惯性导航基础知识.培训资料

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1、 知识点；知识点；1、什么是惯性空间和惯性参照系、什么是惯性空间和惯性参照系2、选择惯性参照系的原则是什么、为什么、选择惯性参照系的原则是什么、为什么3、地球的形状如何、地球的形状如何、4、子午曲率半径，等纬度曲率半径、卯酉曲率半径如何、子午曲率半径，等纬度曲率半径、卯酉曲率半径如何定义和计算定义和计算5、时间是如何度量、时间是如何度量6、各种坐标系的定义、各种坐标系的定义7、坐标系之间是如何相互转换、坐标系之间是如何相互转换8、方向余弦阵是如何定义的及作用、方向余弦阵是如何定义的及作用9、如何通过欧拉角求方向余弦矩阵；、如何通过欧拉角求方向余弦矩阵；10、方向余弦矩阵的微分方程、方向余弦矩阵

2、的微分方程(wi fn fn chn)如如何建立。何建立。第一页，共93页。第二章 惯性导航基础知识 第三(d sn)讲21 惯性空间与惯性参照系21 惯性空间及物体在惯性空间的运动 任何物体的运动和变化都是在空间和时间中进行的。物体的运动或静止及其在空间中的位置，均指它相对另一物体而言，因此在描述物体运动时，必须选定一个或几个物体作为参照物，当物体相对参照物的位置有变化时，就说明物体有了运动。 牛顿定律揭示了在惯性空间中物体的运动和受力之间的基本关系：第二页，共93页。注意；牛顿定律描述的运动或静止注意；牛顿定律描述的运动或静止(jngzh)(jngzh)均是相对均是相对于一个特殊的参照系于

3、一个特殊的参照系惯性空间。惯性空间是牛顿定律惯性空间。惯性空间是牛顿定律的空间的空间 (1)若物体(wt)不受力或受力的合力为零，则物体(wt)保持静止或匀速直线运动； (2)若物体(wt)受到的合力为F，则该物体(wt)将以加速度a相对惯性空间运动：这里m为物体(wt)的质量。第三页，共93页。212 惯性参照系 1，惯性参照系；惯性空间可理解为宇宙空间，由于宇宙是无限的，要描述相对惯性空间的运动，需要有具体的参照物才有意义。即要在宇宙空间找到不受力或受力的合力为零的物体，它们在惯性空间绝对保持静止或匀速直线运动，以它们为参照物构成的参照系就是惯性参照系。 然而在宇宙中不受力的物体是不存在的

4、，绝对准确的惯性参照系也就找不到。另一方面，在实际的工程问题中，也没有必要寻找绝对准确的惯性参照系。 2，选择惯性参照系原则；惯性导航系统中，用加速度计敏感载体相对惯性空间的加速度信息，用陀螺仪敏感载体的转动运动，加速度计和陀螺仪总会有差，只要选择的惯性参照系的精度(jn d)远高于加速度计和陀螺仪的量测精度(jn d)，满足惯性导航的需求即可（为什么）第四页，共93页。3，太阳惯性坐标系；在宇宙中，运动加速度较小的星体是质量巨大的恒星，由于恒星之间的距离非常遥远，万有引力对恒星运动的影响也就较小。太阳是我们比较熟悉的恒星，以太阳中心为坐标原点，以指向其他遥远恒星的直线为坐标轴，组成一坐标系，

5、就可以构成一太阳中心惯性参照系。在牛顿时代，人们把太阳中心参照系就看作为惯性坐标系，根据当时的测量水平，牛顿定律是完全成立的。后来(huli)才认识到，太阳系还在绕银河系中心运动，只不过运动的角速度极小。银河系本身也处于不断的运动之中，因为银河系之外，还有许多像银河系这样的星系(统称为河外星系)，银河系和河外星系之间也有相互作用力。太阳中心惯性坐标系是一近似的惯性参照系，近似在于忽略了太阳本身的运动加速度。为衡量太阳中心惯性坐标系的精度，给出太阳系绕银河系中心的运动参数如下：第五页，共93页。太阳至银河系中心的距离：22X1017km； 太阳绕银河系中心的旋转周期：190x106年； 太阳的运

6、动速度：233kM/s； 太阳绕银河系中心运动的旋转角速度：0001 年； 太阳绕银河系中心运动的向心加速度：24X10-11g(g为地球上的重力加速度)。惯性导航系统中使用的加速度计的最小敏感量可至104g106g。陀螺仪角速度敏感量为0.001/s 由此可见，太阳绕银河系中心运动的旋转角速度和向心加速度是非常小的，远在目前惯性导航系统中使用的惯性元件陀螺仪和加速度计所能测量的最小角速度和加速度的范围(fnwi)之外。因此，分析惯性导航系统时，使用太阳中心惯性坐标系具有足够的精度。第六页，共93页。4，地球中心惯性坐标系；是另一种常用的近似惯性参照系。将太阳中心惯性坐标系的坐标原点移到地球中

7、心，就是地球中心惯性坐标系。地球中心惯性坐标系与太阳中心惯性坐标系的差异就在于有少的平移运动加速度。在太阳系中，地球受到的主要作用力是太阳的引力，此外还有月亮的作用力、太阳系其他行星的作用力等。地球中心惯性坐标系的原点随地球绕太阳公转，但不参与(cny)地球自转，要估算地球中心惯性坐标系作为惯性坐标系的近似误差，除了要考虑太阳系的运动角速度和加速度外，还要考虑地心绕太阳公转的加速度。地球中心距离太阳中心的平均距离约为15x108km，地球绕太阳公转的周期为一年，由此可算出地球公转运动的平均向心加速度约为605X104g。月亮对地球的万有引力引起的地心平移加速度约为34X106g，其方向沿地球与

8、月球的连线方向。太阳系中离地球最近的行星是金星，它对地球第七页，共93页。的引力引起的地心平移加速度最大值约为189x10-8g。太阳系中质量(zhling)最大的行星是木星，它对地球的引力引起的地心平移加速度最大值约为37X108g。根据上面的数据可知，以地心为原点的坐标系的原点平移加速度大约为6X10-4g，惯性导航系统中使用的加速度计的最小敏感量可至104g106g，上述地心的平移加速度显然不能忽略。因此，一般情况下地球中心坐标系不能看作惯性坐标系。但是，当一个物体在地球附近运动时，如果我们只关心物体相对地球的运动，由于太阳等星体对地球有引力，同时对运动物体也有引力，太阳等星体引起的地心

9、平移加速度与对地球附近运动物体的引力加速度基本相同，两者之差很小，远在目前加速度计的所能敏感的范围之外。第八页，共93页。这样，研究运动物体相对地球的运动加速度时，我们可以同时忽略地心的平移加速度与太阳等星体对该物体的作用力。换句话说，可以把地球中心惯性坐标系当成惯性坐标系使用，使用这种惯性坐标系时，要认为物体受到的引力只有地球的引力，而没有太阳、月亮等星体的引力。（为什么，因为加速度计测量的量中包括(boku)了太阳，月亮产生的加速度，在计算时需要剔出、即测量量不准）第九页，共93页。213 物体在非惯性参照系中的运动物体在非惯性参照系中的运动1，非惯性参照系；相对惯性空间有运动加速度的参照

10、系就是，非惯性参照系；相对惯性空间有运动加速度的参照系就是非惯性参照系。非惯性参照系。2，绝对运动；物体相对惯性空间的运动称为绝对运动，绝对运动；物体相对惯性空间的运动称为绝对运动，3，相，相对运动；物体相对非惯性空间的运动称为相对运动。物体绝对对运动；物体相对非惯性空间的运动称为相对运动。物体绝对运动加速度与物体所受力之间关系符合牛顿第二定律。运动加速度与物体所受力之间关系符合牛顿第二定律。在非惯性参照系的相对运动与所受力之间的关系该如何在非惯性参照系的相对运动与所受力之间的关系该如何(rh)描述呢描述呢?下面作一简单分析。下面作一简单分析。 如图如图21所示。设一物体所示。设一物体M质量为

11、质量为m，受力，受力F作用，作用，M在非惯在非惯性参照系中的运动加速度为性参照系中的运动加速度为a1，而该非惯性参照系相对惯性，而该非惯性参照系相对惯性空间的加速度为空间的加速度为a0，显然，显然，M绝对运动加速度绝对运动加速度a为为 a=a0+a1第十页，共93页。根据牛顿根据牛顿(ni dn)第二定律第二定律上式又可写成上式又可写成假如将（假如将（- ）看作作用在物体）看作作用在物体(wt)M上的一种力，上的一种力，称作惯性力，记为称作惯性力，记为第十一页，共93页。式(216)左面是物体M的真实受力F与假想的惯性力巧之和，右面是物体质量与物体相对非惯性参照系加速度的乘积，此关系式与牛顿定

12、律在形式上是一样的。如果我们“认为”惯性力是物体受力的一部分，那么，根据式(216)，物体所受的合力与物体的相对运动加速度之间的关系就符合牛顿定律所描述的力与运动的关系形式。有了惯性力的概念，我们就可以在非惯性参照系中运用(ynyng)牛顿定律来研究物体的运动，只不过是在作物体的受力分析时，除了要考虑物体的真实受力外，还要认为物体还受惯性力的作用。由式(214)，惯性力的大小等于物体质量与非惯性参照系相对惯性空间的运动加速度的乘积，惯性力的方向与非惯性参照系相对惯性空间的运动加速度的方向相反。第十二页，共93页。注意，惯性力不是物体的真实受力，引入惯性力的概念是为了研究(ynji)相对运动方便

13、。研究(ynji)同一物体相对不同的非惯性系的运动时，物体“所受”的惯性力也是不同的。 牛顿定律也可写成：这表明，若将物体的绝对运动加速度与其质量的乘积(chngj)“-ma”看着是惯性力的话，物体的受力是“平衡”的。研究相对运动时的“动静法”就是运用了这种思想，即通过引入惯性力，把动力学问题转化为静力学问题，这就是达伦贝尔原理，第十三页，共93页。4，惯性力矩；惯性力的概念也可以推广到刚体，惯性力矩；惯性力的概念也可以推广到刚体(gngt)的转动运动中。刚体的转动运动中。刚体(gngt)中各质点所受中各质点所受的惯性力相对转动轴构成的矩的总和称为惯性力矩。的惯性力相对转动轴构成的矩的总和称为

14、惯性力矩。 将牛顿力学定律应用到转动问题中，可得刚体将牛顿力学定律应用到转动问题中，可得刚体(gngt)相对惯性空间的转动角加速度相对惯性空间的转动角加速度a与所受力矩与所受力矩的关系为的关系为式中：J为刚体绕转动轴的转动惯量。 当研究刚体相对非惯性参照系的转动时，若认为由非惯性参照系引起(ynq)的惯性力矩Mi也是刚体所受力矩的一部分，那么，刚体相对此非惯性参照系的转动角加速度a与所受力矩的关系在形式上与式(218)相同：第十四页，共93页。应注意的是，当非惯性参照系相对惯性参照系有转动运动时，刚体(gngt)各质点的绝对加速度中有相对加谏度牵连加速度与哥氏加速度三种成分，牵连加速度与哥氏加

15、速度相应的惯性力都会形成惯性力矩。利用式(219)时，Mi项显然要包括这两种惯性力矩。第十五页，共93页。 22 地球参考椭球和重力场 地球附件载体的定位是相对于地球的，地球的某些(mu xi)特性，如自转运动、垂线及纬度定义、引力场等，在惯导系统中是必须要考虑的，因此要了解地球的这些特性。221 地球的形状与参考椭球 人类赖以生存的地球，实际上是一个质量分布不均匀、形状不规则的几何体。从整体上看，地球近似为一个对称于自转轴的扁平旋转椭球体，其截面的轮廓近似为一扁平椭圆，沿赤道方向为长轴、沿极轴方向为短轴。这种形状的形成与地球的自转有密切的关系。地球上的每一质点，一方面受到地心引力的作用，另一

16、方面又受自转造成的离心力的作用。越靠近赤道，离心作用力越强，正是在此离心力的作用下，地球靠近赤道的部分向外膨胀，这样，地球就成了扁平形状了。第十六页，共93页。 从局部看来，地球表面有高山、有盆地，加上内部结构异常复杂，地球表面是一相当不规则的曲面，无法用数学模型表达。 在海洋上，各处的海平面均与该处重力向量垂直，若假想地球表面全部被海水包围，在风平浪静、没有潮汐的情况下，由海水水面组成的曲面就是地球重力场的等垫面，称为大地水准面。大地水准面不像真正的地表那样有明显的起伏，虽然也不规则，但是光滑的。通常所说的海拔高度就是相对大地水准面的。大地水准面包围的体积称为大地水准体简称大地体。大地水准面

17、也是不规则的，大地体也无法用一数学表达式准确描述。 对于精度要求不高的一般工程问题，常用(chn yn)圆球体代替大地体，地球的平均半径为637102km土005km(这是1964年国际天文学会通过的数据)。第十七页，共93页。若再精确一些，可以将大地体近似为一旋转椭球体，旋转轴就是地球的自转轴，这种旋转椭球体称为参考椭球。参考椭球的短轴与地球表面的交点就是地球的两极，在地球自转角速度向量正向的极点为北极，另一端为南极。参考椭球的赤道平面是一圆平面，其半径即为参考椭球的长轴半径A，沿地球极轴方向的参考椭球半径为短轴半径为D。有了长短轴半径，就可以确定出参考椭球了(图22)，图23示出了地球实际

18、(shj)表面、大地水准面、参考椭球三者之间的关系。第十八页，共93页。第十九页，共93页。第二十页，共93页。大地水准面与参考椭球在椭球法线方向上的误差称为大大地水准面与参考椭球在椭球法线方向上的误差称为大地起伏，若参考椭球选取合适，大地起伏一般不超过地起伏，若参考椭球选取合适，大地起伏一般不超过150m，参考椭球的法线与当地大地水准面之间法线方，参考椭球的法线与当地大地水准面之间法线方向的夹角一般不超过向的夹角一般不超过3”。惯性导航中就是以参考椭球代。惯性导航中就是以参考椭球代替大地体描述地球形状的。替大地体描述地球形状的。 选取参考椭球的基本准则；是使测定出的大地水准面选取参考椭球的基

19、本准则；是使测定出的大地水准面的局部或全部的局部或全部(qunb)与参考椭球之间贴合得最好，即与参考椭球之间贴合得最好，即差异最小。由于所在地区不同，各国选用的参考椭球也差异最小。由于所在地区不同，各国选用的参考椭球也不尽相同，表不尽相同，表21列出了目前世界上常用的参考椭球。列出了目前世界上常用的参考椭球。第二十一页，共93页。第二十二页，共93页。我国在1954年前采用过美国海富特椭球元素，建国后很长一段时间采用的1954年北京坐标系，是基于苏联克拉索夫斯基参考椭球的。1980年开始使用(shyng)1975年国际大地测量与地球物理联合会第16届大会推荐的参考椭球。在本书以后的分析当中，我

20、们均以参考椭球来代替地球的形状。222 参考椭球的曲率半径 导航中经常要从载体相对地球的位移或速度求取载体经纬度的变化率，因此当把地球近似为参考椭球时必须研究参考椭球表面各方向的曲率半径。显然，椭球体表面上不同点的曲率半径是不同的，同一点沿不同方向的曲率半径也是不同的。第二十三页，共93页。1子午圈的曲率半径子午圈的曲率半径 1）子午面；过极轴的任意平面与参考椭球相截，截）子午面；过极轴的任意平面与参考椭球相截，截平面为平面为椭圆面，该椭圆面称为子午面，子午面的椭圆面，该椭圆面称为子午面，子午面的轮廓线称为子午圈或子午线，子午线都是过两极的南轮廓线称为子午圈或子午线，子午线都是过两极的南北方向

21、线，见图北方向线，见图24。 子午圈的曲率半径称为主曲率半径。显然，在两极子午圈的曲率半径称为主曲率半径。显然，在两极处子午圈的曲率半径最大，在赤道附近子午圈的曲率处子午圈的曲率半径最大，在赤道附近子午圈的曲率半径最小。在纬度半径最小。在纬度(wid)p(p为椭球法线与赤道面之为椭球法线与赤道面之间的夹角间的夹角)，子午圈的曲率半径为，子午圈的曲率半径为第二十四页，共93页。第二十五页，共93页。式中；式中； 为椭球长半轴；为椭球长半轴； 为扁为扁率率(bin l)；e为第一偏心率为第一偏心率第二十六页，共93页。第二十七页，共93页。2等纬度圈的半径等纬度圈的半径(bnjng) 若以过椭球上

22、任一点若以过椭球上任一点p且平行于赤道平面的平面截参且平行于赤道平面的平面截参考椭球，截面是一个圆平面，其轮廓为圆，称为等纬考椭球，截面是一个圆平面，其轮廓为圆，称为等纬度圈度圈(或等纬度圆或等纬度圆)，见图，见图24。 显然，显然，p点纬度不同时等纬度圆半径点纬度不同时等纬度圆半径(bnjng)Rl也也不同，可以证明，不同，可以证明，Rl与纬度与纬度的关系如下：的关系如下：第二十八页，共93页。载体绕等纬度圈运动时，纬度不变，经度变化。若已知载体的东向(dn xin)速度ve则可根据等纬度圈曲率半径及Rll求出载体经度的变化率为第二十九页，共93页。3卯酉圈的曲率半径卯酉圈的曲率半径 用过参

23、考椭球表面任意一点用过参考椭球表面任意一点p的法线且与过的法线且与过p点的点的子午面垂直的平面截取椭球，截平面的轮廓线称为卯酉圈，子午面垂直的平面截取椭球，截平面的轮廓线称为卯酉圈，卯酉圈的切线方向即为卯酉圈的切线方向即为p点的东西方向。卯酉圈的曲率半径。点的东西方向。卯酉圈的曲率半径。也称为主曲率半径，见图也称为主曲率半径，见图24。 可以可以(ky)证明，任意点证明，任意点p处卯酉圈的曲率半径，正好等处卯酉圈的曲率半径，正好等于于p点与过点与过p点的椭球法线和椭球极轴的交点点的椭球法线和椭球极轴的交点O之间的距离之间的距离pO，于是，于是p点处卯酉圈的曲率半径点处卯酉圈的曲率半径Rn与等纬

24、度圈的曲率半与等纬度圈的曲率半径径RL之间的关系就是直角三角形的斜边与一直角边之间的关之间的关系就是直角三角形的斜边与一直角边之间的关系系(见图见图25)：第三十页，共93页。第三十一页，共93页。结合式(2210)，可得出卯酉圈的曲率半径(bnjng)与纬度之间的关系在地球赤道(chdo)上，卯酉圈就是赤道(chdo)圆，此时卯酉圈的曲率半径最小。在南北极，卯酉圈就是子午圈，此时卯酉圈的曲率半径最大。 结合式(2211)、式(2212)，有：（2-2-14）（2-2-13）第三十二页，共93页。同时，根据(gnj)载体东向速度和卯酉圈曲率半径，可确定载体绕指北向轴的运动角速度为若将椭球近似(

25、jn s)为圆球，则子午圈的曲率半径与卯酉圈的曲率半径均为圆球的半径：2-2-15第三十三页，共93页。23 垂线及纬度的定义垂线及纬度的定义(第四讲）第四讲） 地球表面一点的纬度是过该点的垂线与地球赤道平面的夹角地球表面一点的纬度是过该点的垂线与地球赤道平面的夹角(ji jio)。由于地球形状的不规则和质量的不均匀，地球表。由于地球形状的不规则和质量的不均匀，地球表面一点的垂线有几种定义，相应地，纬度也有几种定义。面一点的垂线有几种定义，相应地，纬度也有几种定义。 1地心垂线和地心纬度地心垂线和地心纬度 参考椭球上任意一点参考椭球上任意一点p与椭球中心与椭球中心O的连线的连线pO及其延伸线称

26、及其延伸线称为为p点处的地心垂点处的地心垂 线。地心垂线与椭球赤道平面的夹角线。地心垂线与椭球赤道平面的夹角(ji jio)称为地心纬度称为地心纬度(见图见图26中的中的)。 2引力垂线与引力纬度引力垂线与引力纬度 地球表面某质点所受地球引力的方向称为引力垂线，引力垂地球表面某质点所受地球引力的方向称为引力垂线，引力垂线与椭球赤道平面的夹角线与椭球赤道平面的夹角(ji jio)称为引力纬度。由于地球称为引力纬度。由于地球不是规则球体，引力垂线一般不通过地心，所以引力纬度是不不是规则球体，引力垂线一般不通过地心，所以引力纬度是不 同于地心纬度的，但是两者的差别极小同于地心纬度的，但是两者的差别极

27、小(见图见图26中的中的c)。第三十四页，共93页。3测地垂线与测地纬度测地垂线与测地纬度 ， 参考椭球上任意一点的法线就是该点处的测地垂线，参考椭球上任意一点的法线就是该点处的测地垂线，测地垂线可以通过大地测量的办法获得。测地垂线与测地垂线可以通过大地测量的办法获得。测地垂线与椭球赤道平面的夹角称为测地纬度。在大地测量和精椭球赤道平面的夹角称为测地纬度。在大地测量和精确导航中，采用确导航中，采用(ciyng)的都是测地纬度。的都是测地纬度。通常描述地球上位置点的经纬度坐标中的纬度指的就通常描述地球上位置点的经纬度坐标中的纬度指的就是测地纬度，测地纬度又叫地理纬度、大地纬度是测地纬度，测地纬度

28、又叫地理纬度、大地纬度(见图见图26中的中的t。第三十五页，共93页。第三十六页，共93页。4重力垂线重力垂线(chu xin)与天文纬度与天文纬度 参考椭球上任一点处的重力方向线称为重力垂线参考椭球上任一点处的重力方向线称为重力垂线(chu xin)。由于地球的质量不均匀，重力垂线由于地球的质量不均匀，重力垂线(chu xin)不一定落于不一定落于子午面内。重力垂线子午面内。重力垂线(chu xin)在子午面内的投影与椭球在子午面内的投影与椭球亦道面之间的夹角称为天文纬度，天文纬度可以用天文测亦道面之间的夹角称为天文纬度，天文纬度可以用天文测量的方法来测定。重力垂线量的方法来测定。重力垂线(

29、chu xin)与测地垂线与测地垂线(chu xin)之间的偏差极小，一般不超过之间的偏差极小，一般不超过30”，通常可以忽略。，通常可以忽略。因此一般将重力垂线因此一般将重力垂线(chu xin)(天文纬度天文纬度)与测地垂线与测地垂线(chu xin)(测地纬度测地纬度)也不加区别，都称为地理垂线也不加区别，都称为地理垂线(chu xin)(地理纬度地理纬度)，地理纬度简称纬度。，地理纬度简称纬度。 地理垂线地理垂线(chu xin)与地心垂线与地心垂线(chu xin)的夹角的夹角0(即地理纬度与地心纬度之间的夹角即地理纬度与地心纬度之间的夹角)为为第三十七页，共93页。第三十八页，共9

30、3页。224 地球的重力场地球的重力场 地球周围的物体都受到地球的引力作用，同时由于地球周围的物体都受到地球的引力作用，同时由于要跟随地球自转，引力的一部分需要用来作为向心要跟随地球自转，引力的一部分需要用来作为向心(xin xn)力产生向心力产生向心(xin xn)加速度，引力的其加速度，引力的其余部分就是重力。如图余部分就是重力。如图27所示，记物体受到的引力所示，记物体受到的引力为为J，跟随地球自转所需的向心，跟随地球自转所需的向心(xin xn)力为力为F，重，重力为力为G，则有：，则有：第三十九页，共93页。第四十页，共93页。垂线偏斜；由于地球形状不规则、质量分布不均匀，实测垂线偏

31、斜；由于地球形状不规则、质量分布不均匀，实测的重力加速度数据与理论算值往往不一致，大地测量中把的重力加速度数据与理论算值往往不一致，大地测量中把这两者在数值上的差别叫做重力异常，两者在方向上的不这两者在数值上的差别叫做重力异常，两者在方向上的不一致叫做垂线偏斜。对工作在水平状态的平台式惯导来说，一致叫做垂线偏斜。对工作在水平状态的平台式惯导来说，重力加速度的数值变化对定位精度影响较小，所以与重力重力加速度的数值变化对定位精度影响较小，所以与重力异常的关系不大。但垂线偏斜不仅直接造成导航误差，还异常的关系不大。但垂线偏斜不仅直接造成导航误差，还会引起随时间增长的水平误差。地球表面各点的重力异常会

32、引起随时间增长的水平误差。地球表面各点的重力异常和垂线偏斜没有规律性，只能将地球表面划分为许多个区和垂线偏斜没有规律性，只能将地球表面划分为许多个区域，事先加以测量，然后在系统中加以补偿。对一般精度域，事先加以测量，然后在系统中加以补偿。对一般精度的惯性导航系统这种影响可以的惯性导航系统这种影响可以(ky)忽略。忽略。*若惯导系统在某地区的导航误差总是比较大时，就可能若惯导系统在某地区的导航误差总是比较大时，就可能与垂线偏斜有关系。与垂线偏斜有关系。第四十一页，共93页。23 计时标准及地球自转角速度计时标准及地球自转角速度 描述物体运动时，除了空间的概念以外，还要引入时间的描述物体运动时，除

33、了空间的概念以外，还要引入时间的概念。时间和空间是物质存在的基本形式。时间表示物质运概念。时间和空间是物质存在的基本形式。时间表示物质运动的连续性，空间表示物质运动的广延性。时间的概念我们动的连续性，空间表示物质运动的广延性。时间的概念我们早就具备了，但是对于如何精确地度量时间却不一定很清楚。早就具备了，但是对于如何精确地度量时间却不一定很清楚。在惯性导航在惯性导航(un xn do hn)系统中，陀系统中，陀螺仪和加速度计所能测量的角速度和加速度已经达到了相当螺仪和加速度计所能测量的角速度和加速度已经达到了相当的精度，因此具有明确的时间单位，运动的角速度和加速度的精度，因此具有明确的时间单位

34、，运动的角速度和加速度才有确切的意义。才有确切的意义。 第四十二页，共93页。度量时间方法；一船用物质的周期性运动来作为计时标度量时间方法；一船用物质的周期性运动来作为计时标准，为保证计量具有一定的精确度，要求这种周期性运准，为保证计量具有一定的精确度，要求这种周期性运动必须是均匀的、连续的。在自然界中，地球的自转运动必须是均匀的、连续的。在自然界中，地球的自转运动是非常稳定的，具有连续、均匀的特点，所以人们自动是非常稳定的，具有连续、均匀的特点，所以人们自然地将它作为计时标准。然地将它作为计时标准。但是在地球上观察但是在地球上观察(gunch)地球的自转运动，可以有两地球的自转运动，可以有两

35、种参照系，一是把太阳作为参考物，二是以别的恒星作种参照系，一是把太阳作为参考物，二是以别的恒星作为参照物，于是就出现了两种计时标准为参照物，于是就出现了两种计时标准太阳时计时太阳时计时系统和恒星时计时系统。系统和恒星时计时系统。第四十三页，共93页。恒星日；把相对恒星测得的地球自转运动周期作为计时单位，就恒星日；把相对恒星测得的地球自转运动周期作为计时单位，就是恒星日。是恒星日。恒星时；把一个恒星日分成恒星时；把一个恒星日分成24等份，就是恒星时。等份，就是恒星时。太阳日；利用太阳的视运动来计量时间，就是另一个计时单位太阳日；利用太阳的视运动来计量时间，就是另一个计时单位太阳日。太阳日。真太阳

36、日；地球相对于太阳自转一周的时间叫做真太阳日。真太阳日；地球相对于太阳自转一周的时间叫做真太阳日。由于地球围绕太阳公转的轨道为椭圆，使得真太阳日不是很均匀，由于地球围绕太阳公转的轨道为椭圆，使得真太阳日不是很均匀，一年中最长和最短的太阳日相差一年中最长和最短的太阳日相差51s，这样按照真太阳日来计时，这样按照真太阳日来计时就很不准确，于是天文学家假想了一个太阳，其视运动速度是均就很不准确，于是天文学家假想了一个太阳，其视运动速度是均匀的，为真太阳视运动速度的全年匀的，为真太阳视运动速度的全年(qun nin)平均值，这个假平均值，这个假想的太阳称为想的太阳称为“平太阳平太阳”，平太阳日；球相对

37、平太阳自转一周的时间叫做平太阳日。平太阳日；球相对平太阳自转一周的时间叫做平太阳日。第四十四页，共93页。小时；一个平太阳日可等分为小时；一个平太阳日可等分为24个平太阳时，这就是我个平太阳时，这就是我们日常生活中采用的计时单位们日常生活中采用的计时单位小时。小时。 恒星日与平太阳日之间如何换算呢恒星日与平太阳日之间如何换算呢?天文学上的测量表明地球围绕太阳公转天文学上的测量表明地球围绕太阳公转(gngzhun)一一周需要周需要3652422个平太阳日。由于地球除自转外，还个平太阳日。由于地球除自转外，还有围绕太阳的公转有围绕太阳的公转(gngzhun)，一个平太阳日中，地，一个平太阳日中，地

38、球相对太阳转动了一周，然而在相同的时间内，地球相球相对太阳转动了一周，然而在相同的时间内，地球相对恒星的转动并不止对恒星的转动并不止360，而是比，而是比360多一点多一点(见图见图28)。地球绕太阳公转。地球绕太阳公转(gngzhun)一周，地球相对恒星一周，地球相对恒星转动的转数比相对太阳转动的转数正好多一转。于是有：转动的转数比相对太阳转动的转数正好多一转。于是有： 3652422平太阳日平太阳日=3662422恒星日恒星日这样：这样： 1恒星日：恒星日：O9972696太阳日太阳日=23h56min4 1平太阳日；平太阳日；10027379恒星日恒星日 1平太阳时；平太阳时；1。002

39、7379恒星时恒星时第四十五页，共93页。第四十六页，共93页。有了平太阳日与恒星日的定义(dngy)，我们可以确切地给出地球自转角速度，地球在一个恒星日中相对恒星准确地转动360，故其自转角速度为 =360恒星日=15 恒星时： 15041069平太阳时= 7292115810-5rads上述地球自转角速度就是相对惯性空间的自转角速度、绝对运动角速度第四十七页，共93页。 24 惯性导航中常用的坐标系 研究惯性导航问题时，常常要涉及到多种坐标系。本节介绍几种经常要遇到的坐标系及其变换。 241 惯性坐标系(简称i系) 惯性坐标系是描述惯性空间的一种坐标系，在惯性坐标系中，牛顿定律所描述的力与

40、运动之间的关系是完全成立的。要建立惯性坐标系，必须找到相对惯性空间静止或匀速运动的参照物，也就是说该参照物不受力的作用或所受合力为零。然而根据万有引力原 理可知，这样的物体是不存在的。通常我们只能(zh nn)建立近似的惯性坐标系，近似的程度根据问题的需要而定。惯性导航系统中我们常用的惯性坐标系是太阳中心惯性坐标系，若载体仅在地球附近运动，如舰船惯性导航系统，也可用地球中心惯性坐标系，此时要同时忽略太阳的引力和地球中心的平移加速度。 第四十八页，共93页。242 确定载体相对地球确定载体相对地球(dqi)位置的坐标系位置的坐标系 1地球地球(dqi)直角坐标系直角坐标系oxeyeze(简称简称

41、e系系) 坐标原点位于椭球中心，坐标原点位于椭球中心，Ze轴为参考椭球的短轴轴为参考椭球的短轴,xe,ye轴位轴位于地球于地球(dqi)赤道平面，赤道平面，xe指向格林威治子午线，指向格林威治子午线，ye轴与轴与xe轴轴垂直，构成右手直角坐标系。这样对地球垂直，构成右手直角坐标系。这样对地球(dqi)附近任何一点附近任何一点p，其位置均可用一三维坐标，其位置均可用一三维坐标P(x，y，z)来确定，见图来确定，见图29。 地球地球(dqi)中心惯性坐标系和地球中心惯性坐标系和地球(dqi)直角坐标系的原直角坐标系的原点均为椭球中心，随地球点均为椭球中心，随地球(dqi)一起平移，一起平移，地球地

42、球(dqi)中心惯性坐标系和地球中心惯性坐标系和地球(dqi)直角坐标系区别；在直角坐标系区别；在于后者与地球于后者与地球(dqi)固联，随地球固联，随地球(dqi)转动，而前者的坐标转动，而前者的坐标轴不随地球轴不随地球(dqi)转动，指向相对惯性空间不变。地球转动，指向相对惯性空间不变。地球(dqi)上任一固定点在地球上任一固定点在地球(dqi)直角坐标系中的坐标是固定的，但直角坐标系中的坐标是固定的，但在地球在地球(dqi)中心惯性坐标系中是变化的。地球中心惯性坐标系中是变化的。地球(dqi)直角坐直角坐标系标系oxeyeze相对惯性参照系的转动角速度就是地球相对惯性参照系的转动角速度就

43、是地球(dqi)的的自转角速度自转角速度ie第四十九页，共93页。第五十页，共93页。2经纬度坐标经纬度坐标 经纬度坐标是我们比较熟悉的。地球表面任意一点的位置均可经纬度坐标是我们比较熟悉的。地球表面任意一点的位置均可用经度和纬度来确定。用经度和纬度来确定。经度；以参考椭球为基准，格林威治子午面与过该点的子午面之经度；以参考椭球为基准，格林威治子午面与过该点的子午面之间的夹角间的夹角(0-180)为经度。点位处于东半球时为东经，点位处为经度。点位处于东半球时为东经，点位处于西半球时为西经。于西半球时为西经。纬度；是当地垂线纬度；是当地垂线(chu xin)与椭球赤道面的夹角与椭球赤道面的夹角(

44、090)。点位处于赤道面以北时为北纬，点位处于赤道面以南时为南纬。点位处于赤道面以北时为北纬，点位处于赤道面以南时为南纬。前面已经述及，由于垂线前面已经述及，由于垂线(chu xin)有几种定义，纬度也有地有几种定义，纬度也有地理纬度和地心纬度之分。惯性导航中使用的是地理纬度。理纬度和地心纬度之分。惯性导航中使用的是地理纬度。第五十一页，共93页。上面讨论了在参考椭球上确定点位的方法。需要注意的是，不论是使用地球直角坐标系还是(hi shi)使用经纬度坐标系，都是以某种参考椭球为基准的。我国现用的1980北京大地坐标系选用了1975年国际第16届大地测量与地球物理联合会推荐的参考椭球参数，椭球

45、相对地球的位置则是根据我国大地测量的结果确定的。这种适用于局部地区的大地坐标系也称为局部大地坐标系。由于卫星和遥感技术的发展，目前已经可以利用卫星测量的方法进行全球性的大地测量，从而拟合出适用于全球性的大地坐标系。美国国防部迄今为止已经提供了WGS-60、WGS-66、WGS-72、WGS-84四种全球大地坐标系。因此，地球上的同一点在不同大地坐标系下的经纬度或在地球直角坐标系的坐标可能是不同的。第五十二页，共93页。3地球直角坐标与经纬度坐标的互换地球直角坐标与经纬度坐标的互换 设地球表面某一点设地球表面某一点p在地球直角坐标系中的坐标为在地球直角坐标系中的坐标为p(x，y，z)，经纬度坐标

46、为，经纬度坐标为p(，)，地球直角坐标与，地球直角坐标与经纬度坐标的互换公式如下经纬度坐标的互换公式如下(rxi)： 经纬度坐标到地球直角坐标的变换：经纬度坐标到地球直角坐标的变换：上两式中，为参考(cnko)椭球的扁率。 地球(dqi)直角坐标到经纬度坐标的变换：第五十三页，共93页。243 与载体位置或惯导系统本身有关的坐标系与载体位置或惯导系统本身有关的坐标系 1地理坐标系地理坐标系OXtytZt(简称简称t系系) 如图如图210所示，地理坐标系的原点就是所示，地理坐标系的原点就是(jish)载体所载体所在点，在点，Zt轴沿当地参考椭球的法线指向天顶，轴沿当地参考椭球的法线指向天顶，xt

47、轴与轴与yt轴均轴均与与Zt轴垂直，即在当地水平面内，轴垂直，即在当地水平面内，Xt轴沿当地纬度线指向正轴沿当地纬度线指向正东，东，yt轴沿当地子午线指向正北。按照这样的定义，地理坐轴沿当地子午线指向正北。按照这样的定义，地理坐标系的标系的Zt轴与地球赤道平面的夹角就是轴与地球赤道平面的夹角就是(jish)当地地理纬当地地理纬度，度，Zt轴与轴与yt轴构成的平面就是轴构成的平面就是(jish)当地子午面。当地子午面。Zt轴轴与与Xt轴构成的平面就是轴构成的平面就是(jish)当地卯酉面。当地卯酉面。Xt轴与轴与yt轴构轴构成的平面就是成的平面就是(jish)当地水平面。当地水平面。地理坐标系的

48、三根轴可以有不同的选取方法。图地理坐标系的三根轴可以有不同的选取方法。图210所示所示的地理坐标系是按的地理坐标系是按“东、北、天东、北、天”为顺序构成的右手直角坐为顺序构成的右手直角坐标系。除此之外，还有按标系。除此之外，还有按“北、西、天北、西、天”或或“东、北、地东、北、地”为顺序构成的右手直角坐标系。为顺序构成的右手直角坐标系。第五十四页，共93页。 当载体在地球表面运动时，载体相对地球的位置不断发生变化，而地球上不同地点的地理坐标系相对地球的角位置是不同的。也就是说，载体的运动将引起地理坐标系相对地球坐标系转动。如果考察地理坐标系相对惯性坐标系的转动角速度，应当考虑两种因素：一是地理

49、坐标系随载体运动时相对地球坐标系的转动角速度；二是地球坐标系相对惯性参照系的转动角速度。 假设载体沿水平面航行(如舰船)，所在地点的纬度为，航速为v，航向(hngxing)为H。将航速分解为沿地理坐标系北东两个分量：第五十五页，共93页。航速的北向(bi xin)分量vn引起地理坐标系绕着平行于地理东西方向的地心轴相对地球转动，其转动角速度为(见图211)第五十六页，共93页。航速的东向分量ve引起地理(dl)坐标系绕着极轴相对地球转动，其转动角速度为将角速度平移到地理(dl)坐标系的原点，并投影到地理(dl)坐标系各轴上，可得：第五十七页，共93页。式中：etx,ety,etz表示t系相对(

50、xingdu)e系的角速度在t系xt轴(yt轴、Zt轴)上的分量。上式表明，航行速度将引起地理坐标系绕地理东向、北向和垂直方向相对(xingdu)地球坐标系转动。 地球坐标系相对(xingdu)惯性参照系的转动是由地球自转引起的。把地球自转角速度ie平移到地理坐标系的原点，并投影到地理坐标系的各轴上，可得：第五十八页，共93页。上式表明，地球自转将引起地理坐标系绕地理北向和垂线(chu xin)方向相对惯性参照系转动。 综合考虑地球自转和载体的航行影响，地理坐标系相对惯性参考系的转动角速度在地理坐标系各轴上的投影表达式为第五十九页，共93页。在分析陀螺仪和惯性导航系统时，地理坐标系是要经常使用

51、(shyng)的坐标系。例如，陀螺罗经用来重现子午面，其运动和误差就是相对地理坐标系而言的。在指北方位平台式惯导中，采用地理坐标系作为导航坐标系，平台所模拟的就是地理坐标系。第六十页，共93页。 2载体坐标系Oxbybzb(简称b系) 载体坐标系是与载体固联的直角坐标系。惯性导航系统的载体可以是舰船(jin chun)、飞机、火箭等，这里以舰艇坐标系为例说明载体坐标系的定义。舰艇坐标系的yb轴在甲板平面内指向舰艏方向，xb轴在甲板平面内指向舰艇右舷，Zb轴垂直于甲板平面指向天顶(图212)。当然，这不是唯一的取法。若能获知当地正北、正东的准确指向，即获知当地地理坐标系的准确指向的话，根据舰船(

52、jin chun)坐标系与地理坐标系的角度关系就可以确定舰船(jin chun)姿态角，即航向角、横摇角和纵摇角。第六十一页，共93页。第六十二页，共93页。3平台坐标系平台坐标系Oxpypzp(简称简称 p户系户系) 在平台式惯性导航在平台式惯性导航(un xn do hn)系统中，加速度系统中，加速度计放置于一三轴稳定平台上，稳定平台三根轴的指向可以计放置于一三轴稳定平台上，稳定平台三根轴的指向可以用平台坐标系用平台坐标系oxpypzp来描述。平台式惯导中的一种重要来描述。平台式惯导中的一种重要类型是指北方位平台式惯导，这种惯导的稳定平台的三根类型是指北方位平台式惯导，这种惯导的稳定平台的

53、三根轴分别指东、指北和指向天顶，也就是说，平台的轴分别指东、指北和指向天顶，也就是说，平台的三根轴要模拟当地地理坐标系的三根轴，三根轴要模拟当地地理坐标系的三根轴，oxp轴称为平台东，轴称为平台东，OyP轴称为平台北。由于误差总是存在的，指北方位惯导轴称为平台北。由于误差总是存在的，指北方位惯导平台坐标系与当地地理坐标系之间的夹角就反映了平台的平台坐标系与当地地理坐标系之间的夹角就反映了平台的误差角。误差角。第六十三页，共93页。 4导航坐标系(简称n系) 导航坐标系是惯性导航系统求解导航参数时所采用的坐标系。例如，指北方位惯导的平台，在理想情况下完全模拟了当地地理坐标系，载体位置是根据(gn

54、j)平台上加速度计输出的加速度信息(正东、正北向加速度)在当地地理坐标系中解算得到的，因此地理坐标系就是水平指北惯性导航系统的导航坐标系。对捷联式惯性导航系统来说，测得的载体加速度是沿载体坐标系轴向的，必须将加速度信息分解到某个便于求解导航参数的坐标系内，再进行导航计算，这个坐标系就是导航坐标系。第六十四页，共93页。5计算坐标系(简称c系) 由于惯性导航(un xn do hn)系统只能根据系统本身计算获得的载体位置来描述导航坐标系，该坐标系必然存在着误差，有时为了与理想的导航坐标系相区别，将这种根据惯导本身计算出的、由载体位置确定的导航坐标系称作计算坐标系，在分析惯导误差时要用到这种坐标系

55、第六十五页，共93页。第五讲第五讲25 三维直角坐标系间的角度关系与方向余弦矩阵三维直角坐标系间的角度关系与方向余弦矩阵在分析惯性导航系统时，要用到多种空间直角坐标系。我们知在分析惯性导航系统时，要用到多种空间直角坐标系。我们知道，向量可用坐标系中的坐标来描述。在不同的坐标系中，同道，向量可用坐标系中的坐标来描述。在不同的坐标系中，同一向量的坐标是不同的，但这些坐标之间是有联系的，即向量一向量的坐标是不同的，但这些坐标之间是有联系的，即向量在一种坐标系中的坐标可以转化为在另一种坐标系中的坐标。在一种坐标系中的坐标可以转化为在另一种坐标系中的坐标。转化方法由坐标系之间的位置与角度关系决定。转化方

56、法由坐标系之间的位置与角度关系决定。 两空间直角坐标系之间的差异包括两个方面：一是原点不同，两空间直角坐标系之间的差异包括两个方面：一是原点不同，即一坐标系的原点相对另一坐标系的原点有位移；二是坐标轴即一坐标系的原点相对另一坐标系的原点有位移；二是坐标轴的指向不同，即一坐标系相对另一坐标系有旋转。的指向不同，即一坐标系相对另一坐标系有旋转。例如，地球表面某点的地理例如，地球表面某点的地理(dl)坐标系坐标系OXtytZt与地球坐标与地球坐标系系o xeyeze之间的关系就是这种情况，原点不同，指向也不同之间的关系就是这种情况，原点不同，指向也不同第六十六页，共93页。在惯性导航中，我们更关心的

57、是两组坐标系之间的角位置关系，这是因为： (1)惯性导航中使用的许多坐标系，如地理坐标系、载体坐标系、平台(pngti)坐标系、计算坐标系等，它们的原点是相同的，不存在原点位移问题； (2)与上述坐标系原点不同的常用坐标系，如地球坐标系，虽然原点不同，但原点的位移也可通过坐标系之间的角位置关系反映出来，如地球坐标系与地理坐标系之间的角度关系可由角度、决定，、同时又决定了地理坐标系原点在地球坐标系中的位置，所以弄清了两坐标系的角度关系，就知道了载体位置(、)。 第六十七页，共93页。数学上两空间坐标系之间的角度关系可用一矩阵来表示，即方向余弦矩阵。这里侧重(czhng)介绍三个问题：方向余弦矩阵

58、的定义、性质；通过欧拉角求方向余弦矩阵；方向余弦矩阵的微分。第六十八页，共93页。第六十九页，共93页。第七十页，共93页。第七十一页，共93页。第七十二页，共93页。第七十三页，共93页。第七十四页，共93页。第七十五页，共93页。第七十六页，共93页。这说明方向余弦矩阵的逆就是其转置阵，这是方向余弦矩阵重要性质之一：正交性。 另外由于方向余弦矩阵的任一行或任一列(y li)的三个元素均为两个坐标系中的某一根坐标轴在另一坐标系中的方向余弦，前已述及，任一向量的三个方向余弦的平方和为1，因此，方向余弦矩阵的每一行或每一列(y li)三个元素的平方和也就是1，这样方向余弦矩阵C21或12的九个元

59、素实际上有六个约束条件，也就是说一个方向余弦矩阵中只有三个元素是完全独立的 第七十七页，共93页。利用方向余弦矩阵，可以方便地实现多个相同原点的坐标系之间的坐标旋转变换，在前述问题中，如果(rgu)再有第三个坐标系0x3y3Z3，由Ox2y2Z2到Ox3y3z3的方向余弦矩阵C23，记向量R在Ox3y3Z3的坐标列向量为R3， 则第七十八页，共93页。第七十九页，共93页。对于原点不相同的两组坐标系，它们坐标轴之间的关系仍然可以用式(2510)、式(2511)这样的方向余弦(yxin)矩阵来描述。不过这时要进行坐标变换的话，要先进行坐标平移变换(因原点不同)，而后再按照式(2516)、式(25

60、20)进行坐标旋转变换。第八十页，共93页。252 根据欧拉角求取方向余弦矩阵根据欧拉角求取方向余弦矩阵 两三维直角坐标系之间的方向余弦矩阵有九个元素，两三维直角坐标系之间的方向余弦矩阵有九个元素，由于有六个约束条件，只有三个元素是独立的，这说由于有六个约束条件，只有三个元素是独立的，这说明任意两三维直角坐标系之间的角度关系完全可以由明任意两三维直角坐标系之间的角度关系完全可以由三个角度来描述。为能直观地求取中间变换的方向余三个角度来描述。为能直观地求取中间变换的方向余弦矩阵，假定从坐标系弦矩阵，假定从坐标系OXoyoZo经下面三次经下面三次(sn c)旋转旋转可得到坐标系可得到坐标系OXYZ

61、(图图214第八十一页，共93页。变化kx,ky,kz三个角度，可以形成原点与OXoyoZo相同的任意三维直角坐标系。反过来说，任意一个三维直角坐标系OXYZ均可从OXoyoZ0经过上述三次旋转得到(d do)，所以这三个旋转角度完全反映了两坐标系之间的角度关系，我们称这三个旋转角为欧拉角。要注意的是，欧拉角与旋转顺序有关(即先绕哪根轴转、后绕哪根轴转)，顺序不同时，欧拉角也不同，顺序固定时，两坐标系之间的欧拉角是唯一的。第八十二页，共93页。记由坐标系OXoyoZo至OX1y1Z1、由OX1y1Z1至OX2y2Z2、由OX2y2z2至OXYZ的方向余弦矩阵分别为 C01,C12,C23 由O

62、Xoyozo至OX1ylZ1(x1与xo同轴)是前者绕xo轴旋转kx角得到的(图215)。根据(gnj)方向余弦矩阵的结构形式(参见式(2511)，可以做一方向余弦矩表(表22)，这样比较形象、便于记忆，由于xo、X1同轴，两坐标系角度关系比较明确，方向余弦值可直接填入。第八十三页，共93页。根据此表可直接(zhji)写出方向余弦矩阵：第八十四页，共93页。第八十五页，共93页。第八十六页，共93页。第八十七页，共93页。第八十八页，共93页。第八十九页，共93页。253 方向余弦矩阵的微分方向余弦矩阵的微分 方向余弦矩阵描述的是两个坐标系之间的角度关系，方向余弦矩阵描述的是两个坐标系之间的角

63、度关系，当两个坐标系具有相对转动时，它们相应轴之间的方向当两个坐标系具有相对转动时，它们相应轴之间的方向余弦矩阵也就跟着发生变化。例如，当舰船带着平台沿余弦矩阵也就跟着发生变化。例如，当舰船带着平台沿地球表面航行时，平台坐标系各轴和地球坐标系之间所地球表面航行时，平台坐标系各轴和地球坐标系之间所对应的夹角随着舰船经纬度和方位角的改对应的夹角随着舰船经纬度和方位角的改 变而改变。方向余弦矩阵微分方程建立变而改变。方向余弦矩阵微分方程建立(jinl)的是方的是方向余弦矩阵的微分与坐标系相对运动角速度之间的系。向余弦矩阵的微分与坐标系相对运动角速度之间的系。 设动坐标系设动坐标系n(Oxn,yn,zn)相对参考坐标系相对参考坐标系i(0xiyizi)转转动，从动，从i系到系到n系的方向余弦矩阵为系的方向余弦矩阵为Cin的微分为的微分为 ，根，根据定义据定义第九十页，共93页。假定在t时刻,n坐标系相对i坐标系的欧拉角为 kx,ky,kz.从t时刻到t+t时刻，欧拉角又变化了kx, ky, kz，由于t为微量， kx, ky, kz也均为微量，记从t时刻n坐标系的瞬时(shn sh)位置到t+ t时刻的n坐标系瞬时(shn sh)位置的方向余弦矩阵为 C，根据式(2529)，有第九十一页，共93页。第九十二页，共93页。第九十三页，共93页。