一偏导数的定义及其计算法

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1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法第二节第二节 偏导数和全微分偏导数和全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 解解证证解解例例证证有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义

2、、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义: :纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？解解课堂思考题课堂思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得三、全微分的定义三、全微分的定义全增量的概念全增量的概念全微分的定义全微分的定义事实上事实上四、可微的条件四、可微的条件证证总成立总成立,同理可得同理可得一元函数在某

3、点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，则则当当 时，时，说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加原理原理叠加原理也适用

4、于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况解解所求全微分所求全微分解解解解所求全微分所求全微分证证多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导证证令令则则同理同理不存在不存在.证证五、复合函数的为分法：链式法五、复合函数的为分法：链式法则则上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.解解 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：链式法则如图示链式法则如图示特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似解解六六 隐函数的微分法隐函数的微分法解解