中职数学10.1计数原理

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1、概率统计统计概率10.1 计数原理1乙地乙地甲地甲地甲地甲地乙地乙地a1a2a3b1b2看图看图1和图和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走法？法？图1图22问题问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天一天中，火车有中，火车有 2 班，汽车有班，汽车有 4 班，那么一天中乘坐这些交通班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？解解 246(种种)1.要完成什么事？要完成什么事？2.完成这件事有几类不完成这件事有几类不同的办法？同的办法？3.每类办法中又

2、有几种每类办法中又有几种方法？方法？4.完成这件事共有多少完成这件事共有多少种不同的方法？种不同的方法？乙地乙地汽车汽车火车火车甲地甲地火车火车汽车汽车3问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入4路径路径类类1-1问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入5路径路径类类1-2问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入6路径路径类类1-3问题问题 2.如图如图,该电路从该电路

3、从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入7路径路径类类2-1问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入8（一）分类计数原理（一）分类计数原理 有有n 类办法类办法Nm1m2mn第第 1 类办法中类办法中有有 m1 种不同的方法种不同的方法第第 2 类办法中类办法中有有 m2 种不同的方法种不同的方法第第 n 类办法中类办法中有有 mn 种不同的方法种不同的方法共有多少种不同的方法共有多少种不同的方法完完成成一一件件事事9分类计数原理分类计数原理分类计数原理又称分类计数原理又称“加法原

4、理加法原理” 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法，在第，在第1类办法中类办法中有有m1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有 m2 种种不同的方法，不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn 种不同种不同的方法，那么完成这件事共有的方法，那么完成这件事共有 Nm1 m2 mn种不同的方法种不同的方法10例例1书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文本，中层有不同的语文书书 18 本，下层有不同的物理书本，下层有不同的物理书 7 本本.现从中任取一本书，问现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？ 有有三三类取

5、法类取法 N15187 40(种)第第 1 类类，从从上上层层 15 本本数数学学书任取一本，有书任取一本，有 15 种取法种取法 第第 2 类类，从从中中层层 18 本本语语文文书任取一本，有书任取一本，有 18 种取法种取法 第第 3 类类，从从下下层层 7 本本物物理理书任取一本，有书任取一本，有 7 种取法种取法 共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法 任任取取一一本本书书 11例例 2某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组甲组 9 人，乙组人，乙组 11 人，丙组人，丙组 10 人，丁组人，丁组 9 人人现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多

6、少现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？种不同的选法？解解根据分类计数原理，根据分类计数原理，不同的选法一共有：不同的选法一共有：N91110939(种种)12问题问题(1)：本题中要完成一件什么事？：本题中要完成一件什么事？问题问题(2)：由：由 A 地去地去 C 地有地有 个步骤，个步骤， 第一步：由第一步：由 A 地到地到 B 地，有地，有 种不同的走法；种不同的走法； 第二步：由第二步：由 B 地到地到 C 地，有地，有 种不同的走法种不同的走法问题问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？：完成这件事有多少种不同的方法？223问题问题2 由由 A 地去地去 C 地，

7、中间必须经过地，中间必须经过 B 地，且已知由地，且已知由 A地到地到 B 地有地有 3 条路可走，再由条路可走，再由 B 地到地到 C 地有地有 2 条路可走，条路可走，那么由那么由 A 地经地经 B 到到 C 地有多少种不同的走法？地有多少种不同的走法？CBAa1a2a3b1b2解解 3 26 (种种)a1a2a3b1b213（二）分步计数原理（二）分步计数原理完完成成一一件件事事第第1 1步步有有m1 1种种不不同同的的方方法法第第2 2步步有有m2 2种种不不同同的的方方法法第第 n步步有有mn种种不不同同的的方方法法N= m1 1 m2 2 mn 有有 n 个步骤个步骤共有多少种不同

8、的方法共有多少种不同的方法 14分步计数原理n完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法做第步有种不同的方法那么完成这件事共有N种不同的方法分步计数原理又叫作分步计数原理又叫作“乘法原理乘法原理”15例例3 3 书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书1515本，中层有不同的语文书本，中层有不同的语文书1818本，本，下层有不同的物理书下层有不同的物理书7 7本本. .现从中取出数学、语文、物理书各一现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法？本，问有多少种不同的取法？ 有有三个步骤三个步骤N151871890 第第1步步，从从 上上 层层1

9、5本本 数数学学 书书 任任取取 一一 本本, ,有有 1 5种种取取 法法 ；第第2步步，从从 中中 层层1 8本本 语语文文 书书 任任取取 一一 本本, ,有有 1 8种种取取 法法 ；第第3步步，从从 下下 层层7 本本物物理理 书书 任任取取 一一 本本, ,有有 7 种种取取法法. .各各取取一一本本书书共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法第第3步步， 16例例4 4 某农场要在某农场要在4 4种不同类型的土地上，试验种植种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试

10、验方案？问有多少种不同的试验方案？依据分步计数原理，依据分步计数原理，可知有可知有432124 种不同的试验方案种不同的试验方案.第第 3 步，考虑步，考虑 C 种小麦，可在剩下的种小麦，可在剩下的 2 种不同种不同类型的土地中任选类型的土地中任选 1 种，有种，有 2 种选法；种选法；第第 2 步，考虑步，考虑 B 种小麦，可在剩下的种小麦，可在剩下的 3 种不同种不同类型的土地中任选类型的土地中任选 1 种，有种，有 3 种选法；种选法；第第 4 步，最后考虑步，最后考虑 D 种小麦，只剩下种小麦，只剩下 1 种类型种类型的土地，因此只有的土地，因此只有 1 种选法种选法.第第 1 步，先

11、考虑步，先考虑 A 种小麦，可在种小麦，可在 4 种不同类型种不同类型的土地中任选的土地中任选 1 种，有种，有4 种选法；种选法；17例例5 由数字由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个可以组成多少个 3 位数位数(各位上的数字可以重复各位上的数字可以重复)？解根据分步计数原理，解根据分步计数原理，组成不同的组成不同的 3 位数的个数共有位数的个数共有555125 (个个). 百位 十位 个位第一步第一步 第二步第二步 第三步第三步 5 5 518例例6 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘个拨号盘,每个拨号盘上有从每个拨号盘上有从0到到9共共10个数字个数字,这这4个拨号盘可以组成多少个

12、四位数字的号码个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 本题的本题的特点特点是是数字可以重复使用，数字可以重复使用，例如例如00000000，11111111，12121212等等，与分步计数原理比较，这里完成每等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数一步的方法数 m=10m=10，有，有n=4n=4个步骤个步骤, ,结果是总个数结果是总个数N=10101010=104 解解：由于号码锁的每个拨号盘有：由于号码锁的每个拨号盘有0到到9这这10个数字，每个个数字，每个拨号盘的数字有拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，种取法。根据分步计数原理，4个拨个拨号盘上各取号盘上各取1数字组成

13、的个数是数字组成的个数是 答：可以组成答：可以组成10000个四位数字号码。个四位数字号码。N=104 。 典例分析典例分析19例例7 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上名分别上白白班和晚班，有多少种不同的班和晚班，有多少种不同的选法？选法？解解：从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上名分别上白白班和晚班，班和晚班，可以看成是经过先选可以看成是经过先选1名上名上白白班，再选班，再选1名上名上晚班这两个步骤完成。先选晚班这两个步骤完成。先选1名上名上白白班，共有班，共有3种选法；种选法；上白班的工人选定后上白班的工人选定后再再选选1名上晚名上晚班，上晚班的工人有班

14、，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数种选法，根据分步计数原理原理,所求的不同的选法数是所求的不同的选法数是 答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。 典例分析典例分析20白白班班 晚班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法相应的排法不同排法如下图所示不同排法如下图所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙白白班班 晚班晚班21例例8 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不本不同的体育书。同的体育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？）从书架上任取一本书，有多

15、少种取法？ （2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有多有多少种不同的取法少种不同的取法? 注意区别注意区别“分类分类”与与“分分步步” 典例分析典例分析 22解解 : (1)从第从第1层任取一本层任取一本,有有4种取法种取法,从第从第2层任取一本层任取一本,有有3种取法种取法,从第从第3层任取一本层任取一本,有有2种取法种取法,共有共有 4+3+2=9种取法。种取法。答：从书架上任意取一本书，有答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。种不同的取法。(2) 从书架的从书架的1 、 2 、 3层各取一本书层各取一本书,需要分三步完成需要分三步完成, 第第1步步,从第从第

16、1层取层取1本书本书,有有4种取法种取法,第第2步步,从第从第2层取层取1本书本书,有有3种取法种取法,第第3步步, 从第从第3层取层取1本书本书,有有2种取法种取法.由分步计数由分步计数原理知原理知,共有共有 432=24种取法。种取法。答：从书架上的第答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有层各取一本书，有24种不同的取种不同的取法。法。分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步分步时做到不缺步232. 四名四名重本生重本生各从各从A、B、 C三位三位教师教师中选一位作中选一位作自己的导师，共有自己的导师，共有_种选法；三名种选法；三名教师教师各从各从四名四名重本生重本生中

17、选一位作自己的学生，共有中选一位作自己的学生，共有_种种选法。选法。43 1.教学楼共有教学楼共有3处楼梯口处楼梯口,问从问从1楼到楼到5楼共有多少楼共有多少种不同的走法种不同的走法?答：答： 3333=34=81（种）（种） 34 变式训练变式训练242. 四名四名重本生重本生各从各从A、B、 C三位三位教师教师中选一位作中选一位作自己的导师，共有自己的导师，共有_种选法；三名种选法；三名教师教师各从各从四名四名重本生重本生中选一位作自己的学生，共有中选一位作自己的学生，共有_种种选法。选法。43 1.诸城一中勤学楼诸城一中勤学楼楼共有楼共有3处楼梯口处楼梯口,问从问从1楼到楼到5楼共有多少

18、种不同的走法楼共有多少种不同的走法?答：答： 3333=34=81（种）（种） 34 变式训练变式训练25 1 一件工作可以用两种方法完成。有一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种人会用第一种方法完成，另有方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？人来完成这件工作，共有多少种选法？2乘积乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展开后共有项？展开后共有项？ 4 + 5 = 93、把四封不同的信任意投入三个信箱中、把四封不同的信任意投入三

19、个信箱中,不同投法种数不同投法种数是是( ) A. 12 B.64 C.81 D.74、火车上有、火车上有10名乘客，沿途有名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的个车站，乘客下车的可能方式有可能方式有 （ ）种）种A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对以上都不对CA 练习巩固练习巩固26例例6 6 甲班有三好学生甲班有三好学生 8 人，乙班有三好学生人，乙班有三好学生 6 人，丙班有三人，丙班有三好学生好学生9人：人： （1 1）由这三个班中任选）由这三个班中任选 1 1 名三好学生，出席三好学生表名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？彰会，有多少种不同的选法？ （

20、2 2）由这三个班中各选）由这三个班中各选 1 1 名三好学生，出席三好学生表名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？彰会，有多少种不同的选法？解解(1) 依分类计数原理，不同的选法种数是依分类计数原理，不同的选法种数是N86923； (2) 依分步计数原理，不同的选法种数是依分步计数原理，不同的选法种数是N86943227两个原理的共同点与不同点两个原理的共同点与不同点.(1)共同点：共同点：(2)不同点：不同点：都是研究都是研究“完成一件事，共有多少种不同完成一件事，共有多少种不同的方法的方法”；分类计数原理分类计数原理中的中的 n 类办法相互独立，且每类办法里类办法相互独立，且每类办法里的每种方法都可独立完成这件事；的每种方法都可独立完成这件事； 分步计数原理分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能中的每个步骤互相依存，每一步都不能独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成算完成.28分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理两个原理的区别与联系两个原理的区别与联系29教材教材 P 128 习题 1，2，3，4，5 30部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！