换是线性的。(2)设计设计Ha(s)将上述设计指标代入 求出N阶数x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)并联型级联型例子3试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。已知低通DF的3dB带宽频率，止带起始频率，在处的止带衰减解：（1）将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。对双线性变换法根据3dB带宽频率1.试设计一个模拟低通Butterworth（BW）型滤波器，要求截止频

11、率fp=5kHz,通带最大衰减Ap=3dB,阻带起始频率fs=10kHz,阻带衰减As=30dB。作业五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev1、引入原因Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。2、Chebyshev滤波器的种类在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为：（1）

12、Chebyshev I型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；（2）Chebyshev II型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的；由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器（1）Chebyshev I型幅频特性和零极点图（N=3）N=3Chebyshev I型 ，下面我们仅讲此类型（2）Chebyshev II型幅频特性和零极点图（N=3）N=3Chebyshev II型，其设计思想同Chebyshev I型，在此课程中我们就不作介绍。 3、Chebyshev I型幅度平方函数 Chebyshev I型模拟滤波器的振幅平方函数为：4、CN(x):N阶Chebyshev多项式

13、(1)函数 Chebyshev 多项式：（2）Chebyshev多项式图形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)5、通带等波纹振荡6、确定通带内波纹值7、确定阶数N（1）N阶特性阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。可由幅频特性中看出N阶数。且当：N=奇数，则=0处有一最大值，N=偶数，则=0处有一最小值。N=3和N=5N=4和和N=6（2）N阶公式由止带起始点s处的关系求出Chebyshev的阶数。8、求滤波器的系统函数Ha(s)(1)求极点-18、求滤波器的系统函数Ha(s)(1)求极点-28、求滤波器的系统函数Ha(s)(1)求极点-3ChebyshevI型滤波器的极点，是一组

14、分布在以bc为长轴，以ac处为短轴的椭园上的点。9、Chebyshev I型滤波器的归一化系统函数若N=偶数时，当s=0时，即=0。式中，k为归一化系数。若N=奇数时，当s=0时，即=0。则归一化后的Chebyshev滤波器系统函数为10、Chebyshev DF设计步骤 首 先 要 先 确 定，N 和c 。 计 算a，b。 确 定 Ha(s)Ha(-s)的 极 点。 取Re(Si)0 的 极 点， 得 到Ha(s)。 k 可 由 A() 和Ha(s) 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。例1设N=4，确定Chebyshev I型，极点位置。解：N=4，则有8个极点，我们要求在S左半平

15、面上为稳定系统的四个极点。j看出：对于看出：对于N=4，只须求出一点，即可求出其它共轭。只须求出一点，即可求出其它共轭。画极点：过小园交点画垂直线；过大园交点画水平线。画极点：过小园交点画垂直线；过大园交点画水平线。由上可知，大半平面上：由上可知，大半平面上：第第1极点：极点：第第2极点：极点：第第3极点：极点：第第4极点：极点：(2)等间隔角 均分，各点是虚轴对称的，且一定不落在虚轴上，N为奇数时，有落在实轴上的点；N为偶数时，实轴上也没有。(3)幅度平方函数的极点(在椭园上)的位置确定：其垂直坐标由落在大园上的各等间隔点规定；其水平坐标由落在小园上的各等间隔点规定由上图可知，确定Chebyshev I型滤波器极点在椭园上的位置办法：(1)先求出大园(半径为bc)和小园半径ac。例2试导出2阶Chebyshev I型DF 系统函数(已知通带波纹为 ,归一化频率为c=1rad/s。例3设Chebyshev模拟滤波器的技术指标c=22kHz, s=24kHz,在=s处的衰减小于-15dB,通带波动参数，2 =0.2，求其阶数。