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1、第四章第四章 系统稳定性及其李雅普诺夫稳定系统稳定性及其李雅普诺夫稳定 41 稳定性一般概念稳定性一般概念 n对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。从直观在实际应用中是很难有效地发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消衡位置，如果该系统是稳定的，
2、那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置原来的平衡位置。n系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。 8/13/2024现代控制理论基础42 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 421 系统的平衡状态系统的平衡状态 8/13/2024现代控制理论基础8/13/2024现代控制理论基础422 李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定 8/13/2024现代控制理论基础n设Xe为系统的一个平衡点，如果给定一个以X
3、e为球心，以为半径的n维球域S()，总能找到一个同样以Xe为球心，（，t0）为半径的n维球域S()，使得从S()球域出发的任意一条系统状态轨迹(t；X0，t0)在tt0的所有时间内，都不会跑出S()球域，则称系统的平衡状态Xe是李雅普诺夫稳定的(Lyapunov Stability)。 n一般来说，的大小不但与有关，而且与系统的初始时间t0有关。当仅与有关时，称Xe是一致稳定的平衡状态。 8/13/2024现代控制理论基础n进一步的，如果Xe不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t无限增加时，从S()球域出发的任一条状态轨迹(t；X0，t0)都最终收敛于球心平衡点Xe，那么称Xe是渐进稳定
4、的(Asymptotic Stability)。n更进一步，如果从S(),即整个系统状态空间的任一点出发的任一条状态轨迹(t；X0，t0)，当t时，都收敛到平衡点Xe，那么称Xe是大范围渐进稳定的。很明显，这时的Xe是系统的唯一的平衡点。n反之，对于给定S()，不论0取得多么小，从S()球域出发的状态轨迹(t；X0，t0)，至少有一条跑出S()球域，那么称平衡点Xe是不稳定的。 8/13/2024现代控制理论基础李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定 图示，图示， 间接间接/ /直接法定义直接法定义8/13/2024现代控制理论基础43 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法） 在讨论系统状
5、态稳定性（内部稳定）时，可在讨论系统状态稳定性（内部稳定）时，可以不考虑系统的输入结构和输入信号以不考虑系统的输入结构和输入信号u，只只从系统的齐次状态方程或矩阵从系统的齐次状态方程或矩阵A出发。出发。 8/13/2024现代控制理论基础矩阵矩阵A的特征根小于零的特征根小于零=系统状态稳定系统状态稳定 8/13/2024现代控制理论基础8/13/2024现代控制理论基础8/13/2024现代控制理论基础44 李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法） n李雅普诺夫第二法不必求解系统的状态方李雅普诺夫第二法不必求解系统的状态方程，而是通过一个系统的程，而是通过一个系统的能量函数能量函数
6、来直接来直接判断系统的稳定性，所以又称直接法。它判断系统的稳定性，所以又称直接法。它不但适合线性定常系统，而且适用于非线不但适合线性定常系统，而且适用于非线性和时变的系统。性和时变的系统。 8/13/2024现代控制理论基础441 标量函数及其符号标量函数及其符号n设V(x)是定义在n维空间Rn上的标量函数，且当X=0时，V(x)=0，而对其余XRn，如果：1.V(x)0，则称V(x)是正定的。 2.V(x)0，则称V(x)是半正定的（非负定）。 3.V(x)0代入李雅普诺夫方程，得：8/13/2024现代控制理论基础参数优化问题(续2)n解得：n大于零n P0 系统稳定 n 是系统的一个李雅普诺夫函数n8/13/2024现代控制理论基础参数优化问题(续3)n统性能指标J为:n由于系统在Xe=0处是大范围渐进稳定的，所以X()=0 ，所以:8/13/2024现代控制理论基础参数优化问题(续4)8/13/2024现代控制理论基础附加例子8/13/2024现代控制理论基础附加例子（续）8/13/2024现代控制理论基础
