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1、返回返回返回返回 读教材读教材填要点填要点 1正射影正射影 (1)点点A是平面是平面外一点，过点外一点，过点A向平面向平面作垂线，设垂作垂线，设垂足为点足为点A，那么把，那么把 称作点称作点A在平面在平面上的正射影上的正射影 (2)一个图形一个图形F上的各点在平面上的各点在平面上的上的 组成一个组成一个图形图形F，则，则 称作图形称作图形F在平面在平面上的正射影上的正射影 2平行射影平行射影 设直线设直线l与平面与平面相交，把直线相交，把直线l的方向称的方向称 ，过点，过点A作平行于作平行于l的直线，与平面的直线，与平面交于点交于点A，点，点A称作点称作点A 在平面在平面上的平行射影上的平行射
2、影A正射影正射影图形图形F投影方向投影方向沿直线沿直线l的方向的方向返回返回 小问题小问题大思维大思维 1正射影与平行射影之间有什么关系？正射影与平行射影之间有什么关系？ 提示：提示：正射影是平行射影中方向与平面垂直的一种特殊正射影是平行射影中方向与平面垂直的一种特殊情况情况 2一个圆在一个平面上的正射影是什么形状？平行射一个圆在一个平面上的正射影是什么形状？平行射影呢？影呢？ 提示：提示：若一个圆所在平面若一个圆所在平面与平面与平面平行，该圆在平面平行，该圆在平面内的正射影为一个圆；如果内的正射影为一个圆；如果与平面与平面垂直，则圆在平面垂直，则圆在平面的的正射影为一条线段；若平面正射影为一
3、条线段；若平面与平面与平面不平行也不垂直时，该不平行也不垂直时，该圆在平面圆在平面上的正射影为一个椭圆综上可知，一个圆在一上的正射影为一个椭圆综上可知，一个圆在一个平面上的射影可能为一条线段、椭圆或圆个平面上的射影可能为一条线段、椭圆或圆返回返回 研一题研一题 例例1P为为ABC外一点且外一点且PAPBPC. 求证：求证：P在面在面ABC内的射影为内的射影为ABC的外心的外心 分析：分析：本题考查射影的概念，解答本题需先作出本题考查射影的概念，解答本题需先作出点点P在面在面ABC内的射影，然后证明该射影为内的射影，然后证明该射影为ABC的的外心外心返回返回证明：证明：如图过如图过P作作PO面面
4、ABC于于O.则则O为为P在面在面ABC内的射影，内的射影，PAPB，POPO，RtPAO RtPBO，AOBO.同理同理BOCO，AOBOCO，O为为ABC的外心的外心即即P在面在面ABC内的射影是内的射影是ABC的外心的外心返回返回 悟一法悟一法 因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类问题的关键是正确作出点在平面内的射影问题的关键是正确作出点在平面内的射影返回返回 通一类通一类 1.如图，如图，P是是ABC所在平面所在平面外一点，外一点， O是点是点P在平面在平面内的正射影内的正射影 (1)若若P点到点到ABC的三边距离相等，的三边距离
5、相等， 且且O点在点在ABC的内部，那么的内部，那么O点是点是 ABC的什么心？的什么心？ (2)若若PA、PB、PC两两互相垂直，两两互相垂直，O点是点是ABC的什的什 么心？么心？返回返回解：解：(1)由由P到到ABC的三边距离相等，故有的三边距离相等，故有O到到ABC的三边距离相等，的三边距离相等，O为为ABC的内心的内心(2)PAPB，PAPC，PABC，又又POBC，OABC，同理，同理OBAC，OCAB，O为为ABC的垂心的垂心.返回返回 研一题研一题 例例2有下列有下列4个命题：个命题：矩形的平行投影一定是矩形；矩形的平行投影一定是矩形；矩形的正投影一定是矩形；矩形的正投影一定是
6、矩形；梯形的平行投影一定是梯形；梯形的平行投影一定是梯形；梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3返回返回 解析：解析：本题考查平行射影的概念，解答本题需要考虑本题考查平行射影的概念，解答本题需要考虑到投影面的位置不同，则投影的形状会不同到投影面的位置不同，则投影的形状会不同矩形的平矩形的平行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；矩形矩形的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确；梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确
7、；梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确；梯形的梯形的正投影也可能是梯形、线段，不正确正投影也可能是梯形、线段，不正确 答案：答案：A返回返回 悟一法悟一法 不论是正射影还是平行射影都应考虑图形所在的平不论是正射影还是平行射影都应考虑图形所在的平面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，要面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，要全面全面返回返回 通一类通一类 2关于直角关于直角AOB在定平面在定平面内的射影有如下判断：内的射影有如下判断：可可能是能是0的角；的角；可能是锐角；可能是锐角；可能是直角；可能是直角；可能可能是钝角；是钝角；可能是可能是180的角，其中正确判断的序号是的角
8、，其中正确判断的序号是_(注：把你认为是正确判断的序号都填上注：把你认为是正确判断的序号都填上)解析：解析：设直角设直角AOB所在平面为所在平面为，在，在与与垂直时直角垂直时直角AOB射影为一条射线，从而射影为射影为一条射线，从而射影为0的角，的角，与与平行平行时射影为直角，随着时射影为直角，随着与与所成角的变化也可以为锐角、所成角的变化也可以为锐角、钝角或平角，因而正确的结果为钝角或平角，因而正确的结果为.答案：答案：返回返回 例例3设四面体设四面体ABCD各棱长均相等，各棱长均相等，E、F分别分别为为AC、AD的中点，如图，则的中点，如图，则BEF在该四面体的面在该四面体的面ABC上的射影
9、是下列中的上的射影是下列中的 ()返回返回 解析：解析：本题考查正射影的应用解答此题的关键是确本题考查正射影的应用解答此题的关键是确定定F在平面在平面ABC上的射影的位置上的射影的位置 由于由于BEBF，所以，所以BEF为等腰三角形，故为等腰三角形，故F点在平点在平面面ABC上的正射影不在上的正射影不在AC上而在上而在ABC内部，又由于内部，又由于EF与与CD平行，而平行，而CD与平面与平面ABC不垂直，所以不垂直，所以F点在平面点在平面ABC上的正射影不在直线上的正射影不在直线BE上，从而只有上，从而只有B图形成立图形成立 答案：答案：B返回返回 悟一法悟一法 确定一个几何图形的正投影，其实
10、质是确定其边界确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界点的正投影的位置在解决此类问题时，一定要全面考点的正投影的位置在解决此类问题时，一定要全面考虑，否则极易出错虑，否则极易出错返回返回 通一类通一类 3如图，如图，E、F分别为正方体的面分别为正方体的面ADD1A1、面、面BCC1B1的中的中心，则四边形心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下在该正方体的面上的射影可能是下图中的图中的_(要求：把可能的图的序号都填上要求：把可能的图的序号都填上)返回返回解析：解析：四边形四边形BFD1E在平面在平面ABCD和平面和平面A1B1C1D1上的射上的射影均为影均为图，四边形图，四边形
11、BFD1E在平面在平面ADD1A1和平面和平面BCC1B1上的射影均为图上的射影均为图，四边形，四边形BFD1E在平面在平面ABB1A1和平面和平面DCC1D1上的射影均为上的射影均为，故正确的为，故正确的为和和.答案：答案：返回返回 本课时考点常与立体几何相结合考查线面位置关本课时考点常与立体几何相结合考查线面位置关系的判定问题系的判定问题.2012年深圳模拟以填空题的形式考查了年深圳模拟以填空题的形式考查了正投影在立体几何中的应用，是高考模拟命题的一个正投影在立体几何中的应用，是高考模拟命题的一个新亮点新亮点返回返回考题印证考题印证 (2012深圳模拟深圳模拟)如图，点如图，点O为正为正方
12、体方体ABCDABCD的中心，点的中心，点E为为面面BBCC的中心，点的中心，点F为为BC的中点，的中点，则空间四边形则空间四边形DOEF在该正方体的面在该正方体的面上的正投影可能是上的正投影可能是_(填出所有填出所有可能的序号可能的序号)返回返回返回返回 命题立意命题立意本题考查点是正射影的应用及几何图本题考查点是正射影的应用及几何图形正射影形状的确定问题，考查学生的空间想象能力及形正射影形状的确定问题，考查学生的空间想象能力及抽象思维能力抽象思维能力 解：解：是四边形在平面是四边形在平面ABBA或或CDDC上的投影；上的投影；是四边形在平面是四边形在平面ADDA或或BCCB上的投影；上的投影；是四是四边形在平面边形在平面ABCD或或ABCD上的投影上的投影返回返回点击下图进入点击下图进入“创新演练创新演练”
