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1、 . . 1 / 5 小船过河 数 学 模 型 . . 2 / 5 1. 问题与背景 一只小船度过宽度为 d 的河流， 目标是起点 A 正对着的另一岸的 B点。建立小船渡河航线模型，并分析研究小船的渡河航行时间。 2. 问题假设和分析 假设河水流速 v1 与船在静水中的速度 v2 之比为 K。 在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉与到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度方向的运动；另一个是受水流作用使得小船具有速度方向的运动。 3. 模型建立 以 B 为坐标原点，BA 所在的线段为 x 轴的正半轴建立如图一所示的坐标系。 设小船航迹为 y=y(x
2、)，由运动力学知，小船实际速度 v=v1+v2，设小船与 B 点连线与 x 轴正方向夹角为，则 V=iv2cosj(v1v2sin) 即 . . 3 / 5 =v2cos， =v1v2sin 设小船 t 时刻位于点（x，y）处，显然有 cos=，sin= 即 =v2， =v1v2 所以 =(v1v2)/(v2) 于是初值问题(x2+y2)1/2 =k ， 0xd y(d)=0 即为小船航迹应满足的数学模型，它是一阶齐次微分方程。 4. 模型求解 假设 d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s 令 =u，则 y=ux， =x u，把它们带入初值问题，整理，得 x =k(1u2)1/2 对上式
3、分离变量并积分，得 arshu=ln(u(1u2)1/2)=k(lnxlnC) 带入初始条件 x=d，u=0，得 C= ，所以 . . 4 / 5 ln(u(1u2)1/2)=kln =ln( )k 从而 u=sh(ln( )k)=( )k( )k 带入 u= ，得 y= ( )k( )k=( )1k( )1+k，0xd 5. 结果分析 小船航线的参数方程为 =， x(0)=d =1， y(0)=0 由 Matlab 求解数值和画图, Matlab 程序如下： . . 5 / 5 通过数值解求出小船渡河的时间为 66.65s 6. 参考文献 司守奎.数学建模算法与应用.国防工业,2013.1
