《以及计算稳态误差的方法课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《以及计算稳态误差的方法课件（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 时域分析法时域分析法 3.1 时间响应性能指标时间响应性能指标3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.4 线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析3.5 线性系统的误差分析线性系统的误差分析3.6 顺馈控制的误差分析顺馈控制的误差分析End End 本章作业本章作业本本 章章 提提 要要 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。应的全部信息。 本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应
2、的分析和计本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误差的方法。差的方法。3.1 时间响应性能指标时间响应性能指标3.1.1 典型输入信号典型输入信号 时域分析法的特点时域分析法的特点时域分析法的特点时域分析法的特点典型输入信号典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲
3、、单位加速度、正弦等正弦等 典型时间响应典型时间响应 ：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应等单位加速度响应等 系统的时间响应，由系统的时间响应，由过渡过渡过程和过程和稳态稳态过程两部分组成。过程两部分组成。 过渡过程：过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。 稳态过程：稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，趋于无穷时，系统
4、输出量的表现形式。系统输出量的表现形式。 相应地，性能指标分为相应地，性能指标分为动态动态指标和指标和稳态稳态指标。指标。3.23.33.43.6动画演示动画演示3.5vv动态性能动态性能动态性能动态性能 1. 延迟时间延迟时间(delay time)td：响应曲线第一次达到其终值响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。一半所需时间。q阶跃响应性能指标阶跃响应性能指标 p tr0.5 c(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差v稳态性能：稳态性能：由由稳态误差稳态误差(steady state error) ess描述。描述。动画演示动画演示 2. 上升时间上升时间(rise time) t
5、r：响应从终值响应从终值10%上升到终值上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。 3. 峰值时间峰值时间(peak time) tp：响应超过终值到达第一个峰值所需时间。响应超过终值到达第一个峰值所需时间。 4. 调节时间调节时间(response time) ts：响应到达并保持在终值内所需时间。响应到达并保持在终值内所需时间。 5. 超调量超调量(percent overshoot) %：响应的最大偏离量响应的最大偏离量h(tp)与
6、终值与终值h()之差的百分比，即之差的百分比，即3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.2.1 一阶系统一阶系统(first order system)的数学模的数学模型型q一般地，将微分方程为一般地，将微分方程为 传递函数为传递函数为 的系统叫做一阶系统。的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。的含义随系统的不同而不同。 R i(t) CR(s)C(s)E(s)(- -)1/Ts传递函数传递函数: :结构图结构图 ：微分方程微分方程为为: : 控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。3.13.2.23.2.33.2.4动
7、画演示动画演示3.33.43.53.6如如RCRC电路电路: :输入输入r(t)=1(t) ，输出输出 3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 j 0P=-1/TS平面平面(a) 零零极极点点分分布布 c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/T c(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1(b) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线特点：特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为初始斜率为1/T； 3）无超调；稳态误差无超调；稳态误差ess=0 。性能指标：性能指标：延迟时间：延迟时间：
8、td=0.69T 上升时间：上升时间：tr=2.20T 调节时间：调节时间：ts=3T (=0.05) 或或 ts=4T (=0.02) 3.2.1动画演示动画演示3.2.33.2.4输入输入 r(t)= (t)，输出输出t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率初始斜率为为0.368/T0.05/T0c(t)(c) 单单位位脉脉冲冲响响应应曲曲线线特点：特点： 1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 初始斜率为初始斜率为-1/T2； 3) 无超调；稳态误差无超调；稳态误差ess=0 。3.2.13.2.43.2.3 一阶系统的单
9、位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应3.2.23.2.5 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应 跟踪误差跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。输入输入r(t)=t，输出输出一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存即存在跟踪误差，其数值与时间在跟踪误差，其数值与时间T相等。相
10、等。稳态误差稳态误差ess=T，初始斜率初始斜率=0，稳态输出斜率稳态输出斜率=1 . 3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应q结论：结论： 一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数T T密切相关。只要时间常数密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。 线线性性系系统统对对输输入入信信号号导导数数的的响响应应，等等于于系系统统对对输输入入信信号号响响应的导数。应的导数。3.2.33.2.13.2.2
11、解解: : (1)与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s 例例3.1 某一阶系统如图某一阶系统如图, ,(1) 求调节时间求调节时间ts, (2) 若要求若要求ts=0.1s, , (2) 要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s, 即即 , ,得得 0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -)求反馈系数求反馈系数 Kh . 解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。Kh动画演示动画演示整理得传递函数整理得传递函数 故得结构图故得结构图 在第二章，已得微分方程在第二章，已得微分方程 ：取拉氏变换，有取拉氏变换，有 R
12、(s)C(s)(- -)其中：其中： n n自然频率；自然频率； 阻尼比阻尼比(damping ratio )。又因为又因为 标准形式标准形式标准形式标准形式3.3.1 二阶系统二阶系统(second order system)的数学模型的数学模型控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。3.3.33.3.43.3.23.3.5动画演示动画演示3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.13.23.43.53.63.3.2 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 其根决定了系统的响应形式。其根决定了系统的响应形式。其输出的拉氏变换
13、其输出的拉氏变换为为单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应称为单位阶跃响应。二阶系统特征方程二阶系统特征方程3.3.13.3.33.3.43.3.5 j 0 p1 p2S平面平面闭环极点分布闭环极点分布t c(t)单位阶跃晌应单位阶跃晌应1(a) 无阻尼无阻尼0 =cos 0 p1 n- n p2 j j d 01(b) 欠阻尼欠阻尼 c(t)t= p1= p20 j 0 j p1 p2 c(t)01t(c) 临界阻尼临界阻尼10 c(t)t(d) 过阻尼过阻尼s1,2= - n3.3.2 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 (a) 闭环极点分
14、布闭环极点分布 j 11223345 05(b) 单位阶跃单位阶跃 响应曲线响应曲线1.21.01.61.40.80.60.40.2c(t)16182 4 6 8 1012140t21354进一步的描述如下图：进一步的描述如下图：3.3.1动画演示动画演示3.3.33.3.43.3.5 稳态部分等于稳态部分等于1 1，表明不存在稳态误差；，表明不存在稳态误差； 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n n ( (即即，特征根实部）决定；特征根实部）决定； 振荡角频率为阻尼振荡角频率振荡角频率为阻尼振荡角频率 d d（特征根虚部），其值由阻特征根虚部）
15、，其值由阻尼比尼比和自然振荡角频率和自然振荡角频率 n n决定。决定。 欠阻尼二阶系统的单位阶响应由欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态稳态稳态稳态和和瞬态瞬态瞬态瞬态两部分组成：两部分组成：1. 欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼(underdamping)二阶系统二阶系统 (即即01 时）时） 系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。在稳态误差。 系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。 阶跃响应：阶跃响应：0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.2
16、1.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图： =00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0语音动画语音动画单位单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。 阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1.1.动态性能指标计算动态性能指标计算 上升时间上升时间 t tr r 峰值时间峰值时间 tp单位阶跃响应单位阶跃响应 即即 得得 由由 得得 此此时时3.3.2动画演示动画演示3.3.13.3.43.3.53.3.3 欠阻尼二阶系统的
17、欠阻尼二阶系统的动态性能指标动态性能指标动态性能指标动态性能指标单位单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。 超调量超调量 %单位单位阶跃响应进入阶跃响应进入 误差带的最小时间。误差带的最小时间。 调节时间调节时间 ts 由由 有有 根据定义根据定义 因因 则则动画演示动画演示 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间t ts s长；长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间t ts s也长，快速性差；也长，快速性差； =0.7=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量调节时间最短，快速性最好，而超调
18、量 %5%02)2) 古尔维茨行列式全部为正古尔维茨行列式全部为正, ,即即q已经证明，已经证明，在特征方程各项系数均在特征方程各项系数均大于零时，古尔维茨奇次行列式全大于零时，古尔维茨奇次行列式全为正，则古尔维茨偶次行列式必全为正，则古尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然。为正；反之亦然。1.1.古尔维茨稳定判据古尔维茨稳定判据3.4.1例例劳斯判据采用表格形式，即劳斯判据采用表格形式，即劳斯表劳斯表： 当劳斯表中第一列的所有数都当劳斯表中第一列的所有数都大于零大于零时，系统时，系统稳定稳定；反之，；反之，如果第一列出现如果第一列出现小于零小于零的数时，系统就的数时，系统就不稳定不稳定。第一列
19、各系数符。第一列各系数符号的改变号的改变次数次数，代表特征方程的正实部根的，代表特征方程的正实部根的个数个数。 2. 劳斯判据劳斯判据(Routh stability criterion)动画演示动画演示LLLLa5a3a1a4a2a0 ccaacc1343171334- -= =ccaacc1333151324- -= =ccaacc1323131314- -= = aaaaac1706133- -= =aaaaac1504123- -= =aaaaac1302113- -= =sss snnnn321- - - -判别系统稳定性。判别系统稳定性。 例例3.4 设系统特征方程为设系统特征方程
20、为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据1234500注意两种特殊情况的处理：注意两种特殊情况的处理： 1）某某行行的的第第一一列列项项为为0 0，而而其其余余各各项项不不为为0 0或或不不全全为为0 0。用用因因子子（s+a）乘乘原原特特征征方方程程（其其中中a为为任任意意正正数数），或或用用很很小小的的正数正数 代替零元素，然后代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。对新特征方程应用劳斯判据。 2 2）当劳斯表中）当劳斯表中出现全零行出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。助方程
21、，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。 解：解：列出劳斯表列出劳斯表第一列数据不同号，第一列数据不同号，系统不稳定性。系统不稳定性。 3.4.13.4.2动画演示动画演示判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。例例3.5 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据 例例3.6 设系统特征方程为设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试用劳试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。斯稳定判据判断系统的稳定性。解：解：列出劳斯表列出劳斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0) 2 s1 2-4/
22、s0 2 可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。右半平面上有两个极点。解：解：列出劳斯表列出劳斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 辅助多项式辅助多项式A(s)的系数的系数 s3 0 0 0动画演示动画演示 A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s 第一列元素全为正，系统并非不稳定；第一列元素全为正，系统并非不稳定； 阵列出现全零行，系统不是稳定的；阵列出现全零行，系统不是稳定的； 综合可见，系统是临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。综合可见，系统是临界稳定的（
23、存在有共轭纯虚根）。 解辅助方程可得共轭纯虚根：令解辅助方程可得共轭纯虚根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表：以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系数的系数 s2 4 4 s1 8 s0 4 由图所示，误差定义有两种方式：由图所示，误差定义有两种方式： 1) e(t)=r(t)-c(t),无法量测无法量测 2) e(t)=r(t)-b(t)单位反馈时两种定义相同。单位反馈时两种定义相同。 稳态误差是衡量系
24、统最终控制精度的重要性能指标。稳态误稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差是指，差是指，稳态响应的希望值与实际值之差稳态响应的希望值与实际值之差，即稳定系统误差的终，即稳定系统误差的终值值 , , e(t)=希望值希望值实际值实际值3.5.1 稳态误差稳态误差(steady state error)的定义的定义3.5.2 稳态误差计算稳态误差计算3.5 线性系统的误差分析线性系统的误差分析E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -) 根据根据终值定理终值定理 使用该公式应满足使用该公式应满足sE(s)在在s右半平面及虚轴上解析的条件，即右半平面及虚轴上解析的条件，
25、即 sE( (s) )的极点均位于的极点均位于s左半平面。当左半平面。当sE( (s) )在坐标原点具有极点在坐标原点具有极点 时，时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时可用此公式。实际应有的结果一致，因此实际应用时可用此公式。误差传递函数误差传递函数为：为：3.5.3例例3.5.43.13.23.33.43.61） , 符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。3） , ,不符合终值定理应用条件。不符合终值定理应用条件。2） , 符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。为为
26、1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sint，求系统稳态误差。求系统稳态误差。 解：解：误差传递函数为误差传递函数为例例3.7 设单位反馈系统开环传递函数为设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts , 输入信号分别输入信号分别v本题说明：本题说明：1 1）使用终值定理要注意条件）使用终值定理要注意条件 2 2）稳态误差与输入有关。）稳态误差与输入有关。使用终值定理将得出错误结论。使用终值定理将得出错误结论。动画演示动画演示一、影响稳态误差的因素一、影响稳态误差的因素 一般开环传递函数可以写成如下形式：一般开环传递函数可以写成如下形式：3.5.3 系统类型与静态误
27、差系数系统类型与静态误差系数(steady state error coefficient)q 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次阶次 、开环开环增增益益K以及输入信号的形式。以及输入信号的形式。 式中，式中，K为开环增益。为开环增益。 为开环系统在为开环系统在s平面坐标原点的极点平面坐标原点的极点重数，重数， =0,1,2时，系统分别称为时，系统分别称为 0 型、型、型、型、型系统。型系统。3.5.13.5.2例例3.5.4二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数(position error co
28、efficient)三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数(velocity error coefficient)四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数 (acceleration error coefficient)五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系五、系统型别、静态误差系数与输入信号行式之间的关系 减小或消除误差的措施减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次提高开环积分环节的阶次 、增加、增加开环增益开环增益 K K。表表3-1 3-1 输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳
29、态误差动画演示动画演示例例3.8求求r(t)=1(t)+2t, n(t)=-1(t)时系统稳态误差。时系统稳态误差。解：解：r(t)作用时：作用时：Kp=, Kv=K=10, essr=0+2/10=0.2 。 对扰动作用来讲，对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。 终终值值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。C(s) G1(s) G2(s) R(s) N(s)(- -)n(t)作用
30、时：作用时：3.5.13.5.23.5.43.5.3 例例3.9 系统输入系统输入r(t)=( + t+ t2/2)1(t)，求求0 型、型、型、型、型系统的稳态误差。型系统的稳态误差。解：解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：动画演示动画演示3.5.4 动态误差系数法动态误差系数法 动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系动态误差系数法适用于研究输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。统稳态误差。其中其中 C0，C1，C2，为动态误差系数。为动态误差系数。设误差传递函数在设误差传递函数在s s邻域展开成泰勒级数为：邻域展开成泰勒级数为：3.5
31、.33.5.13.5.23.6 顺馈控制的误差分析顺馈控制的误差分析一、顺馈补偿一、顺馈补偿2.2.按扰动输入补偿按扰动输入补偿C(s)R(s) (-)Gf(s)G1(s) G2(s)N(s)C(s)R(s) (- -)Gr(s) G (s)1.1.按参考输入补偿按参考输入补偿3.53.13.23.33.43. 等效传递函数等效传递函数二、复合控制系统的二、复合控制系统的 误差和稳定性分析误差和稳定性分析C(s)R(s) (- -)Gr(s) G (s)型变为型变为型。型。型变为型变为型。型。结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。结论：复合控制能提高系统型别而不改变其稳定性。本本 章章 作作 业业 P1143-23-33-43-63-9(1)3-113-153-20
