高等数学下册知识点11135

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1、高等数学（下）知识点 第 1 页 共 18 页 高等数学下册知识点 第七章 空间解析几何与向量代数 一、填空与选择 1、已知点A( , ,)321和点B( , )72 3，取点M使MBAM2，则向量OM=。 2 已知点A( , , )012和点B ( , )1 10，则0AB= 。 3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为 , ,，则coscoscos222= 。 4、设向量a的方向角3,为锐角，且4a，则a= 。 5、向量)5 , 2, 7(a在向量) 1 , 2 , 2(b上的投影等于。 6、过点121，P且与直线1432tztytx， 垂直的平面方程为_ 7、已知两直线方程是130211:1

2、zyxL，11122:2zyxL，则过1L且平行2L的平面方程为_ 8、设直线182511:1zyxL,03206:2zyyxL，则1L与2L的夹角为（ ） （A） 6 （B） 4 （C） 3 （D）2 9、平面AxByCzD 0过x轴，则（ ） （A）AD 0 （B）BC00, （C）BC00, （D）BC 0 10、平面3510xz（ ） （A）平行于zox平面 （B）平行于y轴（C）垂直于y轴 （D）垂直于x轴 11、点M( , , )121到平面xyz22100的距离为（ ） （A）1 （B）1 （C）1 （D）13 12、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。 13、过点( ,

3、, )121与向量kjSkjiS21,32平行的平面方程为 。 14、平面0218419zyx和0428419zyx之间的距离等于 。 15、过点( , , )0 2 4且与平面xz21及yz32都平行的直线方程为。 16、过点( , ,)2 0 3并与xyzxyz247035210垂直的平面的方程为 。 二、完成下列各题 1、设)(,82,13baOCbaOBbaOC与b是不平行的非零向量，求的值，使CBA、三点在同一直线上。 2、已知不平行的两向量a和b，求它们的夹角平分线上的单位向量。 3、设点) 1, 0 , 1 (A为矢量AB的起点，ABAB,10与x轴、y轴的夹角分别为45,60，

4、试求： （1）AB与z轴的夹角v； （2）点B的坐标。 4、求与向量kjia22共线且满足18xa的向量x。 5、若平面过x轴，且与xoy平面成30的角，求它的方程。 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1 、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2 、 线性运算：加减法、数乘； 高等数学（下）知识点 第 2 页 共 18 页 3 、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4 、 利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa ，),(zyxbbbb ， 则 ),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa； 5 、 向量

5、的模、方向角、投影： 1 ） 向量的模：222zyxr； 2 ） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA 3 ） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角, 4 ） 方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos 1coscoscos222 5 ） 投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。 （二） 数量积，向量积 1 、 数量积：cosbaba 1 ）2aaa 2 ） ba0ba zzyyxxbabababa 2 、 向量积：bac 大小：sinba，方向：cba,符合右手规则 1 ）0 aa 2 ）ba/0 ba 高等数学（下）知识点 第 3 页 共 1

6、8 页 zyxzyxbbbaaakjiba 运算律：反交换律 baab （三） 曲面及其方程 1 、 曲面方程的概念：0),(:zyxfS 2 、 旋转曲面： yoz面上曲线0),(:zyfC， 绕y轴旋转一周：0),(22zxyf 绕z轴旋转一周：0),(22zyxf 3 、 柱面： 0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面 4 、 二次曲面 1 ） 椭圆锥面：22222zbyax 2 ） 椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax 3 ） 单叶双曲面：1222222czbyax 高等数学（下）知识点 第 4 页 共 18 页 4 ）

7、双叶双曲面：1222222czbyax 5 ） 椭圆抛物面：zbyax2222 6 ） 双曲抛物面（马鞍面） ：zbyax2222 7 ） 椭圆柱面：12222byax 8 ） 双曲柱面：12222byax 9 ） 抛物柱面：ayx2 （四） 空间曲线及其方程 1 、 一般方程：0),(0),(zyxGzyxF 2 、 参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos 3 、 空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH （五） 平面及其方程 1 、 点法式方程：0)()()(000zzCyy

8、BxxA 法向量：),(CBAn ，过点),(000zyx 高等数学（下）知识点 第 5 页 共 18 页 2 、 一般式方程：0DCzByAx 截距式方程：1czbyax 3 、 两平面的夹角：),(1111CBAn ，),(2222CBAn ， 222222212121212121cosCBACBACCBBAA 21 0212121CCBBAA 21/ 212121CCBBAA 4 、 点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离： 222000CBADCzByAxd （六） 空间直线及其方程 1 、 一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA 2 、 对称式（点

9、向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：),(pnms ，过点),(000zyx 3 、 参数式方程：ptzzntyymtxx000 4 、 两直线的夹角：),(1111pnms ，),(2222pnms ， 222222212121212121cospnmpnmppnnmm 高等数学（下）知识点 第 6 页 共 18 页 21LL 0212121ppnnmm 21/LL 212121ppnnmm 5 、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 222222sinpnmCBACpBnAm /L 0CpBnAm L pCnBmA 第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念

10、 1 、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 2 、 多元函数：),(yxfz ，图形： 3 、 极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(00 4 、 连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 5 、 偏导数： xyxfyxxfyxfxx), (), (lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 6 、 方向导数： coscosyfxflf其中,为l的方向角。 7 、 梯度：),(yxfz ，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。

11、8 、 全微分：设),(yxfz ，则dddzzzxyxy （二） 性质 1 、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： 高等数学（下）知识点 第 7 页 共 18 页 2 、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3 、 微分法 1 ） 定义： u x 2 ） 复合函数求导：链式法则 z 若( , ),( , ),( , )zf u v uu x y vv x y，则 v y zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy 3 ） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） （三） 应用 1 、 极值 1 ） 无条件极值：求函数),(yxfz 的极值 解

12、方程组 00yxff 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令 ),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy， 若02 BAC，0A，函数有极小值， 若02 BAC，0A，函数有极大值； 若02 BAC，函数没有极值； 若02 BAC，不定。 2 ） 条件极值：求函数),(yxfz 在条件0),(yx下的极值 偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 充分条件 必要条件 定义 1 2 2 3 4 高等数学（下）知识点 第 8 页 共 18 页 令：),(),(),(yxyxfyxL Lagrange函数 解方程组 0),(00yxLLyx 2 、 几何应用 1

13、 ） 曲线的切线与法平面 曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的 切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx 法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx 2 ） 曲面的切平面与法线 曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为： 0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第十章 重积分 （一） 二重积分 1 、 定义：nkkkkDfy

14、xf10),(limd),( 2 、 性质： （6 条） 3 、 几何意义：曲顶柱体的体积。 4 、 计算： 1 ） 直角坐标 bxaxyxyxD)()(),(21， 高等数学（下）知识点 第 9 页 共 18 页 21( )( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yy dycyxyyxD)()(),(21， 21( )( )( , )d dd( , )ddycyDf x yx yyf x yx 2 ） 极坐标 )()(),(21D 21( )( )( , )d d(cos , sin )dDf x yx ydf （二） 三重积分 1 、 定义： nkkkkkv

15、fvzyxf10),(limd),( 2 、 性质： 3 、 计算： 1 ） 直角坐标 Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),( -“先一后二” ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( -“先二后一” 2 ） 柱面坐标 zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 3 ） 球面坐标 高等数学（下）知识点 第 10 页 共 18 页 cossinsincossinrzryrx 2( , , )d( sin cos , sin sin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr

16、 （三） 应用 曲面DyxyxfzS),( , ),(:的面积： yxyzxzADdd)()(122 第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1 、 定义：01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 2 、 性质： 1 ） ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yx ysf x ysg x ys 2 ）12( , )d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ys ).(21LLL 3 ）在L上，若),(),(yxgyxf，则( , )d( , )d .LLf x ysg x ys 4 ）lsLd ( l 为曲线

17、弧 L的长度) 3 、 计算： 设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则 22( , )d ( ),( )( )( )d ,()Lf x ysfttttt （二） 对坐标的曲线积分 高等数学（下）知识点 第 11 页 共 18 页 1 、 定义：设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在 L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(， nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. 向量形式：LLyyxQxyxPrFd),

18、(d),(d 2 、 性质： 用L表示L的反向弧 , 则LLryxFryxFd),(d),( 3 、 计算： 设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续, L的参数方程为 ):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则 ( , )d( , )d ( ),( )( ) ( ),( )( )d LP x yxQ x yyPtttQtttt 4 、 两类曲线积分之间的关系： 设 平 面 有 向 曲 线 弧 为)()( tytxL：，L上 点),(yx处 的 切 向 量 的 方 向 角 为 ：,，)()()(cos22ttt，)()()

19、(cos22ttt， 则dd(coscos)dLLP xQ yPQs. （三） 格林公式 1 、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(, ),(yxQyxP在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有LDyQxPyxyPxQdddd 2 、G为一个单连通区域，函数),(, ),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则 高等数学（下）知识点 第 12 页 共 18 页 yPxQ 曲线积分 ddLP xQ y在G内与路径无关 曲线积分dd0LP xQ y yyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分 （四） 对面积的曲面积分 1 、 定义： 设为光滑曲

20、面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数， 定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(10 2 、 计算：“一单二投三代入” ),(:yxzz ，xyDyx),(，则 yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22 （五） 对坐标的曲面积分 1 、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2 、 定义： 设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是 定 义 在上 的 有 界 函 数 ， 定 义 01( , , )d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理，01( ,

21、, )d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01( , , )d dlim(,)()niiiiz xiQ x y zz xRS 3 、 性质： 1 ）21，则 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 2 ）表示与取相反侧的有向曲面 , 则d dd dR x yR x y 高等数学（下）知识点 第 13 页 共 18 页 4 、 计算：“一投二代三定号” ),(:yxzz ，xyDyx),(，),(yxzz 在xyD上具有一阶连续偏导数，),(zyxR在上连续，

22、则( , , )d d , , ( , )d dx yDR x y zx yR x y z x yx y ,为上侧取“ + ” ， 为下侧取“ - ”. 5 、 两类曲面积分之间的关系： SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。 （六） 高斯公式 1 、 高斯公式： 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数, 则有 yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd 或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd 2 、 通量与散度 通量：向量场),(R

23、QPA 通过曲面指定侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd 散度：zRyQxPAdiv （七） 斯托克斯公式 1 、 斯 托 克 斯 公 式 ： 设 光 滑 曲 面 的 边 界 是 分 段 光 滑 曲 线 , 的 侧 与 的 正 向 符 合 右 手 法 则 , ),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有 zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd 高等数学（下）知识点 第 14 页 共 18 页 2 、 环流量与旋度 环

24、流量：向量场),(RQPA 沿着有向闭曲线 的环流量为zRyQxPddd 旋度：yPxQxRzPzQyRArot , , 第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1 、 定义： 1 ）无穷级数：nnnuuuuu3211 部分和：nnkknuuuuuS3211， 正项级数：1nnu，0nu 交错级数：1) 1(nnnu，0nu 2 ）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散 3 ）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散； 绝对收敛：1nnu收敛。 2 、 性质： 1 ） 改变有限项不影响级数的收敛性； 2 ） 级数1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛

25、； 3 ） 级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛； 4 ） 必要条件：级数1nnu收敛0limnnu. （注意：不是充分条件！ ） 高等数学（下）知识点 第 15 页 共 18 页 3 、 审敛法 正项级数：1nnu，0nu 1 ） 定义：SSnnlim存在； 2 ） 1nnu收敛 nS有界； 3 ） 比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且), 3 , 2 , 1( nvunn 若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散. 4 ） 比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数，若存在正整数m，当mn 时，nnkvu ，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，

26、当mn 时，nnkvu ，而1nnv发散，则1nnu发散. 5 ） 比较法的极限形式：1nnu，1nnv为正项级数， 若)0( limllvunnn， 而1nnv收敛， 则1nnu收敛；若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv发散，则1nnu发散. 6 ） 比值法：1nnu为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散. 7 ） 根值法：1nnu为正项级数，设lunnnlim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散. 8 ） 极限审敛

27、法：1nnu为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数1nnu发散；若存在1p，使得)0( limllunnpn，则级数1nnu收敛. 交错级数： 高等数学（下）知识点 第 16 页 共 18 页 莱布尼茨审敛法：交错级数：1) 1(nnnu，0nu满足：), 3 , 2 , 1( 1nuunn，且0limnnu，则级数1) 1(nnnu收敛。 任意项级数： 1nnu绝对收敛，则1nnu收敛。 常见典型级数：几何级数：1 1 0qqaqnn发散，收敛， p - 级数：1p 1 11发散，收敛， pnnp （二） 函数项级数 1 、 定义：函数项级数1)(nnxu，收敛域，收敛半径，

28、和函数； 2 、 幂级数：0nnnxa 收敛半径的求法：nnnaa1lim，则收敛半径 0 , , 00 ,1R 3 、 泰勒级数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)( 0)(! ) 1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR 展开步骤： （直接展开法） 1 ） 求出, 3 , 2 , 1 ),()(nxfn； 2 ） 求出, 2 , 1 , 0 ),(0)(nxfn； 高等数学（下）知识点 第 17 页 共 18 页 3 ） 写出nnnxxnxf)(!)(000)(； 4 ） 验证0)(! ) 1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立。 间接展开

29、法： （利用已知函数的展开式） 1 ）),( ,!10xxnennx； 2 ）),( ,! ) 12(1) 1(sin0121xxnxnnn； 3 ）),( ,)!2(1) 1(cos021xxnxnnn； 4 ）) 1 , 1( ,110xxxnn； 5 ）) 1 , 1( ,) 1(110xxxnnn 6 ） 1 , 1( ,1) 1()1ln(01xxnxnnn 7 ）) 1 , 1( ,) 1(11022xxxnnn 8 ）) 1 , 1( ,!) 1() 1(1)1 (1xxnnmmmxnnm 4 、 傅里叶级数 1 ） 定义： 正交系：nxnxxxxxcos,sin,2cos,2s

30、in,cos,sin, 1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 ,上积分为零。 傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn 高等数学（下）知识点 第 18 页 共 18 页 系数：), 3,2, 1(dsin)(1), 2, 1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2 ） 收敛定理：( 展开定理) 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()( ),(sincos210 3 ） 傅里叶展开： 求出系数：), 3,2, 1(dsin)(1), 2, 1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann； 写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn； 根据收敛定理判定收敛性。