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1、高等数学(下)知识点 第 1 页 共 18 页 高等数学下册知识点 第七章 空间解析几何与向量代数 一、填空与选择 1、已知点A( , ,)321和点B( , )72 3,取点M使MBAM2,则向量OM=。 2 已知点A( , , )012和点B ( , )1 10,则0AB= 。 3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为 , ,,则coscoscos222= 。 4、设向量a的方向角3,为锐角,且4a,则a= 。 5、向量)5 , 2, 7(a在向量) 1 , 2 , 2(b上的投影等于。 6、过点121,P且与直线1432tztytx, 垂直的平面方程为_ 7、已知两直线方程是130211:1
2、zyxL,11122:2zyxL,则过1L且平行2L的平面方程为_ 8、设直线182511:1zyxL,03206:2zyyxL,则1L与2L的夹角为( ) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D)2 9、平面AxByCzD 0过x轴,则( ) (A)AD 0 (B)BC00, (C)BC00, (D)BC 0 10、平面3510xz( ) (A)平行于zox平面 (B)平行于y轴(C)垂直于y轴 (D)垂直于x轴 11、点M( , , )121到平面xyz22100的距离为( ) (A)1 (B)1 (C)1 (D)13 12、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。 13、过点( ,
3、, )121与向量kjSkjiS21,32平行的平面方程为 。 14、平面0218419zyx和0428419zyx之间的距离等于 。 15、过点( , , )0 2 4且与平面xz21及yz32都平行的直线方程为。 16、过点( , ,)2 0 3并与xyzxyz247035210垂直的平面的方程为 。 二、完成下列各题 1、设)(,82,13baOCbaOBbaOC与b是不平行的非零向量,求的值,使CBA、三点在同一直线上。 2、已知不平行的两向量a和b,求它们的夹角平分线上的单位向量。 3、设点) 1, 0 , 1 (A为矢量AB的起点,ABAB,10与x轴、y轴的夹角分别为45,60,
4、试求: (1)AB与z轴的夹角v; (2)点B的坐标。 4、求与向量kjia22共线且满足18xa的向量x。 5、若平面过x轴,且与xoy平面成30的角,求它的方程。 第八章 空间解析几何与向量代数 (一) 向量及其线性运算 1 、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面; 2 、 线性运算:加减法、数乘; 高等数学(下)知识点 第 2 页 共 18 页 3 、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式; 4 、 利用坐标做向量的运算:设),(zyxaaaa ,),(zyxbbbb , 则 ),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa; 5 、 向量
5、的模、方向角、投影: 1 ) 向量的模:222zyxr; 2 ) 两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxxBA 3 ) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角, 4 ) 方向余弦:rzryrxcos ,cos ,cos 1coscoscos222 5 ) 投影:cosPraaju,其中为向量a与u的夹角。 (二) 数量积,向量积 1 、 数量积:cosbaba 1 )2aaa 2 ) ba0ba zzyyxxbabababa 2 、 向量积:bac 大小:sinba,方向:cba,符合右手规则 1 )0 aa 2 )ba/0 ba 高等数学(下)知识点 第 3 页 共 1
6、8 页 zyxzyxbbbaaakjiba 运算律:反交换律 baab (三) 曲面及其方程 1 、 曲面方程的概念:0),(:zyxfS 2 、 旋转曲面: yoz面上曲线0),(:zyfC, 绕y轴旋转一周:0),(22zxyf 绕z轴旋转一周:0),(22zyxf 3 、 柱面: 0),(yxF表示母线平行于z轴,准线为00),(zyxF的柱面 4 、 二次曲面 1 ) 椭圆锥面:22222zbyax 2 ) 椭球面:1222222czbyax 旋转椭球面:1222222czayax 3 ) 单叶双曲面:1222222czbyax 高等数学(下)知识点 第 4 页 共 18 页 4 )
7、双叶双曲面:1222222czbyax 5 ) 椭圆抛物面:zbyax2222 6 ) 双曲抛物面(马鞍面) :zbyax2222 7 ) 椭圆柱面:12222byax 8 ) 双曲柱面:12222byax 9 ) 抛物柱面:ayx2 (四) 空间曲线及其方程 1 、 一般方程:0),(0),(zyxGzyxF 2 、 参数方程:)()()(tzztyytxx,如螺旋线:btztaytaxsincos 3 、 空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF,消去z,得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH (五) 平面及其方程 1 、 点法式方程:0)()()(000zzCyy
8、BxxA 法向量:),(CBAn ,过点),(000zyx 高等数学(下)知识点 第 5 页 共 18 页 2 、 一般式方程:0DCzByAx 截距式方程:1czbyax 3 、 两平面的夹角:),(1111CBAn ,),(2222CBAn , 222222212121212121cosCBACBACCBBAA 21 0212121CCBBAA 21/ 212121CCBBAA 4 、 点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离: 222000CBADCzByAxd (六) 空间直线及其方程 1 、 一般式方程:0022221111DzCyBxADzCyBxA 2 、 对称式(点
9、向式)方程:pzznyymxx000 方向向量:),(pnms ,过点),(000zyx 3 、 参数式方程:ptzzntyymtxx000 4 、 两直线的夹角:),(1111pnms ,),(2222pnms , 222222212121212121cospnmpnmppnnmm 高等数学(下)知识点 第 6 页 共 18 页 21LL 0212121ppnnmm 21/LL 212121ppnnmm 5 、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角, 222222sinpnmCBACpBnAm /L 0CpBnAm L pCnBmA 第九章 多元函数微分法及其应用 (一) 基本概念
10、 1 、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。 2 、 多元函数:),(yxfz ,图形: 3 、 极限:Ayxfyxyx),(lim),(),(00 4 、 连续:),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 5 、 偏导数: xyxfyxxfyxfxx), (), (lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 6 、 方向导数: coscosyfxflf其中,为l的方向角。 7 、 梯度:),(yxfz ,则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。
11、8 、 全微分:设),(yxfz ,则dddzzzxyxy (二) 性质 1 、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系: 高等数学(下)知识点 第 7 页 共 18 页 2 、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理) 3 、 微分法 1 ) 定义: u x 2 ) 复合函数求导:链式法则 z 若( , ),( , ),( , )zf u v uu x y vv x y,则 v y zzuzvxuxvx,zzuzvyuyvy 3 ) 隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组) (三) 应用 1 、 极值 1 ) 无条件极值:求函数),(yxfz 的极值 解
12、方程组 00yxff 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00yx,令 ),(00yxfAxx,),(00yxfBxy,),(00yxfCyy, 若02 BAC,0A,函数有极小值, 若02 BAC,0A,函数有极大值; 若02 BAC,函数没有极值; 若02 BAC,不定。 2 ) 条件极值:求函数),(yxfz 在条件0),(yx下的极值 偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 充分条件 必要条件 定义 1 2 2 3 4 高等数学(下)知识点 第 8 页 共 18 页 令:),(),(),(yxyxfyxL Lagrange函数 解方程组 0),(00yxLLyx 2 、 几何应用 1
13、 ) 曲线的切线与法平面 曲线)()()(:tzztyytxx,则上一点),(000zyxM(对应参数为0t)处的 切线方程为:)()()(000000tzzztyyytxxx 法平面方程为:0)()()(000000zztzyytyxxtx 2 ) 曲面的切平面与法线 曲面0),(:zyxF,则上一点),(000zyxM处的切平面方程为: 0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为:),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第十章 重积分 (一) 二重积分 1 、 定义:nkkkkDfy
14、xf10),(limd),( 2 、 性质: (6 条) 3 、 几何意义:曲顶柱体的体积。 4 、 计算: 1 ) 直角坐标 bxaxyxyxD)()(),(21, 高等数学(下)知识点 第 9 页 共 18 页 21( )( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yy dycyxyyxD)()(),(21, 21( )( )( , )d dd( , )ddycyDf x yx yyf x yx 2 ) 极坐标 )()(),(21D 21( )( )( , )d d(cos , sin )dDf x yx ydf (二) 三重积分 1 、 定义: nkkkkkv
15、fvzyxf10),(limd),( 2 、 性质: 3 、 计算: 1 ) 直角坐标 Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),( -“先一后二” ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( -“先二后一” 2 ) 柱面坐标 zzyxsincos,( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 3 ) 球面坐标 高等数学(下)知识点 第 10 页 共 18 页 cossinsincossinrzryrx 2( , , )d( sin cos , sin sin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr
16、 (三) 应用 曲面DyxyxfzS),( , ),(:的面积: yxyzxzADdd)()(122 第十一章 曲线积分与曲面积分 (一) 对弧长的曲线积分 1 、 定义:01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 2 、 性质: 1 ) ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yx ysf x ysg x ys 2 )12( , )d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ys ).(21LLL 3 )在L上,若),(),(yxgyxf,则( , )d( , )d .LLf x ysg x ys 4 )lsLd ( l 为曲线
17、弧 L的长度) 3 、 计算: 设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为)(),(),(ttytx,其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数,且0)()(22tt,则 22( , )d ( ),( )( )( )d ,()Lf x ysfttttt (二) 对坐标的曲线积分 高等数学(下)知识点 第 11 页 共 18 页 1 、 定义:设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(yxP,),(yxQ在 L 上有界,定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(, nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. 向量形式:LLyyxQxyxPrFd),
18、(d),(d 2 、 性质: 用L表示L的反向弧 , 则LLryxFryxFd),(d),( 3 、 计算: 设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续, L的参数方程为 ):(),(),(ttytx,其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数,且0)()(22tt,则 ( , )d( , )d ( ),( )( ) ( ),( )( )d LP x yxQ x yyPtttQtttt 4 、 两类曲线积分之间的关系: 设 平 面 有 向 曲 线 弧 为)()( tytxL:,L上 点),(yx处 的 切 向 量 的 方 向 角 为 :,,)()()(cos22ttt,)()()
19、(cos22ttt, 则dd(coscos)dLLP xQ yPQs. (三) 格林公式 1 、格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(, ),(yxQyxP在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有LDyQxPyxyPxQdddd 2 、G为一个单连通区域,函数),(, ),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数,则 高等数学(下)知识点 第 12 页 共 18 页 yPxQ 曲线积分 ddLP xQ y在G内与路径无关 曲线积分dd0LP xQ y yyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分 (四) 对面积的曲面积分 1 、 定义: 设为光滑曲
20、面,函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数, 定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(10 2 、 计算:“一单二投三代入” ),(:yxzz ,xyDyx),(,则 yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22 (五) 对坐标的曲面积分 1 、 预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量 2 、 定义: 设为 有 向 光 滑 曲 面 , 函 数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是 定 义 在上 的 有 界 函 数 , 定 义 01( , , )d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理,01( ,
21、, )d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01( , , )d dlim(,)()niiiiz xiQ x y zz xRS 3 、 性质: 1 )21,则 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 2 )表示与取相反侧的有向曲面 , 则d dd dR x yR x y 高等数学(下)知识点 第 13 页 共 18 页 4 、 计算:“一投二代三定号” ),(:yxzz ,xyDyx),(,),(yxzz 在xyD上具有一阶连续偏导数,),(zyxR在上连续,
22、则( , , )d d , , ( , )d dx yDR x y zx yR x y z x yx y ,为上侧取“ + ” , 为下侧取“ - ”. 5 、 两类曲面积分之间的关系: SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。 (六) 高斯公式 1 、 高斯公式: 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数, 则有 yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd 或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd 2 、 通量与散度 通量:向量场),(R
23、QPA 通过曲面指定侧的通量为:yxRxzQzyPdddddd 散度:zRyQxPAdiv (七) 斯托克斯公式 1 、 斯 托 克 斯 公 式 : 设 光 滑 曲 面 的 边 界 是 分 段 光 滑 曲 线 , 的 侧 与 的 正 向 符 合 右 手 法 则 , ),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有 zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd 高等数学(下)知识点 第 14 页 共 18 页 2 、 环流量与旋度 环
24、流量:向量场),(RQPA 沿着有向闭曲线 的环流量为zRyQxPddd 旋度:yPxQxRzPzQyRArot , , 第十二章 无穷级数 (一) 常数项级数 1 、 定义: 1 )无穷级数:nnnuuuuu3211 部分和:nnkknuuuuuS3211, 正项级数:1nnu,0nu 交错级数:1) 1(nnnu,0nu 2 )级数收敛:若SSnnlim存在,则称级数1nnu收敛,否则称级数1nnu发散 3 )条件收敛:1nnu收敛,而1nnu发散; 绝对收敛:1nnu收敛。 2 、 性质: 1 ) 改变有限项不影响级数的收敛性; 2 ) 级数1nna,1nnb收敛,则1)(nnnba收敛
25、; 3 ) 级数1nna收敛,则任意加括号后仍然收敛; 4 ) 必要条件:级数1nnu收敛0limnnu. (注意:不是充分条件! ) 高等数学(下)知识点 第 15 页 共 18 页 3 、 审敛法 正项级数:1nnu,0nu 1 ) 定义:SSnnlim存在; 2 ) 1nnu收敛 nS有界; 3 ) 比较审敛法:1nnu,1nnv为正项级数,且), 3 , 2 , 1( nvunn 若1nnv收敛,则1nnu收敛;若1nnu发散,则1nnv发散. 4 ) 比较法的推论:1nnu,1nnv为正项级数,若存在正整数m,当mn 时,nnkvu ,而1nnv收敛,则1nnu收敛;若存在正整数m,
26、当mn 时,nnkvu ,而1nnv发散,则1nnu发散. 5 ) 比较法的极限形式:1nnu,1nnv为正项级数, 若)0( limllvunnn, 而1nnv收敛, 则1nnu收敛;若0limnnnvu或nnnvulim,而1nnv发散,则1nnu发散. 6 ) 比值法:1nnu为正项级数,设luunnn1lim,则当1l时,级数1nnu收敛;则当1l时,级数1nnu发散;当1l时,级数1nnu可能收敛也可能发散. 7 ) 根值法:1nnu为正项级数,设lunnnlim,则当1l时,级数1nnu收敛;则当1l时,级数1nnu发散;当1l时,级数1nnu可能收敛也可能发散. 8 ) 极限审敛
27、法:1nnu为正项级数,若0limnnun或nnunlim,则级数1nnu发散;若存在1p,使得)0( limllunnpn,则级数1nnu收敛. 交错级数: 高等数学(下)知识点 第 16 页 共 18 页 莱布尼茨审敛法:交错级数:1) 1(nnnu,0nu满足:), 3 , 2 , 1( 1nuunn,且0limnnu,则级数1) 1(nnnu收敛。 任意项级数: 1nnu绝对收敛,则1nnu收敛。 常见典型级数:几何级数:1 1 0qqaqnn发散,收敛, p - 级数:1p 1 11发散,收敛, pnnp (二) 函数项级数 1 、 定义:函数项级数1)(nnxu,收敛域,收敛半径,
28、和函数; 2 、 幂级数:0nnnxa 收敛半径的求法:nnnaa1lim,则收敛半径 0 , , 00 ,1R 3 、 泰勒级数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)( 0)(! ) 1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR 展开步骤: (直接展开法) 1 ) 求出, 3 , 2 , 1 ),()(nxfn; 2 ) 求出, 2 , 1 , 0 ),(0)(nxfn; 高等数学(下)知识点 第 17 页 共 18 页 3 ) 写出nnnxxnxf)(!)(000)(; 4 ) 验证0)(! ) 1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立。 间接展开
29、法: (利用已知函数的展开式) 1 )),( ,!10xxnennx; 2 )),( ,! ) 12(1) 1(sin0121xxnxnnn; 3 )),( ,)!2(1) 1(cos021xxnxnnn; 4 )) 1 , 1( ,110xxxnn; 5 )) 1 , 1( ,) 1(110xxxnnn 6 ) 1 , 1( ,1) 1()1ln(01xxnxnnn 7 )) 1 , 1( ,) 1(11022xxxnnn 8 )) 1 , 1( ,!) 1() 1(1)1 (1xxnnmmmxnnm 4 、 傅里叶级数 1 ) 定义: 正交系:nxnxxxxxcos,sin,2cos,2s
30、in,cos,sin, 1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 ,上积分为零。 傅里叶级数:)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn 高等数学(下)知识点 第 18 页 共 18 页 系数:), 3,2, 1(dsin)(1), 2, 1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2 ) 收敛定理:( 展开定理) 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()( ),(sincos210 3 ) 傅里叶展开: 求出系数:), 3,2, 1(dsin)(1), 2, 1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann; 写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn; 根据收敛定理判定收敛性。