《矩阵的Kronecker积与Hadmard积学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的Kronecker积与Hadmard积学习教案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、会计学1矩阵矩阵(j zhn)的的Kronecker积与积与Hadmard积积第一页，共16页。概述概述概述概述( ( i sh)i sh)： 内容：内容：介绍介绍Kronecker积和积和Hadamard积积讨论讨论K-积，积，H-积的运算性质、之间积的运算性质、之间的关系的关系K-积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系K-积，积，H-积的矩阵性质积的矩阵性质K-积的矩阵等价与相似积的矩阵等价与相似(xin s)关系关系介绍应用介绍应用向量化算子向量化算子重点：重点：K-积及其应用积及其应用第1页/共15页第二页，共16页。 61 Kroneker 61 Kroneker积和积和积和积和Had
2、amardHadamard积的定义积的定义积的定义积的定义(dngy)(dngy)n n定义定义(dngy)6. 1（P . 136）n n 设矩阵设矩阵A=aijm n和和B=bijst矩阵矩阵 ，则，则A, B 的的Kronecker被定义被定义(dngy)为为AB：n n AB=aijBmnn n设设A =aijm n和和B=bij m n为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A和和B的的Hadamard被定义被定义(dngy)为为A B：n n AB= aijbijm nn n例题例题1 设设 ，计算，计算n n n n AB，BA，IB，AB，IA第2页/共15页第三页，共16页。n nK-积
3、，积，H-积的基本结果：积的基本结果：n nA和和B中有一个为零矩阵中有一个为零矩阵(j zhn)，则，则AB=0，AB=0n nII=I，II=In n若若A为对角矩阵为对角矩阵(j zhn)，则，则AB为分块对角矩阵为分块对角矩阵(j zhn)，AB为对角矩阵为对角矩阵(j zhn)。n nK-积的基本性质积的基本性质n n定理定理6.1（P . 138）设以下矩阵）设以下矩阵(j zhn)使计算有意义，则使计算有意义，则n n（kA）B=A（kB）n nA（B+C）=AB+ACn n（AB）C=A（BC）n n（AB）H=AHBHn nAB BA第3页/共15页第四页，共16页。n nH
4、-积的基本性质：积的基本性质：n n设设A，B为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则n nAB=BAn n（kA）B=A（kB）n nA（B+C）=AB+ACn n（AB）C=A（BC）n n（AB）H=AHBHn nKronecker和和Hadamard的关系的关系(gun x)：n n定理定理6.3（P . 139）第4页/共15页第五页，共16页。n nK-积与矩阵乘法积与矩阵乘法n n定理定理6.2（P . 138）设矩阵）设矩阵A，B，C，D使得下列运算有意义使得下列运算有意义(yy)，则有则有n n (AB) (CB)=（AC）（BD）n n意义意义(yy)：建立：建立Kronecker积和
5、矩积和矩阵乘法的相互转换。阵乘法的相互转换。n n特别情形：设特别情形：设AF m m ，B F n n，则，则n n AB=(Im B) (AI n)= (AI n) (Im B) 第5页/共15页第六页，共16页。6.2Kronecker6.2Kronecker积和积和积和积和HadamardHadamard积的性质积的性质积的性质积的性质(xngzh)(xngzh)n nKronecker积的矩阵性质积的矩阵性质n n定理定理6.4 （P . 140）设矩阵使下列）设矩阵使下列运算有意义，则运算有意义，则n n当当A，B分别分别(fnbi)为可逆矩阵时，为可逆矩阵时，AB为可逆矩阵，而且
6、有为可逆矩阵，而且有n n(AB) 1 =A1B 1n n当方阵当方阵A F m m ，B F n n时，方阵时，方阵AB F mn mn的的行列式为行列式为n n |AB| =|A|n |B| mn n若若A，B 是是Hermite矩阵，则矩阵，则AB是是Hermite矩阵矩阵n n若若A，B 是酉是酉 矩阵，则矩阵，则AB是酉是酉矩阵。矩阵。第6页/共15页第七页，共16页。n nKroneckerKronecker与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系n n定理定理定理定理6.56.5（P . 141P . 141）n n设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵
7、A A，B B，为同阶的等价矩阵，则，为同阶的等价矩阵，则，为同阶的等价矩阵，则，为同阶的等价矩阵，则(A(AI) I)等价于等价于等价于等价于(I (IB)B)n n设方阵设方阵设方阵设方阵A A相似与相似与相似与相似与JAJA，方阵，方阵，方阵，方阵B B相似于相似于相似于相似于JBJB，则，则，则，则(A(AB) B) 相似于相似于相似于相似于(JA(JAJB) JB) n nK-K-积特征值和特征向量积特征值和特征向量积特征值和特征向量积特征值和特征向量n n定理定理定理定理6.66.6（P . 142P . 142）设）设）设）设A AF m F m m m 的特征值特征向量分别是的
8、特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是 i i，xixi，B B F n F n n n的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是 j j ， yj yj，则则则则n n(A(AB) B) 的特征值是的特征值是的特征值是的特征值是 i ij j 。特征向量是。特征向量是。特征向量是。特征向量是(xi(xiyj) yj) 。n n(A(AI) +(II) +(IB) B) 的特征值是的特征值是的特征值是的特征值是 i + i + j j ，特征向量是，特征向量是，特征向量是，特征向量是(xi(xiyj) yj) n
9、n更一般更一般更一般更一般(ybn)(ybn)的结果：的结果：的结果：的结果：n n定理定理定理定理6.76.7（P . 142P . 142）n n 的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为第7页/共15页第八页，共16页。n nKronecker的函数性质的函数性质n n定理定理6.8（P . 143）设是）设是f(z)解析解析(ji x)函数，函数，f(A)有意义，则有意义，则n nf (IA) =If(A) n nf(AI) =f(A)In n特例：特例：n n n n 第8页/共15页第九页，共16页。n n例题例题(lt)1 设设 AF m n ， BF s t ，证明，证明n n
10、rank（A B）=rank（A）rank（B） 例题例题例题例题(lt)2(lt)2（P . 144P . 144） ，设，设，设，设 ， 求求求求(A(AB)B)的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量 求求求求(A(AI) +(II) +(IB)B)的特征值和特征向的特征值和特征向的特征值和特征向的特征值和特征向量量量量 例题例题例题例题3 3：证明：证明：证明：证明(zhngmng)(zhngmng)对任何方阵，有对任何方阵，有对任何方阵，有对任何方阵，有第9页/共15页第十页，共16页。6. 3 6. 3 矩阵矩阵矩阵矩阵(j (j zhn) zhn)
11、的向量化算子和的向量化算子和的向量化算子和的向量化算子和K-K-积积积积n n向量化算子向量化算子Vecn n定义（定义（P . 143）设）设 A=aijm n 则则n nVec(A) = (a11 a21 am1； a12 a22 am2 ；n n a1n a2n amj)T n n性质性质(xngzh)：（：（P . 146）n nVec是线性算子：是线性算子：n n Vec（k1A+k2B）=k 1Vec ( A ) +k2 Vec ( B) n n 2 定理定理6. 10（P . 146）Vec(ABC) =(CT A) VecB n n 3 Vec(AX) =(I A) VecXn
12、 n 4 Vec(XC) =(CT I) VecXn n 第10页/共15页第十一页，共16页。用向量化算子求解用向量化算子求解(qi ji)矩阵矩阵方程组方程组思想：用思想：用Vec算子，结合算子，结合Kronecker积积将矩阵方程将矩阵方程(fngchng)化为线性化为线性方程方程(fngchng)组求解。组求解。 1、 AF m m ， BF n n ，DF m n ， AX+XB=D分析：分析： AX+XB=D （I A+BT I）VecX =VecDG= （I A+BT I），），方程方程(fngchng)有惟一解的充要条有惟一解的充要条件是件是G为可逆矩阵，即为可逆矩阵，即A和和
13、-B没有没有共同的特征值。共同的特征值。例题例题1 （P . 147）第11页/共15页第十二页，共16页。用向量化算子求解用向量化算子求解(qi ji)矩阵方矩阵方程组程组n n2、A，XF n n ， AX-XA=kXn n分析：n n AX-XA=kX （I AAT I）VecX =kVecXn nH= （I A AT I ) ，n n方程( kI-H)y=0 有非零解的充要条件是k为H的特征值，k=i j 。n n例题(lt)2 求解矩阵方程AX XA= 2X 第12页/共15页第十三页，共16页。用向量化算子用向量化算子(sun z)求解矩阵方程组求解矩阵方程组3 A，B，D，XF
14、n n ， AXB=D分析：分析： AXB=D （BT A）VecX =VecDL= BT A ，方程有惟一解的充要条件是方程有惟一解的充要条件是L为为可逆矩阵可逆矩阵.例题例题(lt)3 求解方程求解方程A1XB1+ A2XB2=D第13页/共15页第十四页，共16页。例题例题4 设设A C m m ，B C n n ，D F m n ，证明谱，证明谱半径半径(bnjng) (A) (B) 1 时方程：时方程： X=AXB+D 的解为的解为第14页/共15页第十五页，共16页。内容(nirng)总结会计学。定理6.1（P . 138）设以下矩阵(j zhn)使计算有意义，则。（AB）H=AHBH。设A，B为同阶矩阵(j zhn)，则。（AB）H=AHBH。定理6.3（P . 139）。性质：（P . 146）。方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵(j zhn)，即A和-B没有共同的特征值。方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵(j zhn).例题3 求解方程A1XB1+ A2XB2=D。的解为第十六页，共16页。
