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1、第五章第五章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合1线性定常系统的综合最新5.1 线性反馈控制系统的基本结构线性反馈控制系统的基本结构n n带输出反馈结构的控制系统n n带状态反馈结构的控制系统n n带状态观测器结构的控制系统n n解耦控制系统2线性定常系统的综合最新一、带输出反馈结构的控制系统一、带输出反馈结构的控制系统原受控系统原受控系统 ：1 1、输出到系统输入端的反馈、输出到系统输入端的反馈、输出到系统输入端的反馈、输出到系统输入端的反馈将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。输人相加，其
2、和作为受控系统的控制输入。输出反馈控制规律：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：3线性定常系统的综合最新原受控系统原受控系统 ：2、输出到矩阵、输出到矩阵B后端的反馈后端的反馈将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。输出反馈控制规律：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：4线性定常系统的综合最新 状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。到输
3、入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。二、二、带状态反馈结构的控制系统带状态反馈结构的控制系统原受控系统原受控系统 ： 线性反馈规律：线性反馈规律：5线性定常系统的综合最新三、带状态观测器结构的控制系统三、带状态观测器结构的控制系统-状态重构状态重构状态重构状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要需要从系统的可量测参量，如输入从系统的可量测参量，如输入u和输出和输出y来估计系统状态来估计系统状态 。状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变和
4、控制变量量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。6线性定常系统的综合最新解耦问题解耦问题解耦问题解耦问题：如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的的单变量系统的 组合。目的是使一个输入仅控制一组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。个输出。目的目的目的目的：使传递函数阵为一个对角线矩阵。：使传递函数阵为一个对角线矩阵。四、解耦控制系统四、解耦控制系统7线性定常系统的综合最新原受控系统原受控系统 ：一、反馈至输入矩阵一、反馈至输入矩阵B后端的系统后端的系统将系统的输出量乘以
5、相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。输出反馈控制规律：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：5.2 带输出反馈系统的综合8线性定常系统的综合最新定理证明方法定理证明方法定理证明方法定理证明方法1 1 1 1：若系统：若系统 状态可观测，则其对偶系统状态可观测，则其对偶系统 状态能控，根据状态反馈系统特性，对状态能控，根据状态反馈系统特性，对偶系统矩阵偶系统矩阵 特征值可以任意配置，而特征值可以任意配置，而 的特征值和的特征值和 一致。一致。所以，当且仅当所以，当且仅当 状态可观时，状态可观时， 极点可任意
6、配置极点可任意配置定理定理定理定理：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原系统状态可观测。系统状态可观测。定理证明方法定理证明方法定理证明方法定理证明方法2 2 2 2：系统能观测，则化为第二能观测标准型。：系统能观测，则化为第二能观测标准型。能观测标准能观测标准II型：型：9线性定常系统的综合最新能观测标准型下输出能观测标准型下输出到状态微分的反馈系到状态微分的反馈系统矩阵：统矩阵：反馈后，仍然为能观测标准反馈后，仍然为能观测标准II型。其输出到状态微分的反馈系型。其输出到状态微分的反馈系统特征方程为：统特征方程为：由于反馈阵可以任意选择，所
7、以特征值可以任意配置。由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。引入反馈阵：引入反馈阵：极点配置方法极点配置方法极点配置方法极点配置方法：同状态反馈系统的极点配置。：同状态反馈系统的极点配置。结论结论结论结论：输出到状态微分的反馈不改变系统能观性，不改变系统的：输出到状态微分的反馈不改变系统能观性，不改变系统的零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化10线性定常系统的综合最新原受控系统原受控系统 ：二、反馈至输入矩阵二、反馈至输入矩阵B前端的系统前端的系统将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输将系统的输出量乘以相应
8、的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。人相加，其和作为受控系统的控制输入。输出反馈控制规律：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：输出反馈系统状态空间描述为：11线性定常系统的综合最新输出反馈增益矩阵：输出反馈增益矩阵：闭环传递函数矩阵为：闭环传递函数矩阵为：结论结论结论结论3 3：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。古典控制中常采用的反馈形式。古典控制中常采用的反馈形式。结论结论结论结论1 1：当：当HCK时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意
9、的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈。故输出到参考输入的反馈不改变系统的能控性。故输出到参考输入的反馈不改变系统的能控性。结论结论结论结论2 2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反馈差。馈差。12线性定常系统的综合最新 状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统
10、的控制输入。到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、系统的数学描述一、系统的数学描述5.3 带状态反馈系统的综合带状态反馈系统的综合原受控系统原受控系统 ： 线性反馈规律：线性反馈规律：13线性定常系统的综合最新状态反馈闭环系统：状态反馈闭环系统：反馈增益矩阵：反馈增益矩阵：状态反馈闭环传递函数矩阵为：状态反馈闭环传递函数矩阵为： 一般一般D=0，可化简为：，可化简为：状态反馈闭环系统表示：状态反馈闭环系统表示：状态反馈系统的特征方程为：状态反馈系统的特征方程为：14线性定常系统的综合最新极点配置极点配置极点配置极点配置：通过反馈增益矩阵：通过反馈增益矩阵K K的设计，将加入状
11、态反馈后的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在的闭环系统的极点配置在S S平面期望的位置上。平面期望的位置上。二、极点配置二、极点配置定理定理定理定理5-45-45-45-4：( (极点配置定理极点配置定理) ) 对线性定常系统对线性定常系统 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：配置的充要条件是： 状态完全能控状态完全能控。注意：注意：注意：注意：矩阵矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。的特征值就是所期望的闭环极点。1 1、闭环极点任意配置的条件、闭环极点任意配置的条件15线性定常系统的综合最新(2)求状态反馈后闭环
12、系统的特征多项式：求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)由由 确定反馈矩阵确定反馈矩阵K：2 2 2 2、极点配置算法、极点配置算法、极点配置算法、极点配置算法(1)(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。1 1 1 1）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵）直接法求反馈矩阵K K K K（维数较小时，（维数较小时，（维数较小时，（维数较小时，n 3n 3n 3n 3时）时）时）时）16线性定常系统
13、的综合最新该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 例例例例1 1 考虑线性定常系统考虑线性定常系统其中：其中：试设计状态反馈矩阵试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点为，使闭环系统的极点为-2j4和和-10。 解解解解 ：（1）先判断该系统的能控性先判断该系统的能控性17线性定常系统的综合最新由由 得：得：（4）确定确定K阵阵求得：求得：所以状态反馈矩阵所以状态反馈矩阵K为：为：（2）计算闭环系统的特征多项式计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：设状态反馈增益矩阵为：（3）计算期望的特征多项式计算期望的特征多
14、项式18线性定常系统的综合最新三、状态反馈下闭环系统的镇定问题三、状态反馈下闭环系统的镇定问题镇定的概念镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能能镇定的镇定的。如果采用状态反馈来实现这种渐近稳定，。如果采用状态反馈来实现这种渐近稳定，则称系统是则称系统是状态反馈能镇定的状态反馈能镇定的。定理：定理：定理：定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态能镇如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定的充
15、要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理证明：定理证明：定理证明：定理证明：按照能控性分解：按照能控性分解：引入状态反馈后，系统矩阵变为：引入状态反馈后，系统矩阵变为：19线性定常系统的综合最新闭环系统特征多项式为：闭环系统特征多项式为：能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定。能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定。要求渐近稳定要求渐近稳定20线性定常系统的综合最新5.4状态重构与状态观测器的设计状态重构与状态观测器的设计n n状态重构状态重构：n n不是所有的系统状态物理上都能够直接测量不是所有的系统状态物理上都能够直接测量不是所有的系统状态物理上都能够直接测量不是所有的系统状态物理上都能够直接
16、测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入得到。需要从系统的可量测参量，如输入得到。需要从系统的可量测参量，如输入得到。需要从系统的可量测参量，如输入u u和和和和输出输出输出输出y y来估计系统状态来估计系统状态来估计系统状态来估计系统状态 。n n状态观测器状态观测器：n n状态观测器基于可直接量测的输出变量状态观测器基于可直接量测的输出变量状态观测器基于可直接量测的输出变量状态观测器基于可直接量测的输出变量y y和控和控和控和控制变量制变量制变量制变量u u来估计状态变量，是一个物理可实现来估计状态变量，是一个物理可实现来估计状态变量，是一个物理可实现来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟
17、动力学系统。的模拟动力学系统。的模拟动力学系统。的模拟动力学系统。21线性定常系统的综合最新状态重构状态重构状态重构状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的从系统的可量测参量，如输入可量测参量，如输入u和输出和输出y来估计系统状态来估计系统状态 。状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量和控制变量u来估计状态来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。如果如果 是状态完全能观测的，那么根据输出是
18、状态完全能观测的，那么根据输出y的测的测量，可以唯一地确定系统的初始状态量，可以唯一地确定系统的初始状态 ，而系统任意时刻的状态：，而系统任意时刻的状态：所以只要满足一定的条件，即可从可测量所以只要满足一定的条件，即可从可测量y和和u中把中把x间接重构出来。间接重构出来。状态观测器的原理和构成状态观测器的原理和构成状态观测器的原理和构成状态观测器的原理和构成22线性定常系统的综合最新全维状态观测器的设计23线性定常系统的综合最新状态观测器能否起作用的关键状态观测器能否起作用的关键状态观测器能否起作用的关键状态观测器能否起作用的关键：观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构观测器在任何初始条件
19、下，都能够无误差地重构原状态。原状态。状态观测器的存在条件：状态观测器的存在条件： 存在性定理存在性定理存在性定理存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。近稳定的。存在条件存在条件24线性定常系统的综合最新由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理：定理定理定理定理5-65-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态完全能观测。状态完全能观测。状态观测器极点配置条件和算法：状态观测器极点配置条
20、件和算法：25线性定常系统的综合最新能观测能观测标准标准II型：型：能观测标准型能观测标准型下状态观测器下状态观测器的系统矩阵：的系统矩阵：与输出到状态微分的反馈相似。与输出到状态微分的反馈相似。26线性定常系统的综合最新状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤：1 1 1 1、第二能观标准型法（维数较大时，、第二能观标准型法（维数较大时，、第二能观标准型法（维数较大时，、第二能观标准型法（维数较大时，n3n3n3n3时，适合计算机求解）时，适合计算机求解）时，适合计算机求解）时，适合计算机求解）(2)确定将原系统化为第二能观测标准型确定将原系统化为第二
21、能观测标准型 的变换阵的变换阵 。若给定的状态方程已是能观测标准型，那么若给定的状态方程已是能观测标准型，那么 ，无需转换。，无需转换。 (1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。27线性定常系统的综合最新(4)直接写出直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：28线性定常系统的综合最新(3)写出状态观测器
22、的期望特征多项式：写出状态观测器的期望特征多项式：2 2 2 2、直接法（维数较小时，、直接法（维数较小时，、直接法（维数较小时，、直接法（维数较小时，n 3n 3n 3n 3时）时）时）时）(2)求观测器的特征多项式：求观测器的特征多项式：(4)由由 确定状态观测器的反馈矩阵：确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。29线性定常系统的综合最新5.5 带观测器状态反馈系统的综合带观测器状态反馈系统的综合n n一、系统的结构与数学模型一、系统的结构与数学模型n n状态观测器的建立，为不能直接量测的
23、状状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件态反馈提供了条件n n构成：带有状态观测器的状态反馈系统由构成：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成的组合观测器和状态反馈两个子系统构成的组合系统。用观测器的估计状态实现反馈。系统。用观测器的估计状态实现反馈。30线性定常系统的综合最新二、闭环系统的基本特性二、闭环系统的基本特性二、闭环系统的基本特性二、闭环系统的基本特性加入反馈控制规律：加入反馈控制规律：状态反馈部分状态反馈部分的状态方程：的状态方程：观测器部分观测器部分的状态方程：的状态方程：原系统状态空间描述为：原系统状态空间描述为：带有观测器的状态反馈组合系
24、统带有观测器的状态反馈组合系统的状态空间描述为：的状态空间描述为：维数维数2n为方便求式（为方便求式（1）特征多项式，特作如下线性非奇异变换：）特征多项式，特作如下线性非奇异变换：31线性定常系统的综合最新则经过非奇异变换后的状态空间描述为：则经过非奇异变换后的状态空间描述为：非奇异变换不改变系统的传递函数阵、特征值和特征多项式。非奇异变换不改变系统的传递函数阵、特征值和特征多项式。32线性定常系统的综合最新得组合系统的传递函数为得组合系统的传递函数为得组合系统的传递函数为得组合系统的传递函数为：结论结论结论结论1：组合系统的传递函数和状态反馈部分的传递函数完全相同，：组合系统的传递函数和状态
25、反馈部分的传递函数完全相同，与观测器部分无关，用观测器的估计状态进行反馈，不影与观测器部分无关，用观测器的估计状态进行反馈，不影响系统的输入输出特性。响系统的输入输出特性。结论结论结论结论2：特征值由状态反馈和观测器两部分组成，相互独立，不受：特征值由状态反馈和观测器两部分组成，相互独立，不受影响。所以，只要系统能控和能观测，则状态反馈矩阵影响。所以，只要系统能控和能观测，则状态反馈矩阵K和状态观测器的反馈矩阵和状态观测器的反馈矩阵Ke可以单独设计。可以单独设计。分离特性分离特性得组合系统的特征多项式为得组合系统的特征多项式为得组合系统的特征多项式为得组合系统的特征多项式为：33线性定常系统的
26、综合最新解耦问题解耦问题解耦问题解耦问题： 方法方法方法方法：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的系统的 组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。目的目的目的目的：使传递函数阵为一个对角线矩阵。：使传递函数阵为一个对角线矩阵。5.6 解耦控制系统的综合解耦控制系统的综合34线性定常系统的综合最新一、前馈补偿器解耦一、前馈补偿器解耦 方法方法方法方法：在需要进行解耦的系统前串联一个补偿器，来实现：在需要进行解耦的系统前串联一个
27、补偿器，来实现解耦。解耦。35线性定常系统的综合最新 例例例例 ：有一个有一个MIMO系统结构如图，求补偿器的传递函数阵系统结构如图，求补偿器的传递函数阵 ，使闭环系统的传递函数为以下的解耦形式：，使闭环系统的传递函数为以下的解耦形式：36线性定常系统的综合最新 解解解解 ：系统结构图简化为：系统结构图简化为：由组合系统的传递函数知道系统为串联反馈混合系统，其中：由组合系统的传递函数知道系统为串联反馈混合系统，其中：由反馈联结的组合系统的传递函数阵有：由反馈联结的组合系统的传递函数阵有：37线性定常系统的综合最新整理上式有：整理上式有：进行矩阵求逆计算：进行矩阵求逆计算：将以上结果代入（将以上
28、结果代入（1）式有：）式有：38线性定常系统的综合最新故求得：故求得：PI调节器调节器PI调节器调节器PID调节器调节器39线性定常系统的综合最新二、状态反馈解耦二、状态反馈解耦通过状态反馈阵通过状态反馈阵K和输入增益矩阵和输入增益矩阵H的设计，来实现解耦。的设计，来实现解耦。积分器型解耦系统，积分器型解耦系统，每个子系统相当于一每个子系统相当于一个积分器：个积分器：40线性定常系统的综合最新1、状态反馈解耦中用到的量：、状态反馈解耦中用到的量：2、步骤：、步骤： 1）先计算）先计算D阵，然后进行阵，然后进行E阵计算。阵计算。 2）进行可解耦性判断。）进行可解耦性判断。E阵非奇异性则可以采用状态反馈实阵非奇异性则可以采用状态反馈实现解藕。现解藕。 3）设计）设计K和和H，并得到积分型解耦系统。，并得到积分型解耦系统。41线性定常系统的综合最新
