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1、九年制义务教育初中几何授课教师: 广州市第十中学 区晓红垂径定理及其推论课程目录简简 介介 本课程通过对一些实例的讲解,介绍“垂径定理”及其推论,并引导学生掌握利用“垂径定理”及其推论来解决实际几何问题的方法。 课程中配置一定的练习以巩固所学知识。 请选择左边按钮,进入相应内容。按 按钮将返回本页。复习提问(1-1)问题一:什么是轴对称图形?问题一:什么是轴对称图形? 我们在直线形中学过哪些轴对称图形?我们在直线形中学过哪些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。分能够互相重合,那么这个图形叫轴对
2、称图形。 如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰 梯形、正方形。梯形、正方形。问题二:我们所学的圆是不问题二:我们所学的圆是不 是轴对称图形呢?是轴对称图形呢? 圆圆是是轴对称图形,经过圆心的轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴。每一条直线都是它们的对称轴。.看一看(3-1)B.OCAEDCO.AEBDAEBEAEBE有有什什么么不不一一样样?动动脑筋(3-2) 已知:在已知:在 O中,中,CD是直径,是直径,AB是弦,是弦,CDAB,垂足为垂足为E。求证:求证:AEBE,ACBC,ADBD。C.OAEBD 当把圆沿着直径当把圆沿着直径CD
3、折叠时,折叠时,CD两侧的两个半圆重合,两侧的两个半圆重合,A点点和和B点点重合,重合,AE和和BE重合,重合,AC、AD分别和分别和BC、BD重合。重合。因此:因此: AEBE,ACBC, ADBD证明:证明:连结连结OA、OB则有则有OAOB 垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在所在的直线的直线 既是等腰三角形既是等腰三角形OAB的的对称轴又是对称轴又是 O的对称轴的对称轴垂径定理(3-3) 垂直于弦的直径平分这条弦;垂直于弦的直径平分这条弦;并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并
4、且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对和的另一条弧。推论一(2-1)三个命题(2-2)命题一:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。命题二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。命题三:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。.OAEBDC已知:已知:AB是弦,是弦,CD平分平分AB,CD AB。求证:求证:CD是直径,是直径, ADBD,ACBC已知:已知:CD是直径,是直径,AB是弦,并且是弦,并且CD平分平分AB。求证:求证:CDAB,ADBD,ACBC已知:已知:CD是直径,是直径,AB是弦
5、,并且是弦,并且ADBD (ACBC)。)。求证:求证:CD平分平分AB,ACBC(ADBD)CD AB 已知:已知:(如图)(如图) O 中,中, 弦弦ABCD。 求证:求证:ACBD ABCD MNCD则则 AMBM、CMDM(垂直平分弦的直径平分弦所对的弦)垂直平分弦的直径平分弦所对的弦) AMCMBMDM ACBD .CDABOMN推论二(1-1)证明:作直径证明:作直径MNAB。推论二:圆的两条平行弦所夹的弧相等。课堂讨论(2-1)根据已知条件进行推导:根据已知条件进行推导:过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧(1)平
6、分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。推论小结(2-2)(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分 弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对和的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
7、推论一:推论二: 例例1 如图,已知:在如图,已知:在 O 中,弦中,弦AB的长为的长为8厘米,厘米, 圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米。厘米。 求:求: O的半径。的半径。则则OE3厘米,厘米,AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中,根据勾股定理中,根据勾股定理OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。讲解(2-1)AB.OE 解:连结解:连结OA,过过O作作OEAB, 垂足为垂足为E, 例例2 已知:如图,在以已知:如图,在以 O为圆心的两个同心圆中,为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、 D两点。两点。求证:求证:ACBD。则则
8、 AEBE,CEDE。 AECEBEDE。所以,所以,ACBD.ACDBO讲解(2-2)E证明:过证明:过O作作OEAB, 垂足为垂足为E。(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧。对的弧。 ( )(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心。并且经过圆心。 ( )(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。分。 ( )(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。 ( )(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分。()圆
9、内两条非直径的弦不能互相平分。( )判断正误(2-1)学生练习(2-2).AOBECDF已知:(已知:(如图)如图) AB是是 O直径,直径,CD是弦,是弦, AECD于于E,BFCD于于F。求证:求证:ECDF强化记忆(3-1) 垂直于弦的直径平分这条弦;垂直于弦的直径平分这条弦;并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。推 论一: (1 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对分弦所对的两条弧。的两条弧。 (2 2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3 3)平分
10、弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对和的另一条弧所对和的另一条弧垂径定理推论二:圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。 根据垂径定理与推论可知:对于一根据垂径定理与推论可知:对于一个圆和一条直线来说,如果具备个圆和一条直线来说,如果具备 那么,由五个条件中的任何两个条件都那么,由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。可以推出其他三个结论。注意要点(3-2) 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。为应用垂径定理创造条件。.CDABO.ACDBO.ABO课堂小结(3-3)EEMN书山有路勤为径谢谢观看