控制系统数学模型

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1、第第1 1章章 控制系统数学模型控制系统数学模型本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。本章首先介绍控制系统的数学模型。本章内容为：本章内容为：1 1、状态空间表达式、状态空间表达式2、由微分方程求出系统状态空间表达式、由微分方程求出系统状态空间表达式3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、离散系统的数学模型、离散系统的数学模型5、线性变换、线性变换6、组合系统的数学描述、组

2、合系统的数学描述7、利用、利用MATLAB进行模型之间的变换进行模型之间的变换1.1 1.1 状态空间表达式状态空间表达式1.1.1 状态、状态变量和状态空间状态、状态变量和状态空间状态状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量状态变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻在任意初始时刻 的值以及的值以及 的系统输入，便能的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻够完整地

3、确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择的状态。（状态变量的选择可以不同）可以不同）状态空间状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。性空间，称为状态空间。例例：如下图所示电路，：如下图所示电路， 为输入量，为输入量， 为为输出量。输出量。建立方程：建立方程：初始条件：初始条件： 和和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量组状态变量1.1.2 状态空间表达式状态空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写

4、成矩阵形式：该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。为系统动态方程，或称系统方程。设：设：则可以写成状态空间表达式：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：推广到一般形式：如果矩阵如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样中的所有元素都是实常数时，则

5、称这样的系统为线性定常（的系统为线性定常（LTI，即：，即：Linear Time-Invariant）系统。系统。如果这些元素中有些是时间如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变的函数，则称系统为线性时变系统。系统。严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。，则称为非线性定常系统。1.1.3 状态变量的选取状态变量的选取（1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量

6、选取的非惟一性）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是惟一的）系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为则其状态方程为输出方程为：输出方程为：1.1.4 状态空间表达式建立的举例状态空间表达式建立的举例例例1-11-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块质量块 m 的重量已经和弹簧的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律即：即：选择状态变量选择状态变量则：则：机械系统的系统方程为机械系统的系统方程为该系统的状态

7、图如下该系统的状态图如下例例1-21-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为电枢回路的电压方程为系统运动方程式为系统运动方程式为（式中，（式中， 为电动势常数；为电动势常数； 为转矩常数；为转矩常数； 为为折合到电动机轴上的转动惯量；折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）性摩擦系数。）可选择电枢电流可选择电枢电流 和角速度和角速度 为状态变量，电动为状态变量，电动机的电枢电压机的电枢电压 为输入量，角速度为输入量，角速度 为输出量。为输出量。状态空间表达式状态空间表达式状态图

8、如下：状态图如下：例例1-31-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。 单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。单级倒立摆系统是控制理论应用的一个典型的对象模型。设小球的重心坐标为：设小球的重心坐标为：则则在水平方向，应用牛顿第二定律：在水平方向，应用牛顿第二定律：转动方向的力矩平衡方程式：转动方向的力矩平衡方程式：而有：而有：线性化：当线性化：当 和和 较小时较小时 ，有，有化简后，得化简后，得求解得：求解得：选择状态变量选择状态变量 ， ， ， 为系统输入，为系统输入， 为系统输出为系统输出状态图为状态图为1.2 1.2 由微分方程求状态空间

9、表达式由微分方程求状态空间表达式一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。这里分两种情况：这里分两种情况：1、微分方程中不含输入信号导数项，（即、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容）中的内容）2、微分方程中含有输入信号导数项，（即、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）中的内容）1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项微分方程中不含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为首先考察三阶系统，

10、其微分方程为选取状态变量选取状态变量则有则有写成矩阵形式写成矩阵形式状态图如下：状态图如下：一般情况下，一般情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：选择状态变量如下：选择状态变量如下：写成矩阵形式：写成矩阵形式：系统的状态图如下：系统的状态图如下：1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为首先考察三阶系统，其微分方程为（一）待定系数法（一）待定系数法选择状态变量：选择状态变量：其中，待定系数为：其中，待定系数为：于是于是写成矩阵形式写成矩阵形式系统的状态图系统的状态图一般情况下，一般情况下，n 阶微分方程为：阶微分方程为：选择选择 n 个

11、状态变量为个状态变量为系统方程为系统方程为系统状态图如下系统状态图如下（二）辅助变量法（二）辅助变量法设设 n 阶微分方程为：阶微分方程为：Laplace变换，求传递函数变换，求传递函数引入辅助变量引入辅助变量 z返回到微分方程形式：返回到微分方程形式：以及以及选择状态变量如下：选择状态变量如下：写成矩阵形式写成矩阵形式注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。例例1-41-4 已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。试求系统的状态空间表达式。解解 （1）待定系数法）待定系数法选择状态变量如下选择状

12、态变量如下其中其中于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为（2）辅助变量法）辅助变量法引入辅助变量引入辅助变量z选择状态变量选择状态变量于是系统的状态空间表达式为于是系统的状态空间表达式为1.3 1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数传递函数系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。1.3.1 传递函数传递函数单入单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为单出线性定常系统的状态空间表达式为在初始松弛时，求在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简变换，并且化简状态

13、变量对输入量状态变量对输入量(输入到状态输入到状态)的传递函数的传递函数输出量对输入量输出量对输入量(输入到输出输入到输出)的传递函数（即：传递函数）的传递函数（即：传递函数）例例1-51-5 系统状态方程式为系统状态方程式为求系统传递函数。求系统传递函数。解解：1.3.2 传递函数矩阵传递函数矩阵状态空间表达式为状态空间表达式为进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换如果如果 存存在，则在，则如果如果 ，则，则状态变量对输入向量状态变量对输入向量(输入到状态输入到状态)的传递函数矩阵：的传递函数矩阵：而而输出对输入向量输出对输入向量(输入到输出输入到输出)的传递函数矩阵：的传递函数矩阵：其结构为其结

14、构为式中，式中， 表示只有第表示只有第 j 个输入作用时，第个输入作用时，第 i 个输出量个输出量 对第对第 j 个输入量个输入量 的传递函数。的传递函数。例例1-71-7 线性定常系统状态空间表达式为线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。求系统的传递函数矩阵。解解1.3.3 正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）正则（严格正则）有理传递函数（矩阵）如果当如果当 时，时， 是有限常量，则称有理函数是有限常量，则称有理函数 是正则的。若是正则的。若 ，则称，则称 是严格正则是严格正则的。的。非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因非正则传递函数描述的系统在实际的控制工

15、程中是不能应用的，因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器为非正则系统，假如输入信号带有高频污染为非正则系统，假如输入信号带有高频污染经过微分器输出经过微分器输出可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变倍，信噪比变得很小。得很小。1.3.4 闭环系统传递函数矩阵闭环系统传递函数矩阵于是闭环系统的传递矩阵为于是闭环系统的传递矩阵为或或1.3.5 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的

16、比较传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述，输出间的关系描述，非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用。常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表

17、达式；）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入多出系统的描述。多出系统的描述。5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。 综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述

18、各有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。1.4 1.4 离散系统的数学描述离散系统的数学描述1.4.1 状态空间表达式状态空间表达式首先，考察三阶差分方程首先，考察三阶差分方程1. 差分方程中不含有输入量差分项差分方程中不含有输入量差分项选取状态变量选取状态变量写成矩阵形式写成矩阵形式可以表示为可以表示为其中其中输出方程输出方程或者或者其中其中推广到推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统阶线性定常差分方程所描述的系统选取状态变量选取状态变量 ， ， ，系统状态方程系统状态方程输出方程输出方程2. 差分方程中含有输入量差分项差分方程中含有输入量差分项

19、先考察先考察3阶线性定常差分方程阶线性定常差分方程选择状态变量选择状态变量待定系数为：待定系数为：系统状态方程为系统状态方程为即：即：输出方程为输出方程为即：即：多输入多输入-多输出线性时变离散系统状态空间表达式多输出线性时变离散系统状态空间表达式当当 、 、 和和 的诸元的诸元素与时刻素与时刻 无关时，即得线性定常离散系统状态空间表达无关时，即得线性定常离散系统状态空间表达式式 1.4.2 脉冲传递函数（矩阵）脉冲传递函数（矩阵）对线性定常离散系统状态空间表达式进行对线性定常离散系统状态空间表达式进行 z 变换变换如果如果 存存在，则在，则如果初始松弛，则如果初始松弛，则其中，其中， 为系统

20、状态对输入量的脉冲为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵传递函数矩阵 系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵例例1-91-9 已知线性定常离散系统方程为已知线性定常离散系统方程为求其脉冲传递函数矩阵求其脉冲传递函数矩阵解解对于对于SISO线性定常离散系统线性定常离散系统系统脉冲传递函数为系统脉冲传递函数为1.5 1.5 线性变换线性变换 我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。则得到的状态空间表达式也不相同。 由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们

21、之间必然存在由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便于求解状态方程。1.5.1 等价系统方程等价系统方程1. 线性定常系统线性定常系统（1） 为为n 维状态向量；维状态向量； 为为r 维输入向量；维输入向量； 为为m维输出向量；维输出向量； 、 、 、 为相应维数的矩阵。为相应维数的矩阵。引入非奇异变换矩阵引入非奇异变换矩阵P或者或者代入方程（代入方程（1）其中其中于是，系统状态方程变为于是

22、，系统状态方程变为（2）方程（方程（1）与方程（）与方程（2）互为等价方程）互为等价方程2. 线性时变系统线性时变系统（3）引入变换矩阵引入变换矩阵或者或者对上式求导并代入对上式求导并代入可以得到可以得到又由又由可以得到可以得到（4）方程（方程（3）与方程（）与方程（4）互为等价方程）互为等价方程1.5.2 线性变换的基本性质线性变换的基本性质1. 线性变换不改变系统的特征值线性变换不改变系统的特征值线性定常系统线性定常系统系统的特征方程为系统的特征方程为等价系统的特征方程为等价系统的特征方程为可见线性变换不改变系统的特征值可见线性变换不改变系统的特征值2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵线

23、性变换不改变系统的传递函数矩阵时的传递函数矩阵时的传递函数矩阵可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变1.5.3 化系数矩阵化系数矩阵 A 为标准形为标准形所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形所谓标准形是指：对角形、约当形、模态形设设 是是 矩阵矩阵 A 的特征值，如果存在一个的特征值，如果存在一个n 维非零向量维非零向量 使使 或或成立，则称成立，则称 为为 A 的对应于特征值的对应于特征值 的特征的特征向量向量 而而1. 化矩阵化矩阵 A 为对角阵为对角阵若若n 个特征值互异，则令个特征值互异，则令例例1-101-10 将矩阵将矩阵 化化为

24、对角阵为对角阵解解解出解出变换矩阵变换矩阵如果矩阵如果矩阵 A 具有这样形式具有这样形式范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵变换矩阵变换矩阵2. 化矩阵化矩阵 A 为约当形为约当形如果矩阵如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,这时不能化为对角阵，只能化为约当形。这时不能化为对角阵，只能化为约当形。确定变换矩阵确定变换矩阵可以得到：可以得到：变换矩阵为变换矩阵为例例1-121-12 化矩阵化矩阵 为标准为标准形矩阵形矩阵解解得出得出求二重特征根对应的特征向量求二重特征根对应的特征向量得到得到而由而由得到得到求特征值求特征值 对应的特征向对应的特征向量

25、量得到得到因此因此设特征值为设特征值为当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵当特征值为共轭复数时，可以将矩阵化为模态阵3. 化矩阵化矩阵 A 为模态阵为模态阵在此情况下，在此情况下， A 的模态形为的模态形为设设 为对应于为对应于 的特征向的特征向量，则量，则令令则则变换矩阵变换矩阵例例1-131-13 将将 化为模化为模态形态形解解特征值为特征值为解得解得因此因此1.6 1.6 组合系统的数学描述组合系统的数学描述 工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。连接而成的。这样的系统称为组合系统

26、。 组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等反馈等3种连接方式构成的。种连接方式构成的。 下面以两个子系统下面以两个子系统 和和 构成的组合系统进行介绍。构成的组合系统进行介绍。的系统方程为的系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩阵为的系统方程为的系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩阵为1.6.1 并联连接并联连接系统方程系统方程传递函数矩阵传递函数矩阵1.6.2 串联连接串联连接串连组合后系统方程串连组合后系统方程传递函数矩阵传递函数矩阵所以所以1.6.3 反馈连接反馈连接组合后系统方程为组合后系统方程为传递函数矩阵为传递函数矩

27、阵为或或（1-125）（1-126） 应当指出，在反馈连接的组合系统中，应当指出，在反馈连接的组合系统中，或或 存在的条件是至关重要的。否则存在的条件是至关重要的。否则反馈系统对于反馈系统对于某些输入就没有一个满足式（某些输入就没有一个满足式（1-125）或式（）或式（1-126）的输出。就这）的输出。就这个意义来说，反馈连接就变得无意义了。个意义来说，反馈连接就变得无意义了。1.7 1.7 利用利用MATLAB进行模型转换进行模型转换1.7.1 传递函数与状态空间表达式之间的转换传递函数与状态空间表达式之间的转换1. 连续系统状态空间表达式连续系统状态空间表达式 MATLAB是当今世界上最优

28、秀的科技应用软件之一，它以强大是当今世界上最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算能力和可视化功能，简单易用的编程语言以及开放式的的科学计算能力和可视化功能，简单易用的编程语言以及开放式的编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域编程环境等一些显著的优点，使得它在当今许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和中成为计算机辅助分析和设计、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显首选平台。在本书中，用它作为系统分析和设计的软件平台，更显示出独特的优势。示出独特的优势。 本节利用本节利用MATLA

29、B实现数学模型的转换。实现数学模型的转换。 可以用可以用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为式为 sys=ss(A,B,C,D)，其中，其中A，B，C，D为描述线性连续系为描述线性连续系统的矩阵。统的矩阵。 当当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令命令sys=ss(sys1)，将其转换成为状态空间形式。也可以用命，将其转换成为状态空间形式。也可以用命令令sys=ss(sys1,min)计算出系统计算出系统sys的最小实现。的最小实现。例例1-151-15 控制系统微分方程为控

30、制系统微分方程为求其状态空间表达式。求其状态空间表达式。解解可以先将其转换成传递函数可以先将其转换成传递函数 输入下列命令输入下列命令语句执行结果为语句执行结果为这个结果表示，该系统的状态空间表达式为这个结果表示，该系统的状态空间表达式为注意，在输入命令中，注意，在输入命令中，sys=ss(G)也可以改用也可以改用A,B,C,D=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和，在本例中其作用和sys=ss(G)近近似，也可以计算出矩阵似，也可以计算出矩阵A、B、C、D。2. 离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式为离散系统的状态空间表达式为 和连续系统状态空间

31、表达式的输入方法相类似，如果要输入和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似，如果要输入离散系统的状态空间表达式，首先需要输入矩阵离散系统的状态空间表达式，首先需要输入矩阵G、H、C、d，然后输入语句然后输入语句 ，即可将其输入到，即可将其输入到MATLAB的的workspace中，并且用变量名来表示这个离散系统，中，并且用变量名来表示这个离散系统，其中其中T为采样时间。如果为采样时间。如果Gyu表示一个以脉冲传递函数描述的离散表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统，也可以用系统，也可以用ss(Gyu )命令，将脉冲传递函数模型转换成状态命令，将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。空间表达式。例

32、例1-161-16 假设某离散系统的脉冲传递函数为假设某离散系统的脉冲传递函数为采样周期为采样周期为 ，将其输入到，将其输入到MATLAB的的workspace中，中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。转换成状态空间表达式。 解解 输入下列语句输入下列语句语句执行的结果为语句执行的结果为再输入语句再输入语句 ，绘制出零、极点分布图如，绘制出零、极点分布图如下下在执行完上述语句后，在执行完上述语句后，Gyu已经存在于已经存在于MATLAB的的workspace中，这时再执行语句中，这时再执行语句执

33、行结果为执行结果为 结果表示，离散系统的状态空间表达式为结果表示，离散系统的状态空间表达式为1.7.2 求传递函数矩阵求传递函数矩阵 在已知线性定常系统中的在已知线性定常系统中的A、B、C和和D矩阵之后，则该矩阵之后，则该系统的传递函数矩阵可以按下式求出系统的传递函数矩阵可以按下式求出例例1-171-17 已知系统状态方程为已知系统状态方程为输入以下语句输入以下语句 解解 其中其中inv( )函数是求矩阵的逆矩阵，而函数是求矩阵的逆矩阵，而simple( )函数是函数是对符号运算结果进行简化。对符号运算结果进行简化。 执行结果如下执行结果如下这表示这表示1.7.3. 线性变换线性变换1. 化为

34、对角矩阵化为对角矩阵 函数函数eig( )可以计算出矩阵可以计算出矩阵A的特征值以及将的特征值以及将A阵转换成对角阵的阵转换成对角阵的线性变换矩阵。其语句格式为线性变换矩阵。其语句格式为Q , D=eig(A)，则，则D为对角阵并为对角阵并且对角线上各元素为矩阵且对角线上各元素为矩阵A的特征值，满足的特征值，满足 ，因，因为为 即：即： 。例例1-181-18 线性控制系统的状态方程为线性控制系统的状态方程为 试作线性变换试作线性变换 , 要求变换后系统矩阵要求变换后系统矩阵A为对角阵。为对角阵。解解先求出系统矩阵的特征值，先求出系统矩阵的特征值，Q阵可以选择为由特征值构成的阵可以选择为由特征

35、值构成的范德蒙特矩阵。范德蒙特矩阵。输入语句输入语句可以求出可以求出A阵的特征值为阵的特征值为 1、2和和3。 因此因此 输入以下语句输入以下语句执行结果如下执行结果如下 由以上计算数据可得系统经过线性变换后的方程为由以上计算数据可得系统经过线性变换后的方程为 也可以输入语句也可以输入语句运行结果为运行结果为 再计算线性变换矩阵再计算线性变换矩阵P，并且验证结果如下，并且验证结果如下 可见，两种线性变换虽然不同，却都可以将可见，两种线性变换虽然不同，却都可以将A阵转换为对角阵阵转换为对角阵2. 化为约当矩阵化为约当矩阵 在在MATLAB中用函数命令中用函数命令jordan( )来求矩阵的约当标

36、准形。其来求矩阵的约当标准形。其命令格式为：命令格式为：Q , J=jordan(A)。 输入参量输入参量A是系数矩阵，输出是系数矩阵，输出参量参量J是矩阵是矩阵A 的约当标准形矩阵，而的约当标准形矩阵，而 就是线性变就是线性变换矩阵，满足换矩阵，满足 。例例1-191-19 将将 化为标准形矩阵。化为标准形矩阵。解解首先输入语句首先输入语句 运行结果为运行结果为可见，不满秩，即矩阵可见，不满秩，即矩阵A的特征值中有重特征值的特征值中有重特征值,并且并且A的独立特的独立特征向量的个数小于征向量的个数小于n。 因此输入语句因此输入语句语句执行结果为语句执行结果为计算结果表明，矩阵计算结果表明，矩阵A的约当阵为的约当阵为 。 我们验证如下我们验证如下 执行结果为执行结果为所计算出的结果表明，满足所计算出的结果表明，满足 补充例题补充例题: 系统如图所示，初始状态松弛，其中系统如图所示，初始状态松弛，其中 、 为输为输入，入， 为输出。为输出。 、 、 、 、。请建立系统的状态空间表达式。请建立系统的状态空间表达式。第第1 1章章 结束结束