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1、九年制义务教育初中几何授课教师： 广州市第十中学 区晓红垂径定理及其推论课程目录简简 介介 本课程通过对一些实例的讲解，介绍“垂径定理”及其推论，并引导学生掌握利用“垂径定理”及其推论来解决实际几何问题的方法。 课程中配置一定的练习以巩固所学知识。 请选择左边按钮，进入相应内容。按 按钮将返回本页。复习提问（1-1）问题一：什么是轴对称图形？问题一：什么是轴对称图形？ 我们在直线形中学过哪些轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。分能够互相重合，那么这个图形叫轴对
2、称图形。 如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰 梯形、正方形。梯形、正方形。问题二：我们所学的圆是不问题二：我们所学的圆是不 是轴对称图形呢？是轴对称图形呢？ 圆圆是是轴对称图形，经过圆心的轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴。每一条直线都是它们的对称轴。.看一看（3-1）B.OCAEDCO.AEBDAEBEAEBE有有什什么么不不一一样样？动动脑筋（3-2） 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为垂足为E。求证：求证：AEBE，ACBC，ADBD。C.OAEBD 当把圆沿着直径当把圆沿着直径CD
3、折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，A点点和和B点点重合，重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。重合。因此：因此： AEBE，ACBC， ADBD证明：证明：连结连结OA、OB则有则有OAOB 垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在所在的直线的直线 既是等腰三角形既是等腰三角形OAB的的对称轴又是对称轴又是 O的对称轴的对称轴垂径定理（3-3） 垂直于弦的直径平分这条弦；垂直于弦的直径平分这条弦；并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并
4、且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧。推论一（2-1）三个命题（2-2）命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。命题二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。命题三：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。.OAEBDC已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB。求证：求证：CD是直径，是直径， ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB。求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦
5、，并且是弦，并且ADBD （ACBC）。）。求证：求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 已知：已知：（如图）（如图） O 中，中， 弦弦ABCD。 求证：求证：ACBD ABCD MNCD则则 AMBM、CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AMCMBMDM ACBD .CDABOMN推论二（1-1）证明：作直径证明：作直径MNAB。推论二：圆的两条平行弦所夹的弧相等。课堂讨论（2-1）根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1）平
6、分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。推论小结（2-2）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对和的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
7、推论一：推论二： 例例1 如图，已知：在如图，已知：在 O 中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，厘米， 圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米。厘米。 求：求： O的半径。的半径。则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理中，根据勾股定理OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。讲解（2-1）AB.OE 解：连结解：连结OA，过过O作作OEAB， 垂足为垂足为E， 例例2 已知：如图，在以已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、 D两点。两点。求证：求证：ACBD。则则
8、 AEBE，CEDE。 AECEBEDE。所以，所以，ACBD.ACDBO讲解（2-2）E证明：过证明：过O作作OEAB， 垂足为垂足为E。（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。对的弧。 ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。并且经过圆心。 ( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。分。 ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分。（）圆
9、内两条非直径的弦不能互相平分。（ ）判断正误（2-1）学生练习（2-2）.AOBECDF已知：（已知：（如图）如图） AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦， AECD于于E，BFCD于于F。求证：求证：ECDF强化记忆（3-1） 垂直于弦的直径平分这条弦；垂直于弦的直径平分这条弦；并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。推 论一： （1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对分弦所对的两条弧。的两条弧。 （2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3 3）平分
10、弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧所对和的另一条弧垂径定理推论二：圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。 根据垂径定理与推论可知：对于一根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备个圆和一条直线来说，如果具备 那么，由五个条件中的任何两个条件都那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。可以推出其他三个结论。注意要点（3-2） 经过圆心经过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。为应用垂径定理创造条件。.CDABO.ACDBO.ABO课堂小结（3-3）EEMN书山有路勤为径谢谢观看
