材料力学答案第三版单辉祖

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1、.第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题 2-1 图解：各杆的轴力图如图 2-1 所示。图 2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图 a 与 b 所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为 q。(a)解：由图 2-2a(1)可知，轴力图如图 2-2a(2)所示，题 2-2 图FN(x)2qaqx.FN,max2qa(b)解：由图 2-2b(2)可知，轴力图如图 2-2b(2)所示，图 2-2aFRqaFN(x1)FRqaFN(x2)FRq(x2a)2qaqx2FN,maxqa图 2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积 A=500mm ，载荷 F=5

2、0kN。试求图示斜截2面 m-m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题 2-3 图解：该拉杆横截面上的正应力为F50103N 1.00108Pa 100MPa62A50010m斜截面 m-m 的方位角 50 ，故有.cos2 100MPacos2(50)41.3MPasin250MPasin(100)49.2MPa2杆内的最大正应力与最大切应力分别为max 100MPamax50MPa22-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量 E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料） 。题

3、2-5解：由题图可以近似确定所求各量。该材料属于塑性材料。220106PaE 220109Pa 220GPa0.001p220MPa,s 240MPab440MPa,29.7%2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题 2-6 图所示。若杆径 d =10mm，杆长l =200mm，杆端承受轴向拉力 F = 20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。.题 2-6 图F420103N解： 2.55108Pa 255MPa22A0.010 m查上述 曲线，知此时的轴向应变为0.00390.39%轴向变形为拉力卸去后，有故残留轴向变形为l l (0.200m)0.00397.8104m 0

4、.78mme0.00364，p0.00026l lp(0.200m)0.000265.2105m0.052mm2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F 作用。已知载荷 F =32kN，板宽 b =100mm，板厚 15mm，孔径 d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中） 。题 2-9 图解：根据查应力集中因数曲线,得根据得d/b0.020m/(0.100m)0.2K 2.42F，K maxn(bd)n.KF2.4232103Nmax Kn 6.45107Pa 64.5MPa2(bd)(0.1000.020)0.015m2-10图示板件， 承受轴向载荷 F 作用。 已知载荷 F=

5、36kN， 板宽 b =90mm， b =60mm，12板厚=10mm，孔径 d =10mm，圆角半径 R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中） 。题 2-10 图解：1.在圆孔处根据查圆孔应力集中因数曲线，得故有d0.010m0.1111b10.090mK12.6K1F2.636103N8max K1n11.1710 Pa 117MPa2(b1d)(0.0900.010)0.010m2在圆角处根据Db10.090m1.5db20.060mRR0.012m0.2db20.060m查圆角应力集中因数曲线，得故有3. 结论K21.74max K2n2K2F1.7436103N8

6、1.0410 Pa 104MPab20.0600.010m2max117MPa（在圆孔边缘处）图示桁架，承受铅垂载荷F 作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为2-14.，试确定载荷 F 的许用值F。.题 2-14 图解：先后以节点 C 与 B 为研究对象，求得各杆的轴力分别为FN12FFN2 FN3 F根据强度条件，要求由此得2FAFA22-15图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为。若在节点 B 和 C 的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点 A 的最佳位置） 。题 2-15 图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点 B 的平

7、衡条件求得2.求重量最轻的值由强度条件得FN1F， FN2 FctansinA1FF，A2ctansin.结构的总体积为由得V A1l1 A2l2FlFlFl2ctan (ctan)sin cos sin2dV0d3cos210由此得使结构体积最小或重量最轻的值为opt54442-16图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为。若节点 A 和 C 间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。题 2-16 图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有2.求的最佳值由强度条件可得结构总体积为由得由此得的最佳值为FN1FN2F2sinA1 A2F2sinV 2A1l1FlFlsi

8、n 2cossin2dV0dcos2 0opt45.2-17图示杆件，承受轴向载荷F 作用。已知许用应力120MPa，许用切应力90MPa，许用挤压应力bs240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径 d、墩头直径 D 及其高度 h 间的合理比值。题 2-17 图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F 的许用值分别为理想的情况下，d2Ft4(D2d2)Fbbs4Fs dh(a)(b)(c)FtFbFs在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b） ，分别得h d4于是得由此得D 1dbsD:h:d 1:1bs4D:h:d 1.225:0.333:112122-18图示摇臂，承受载荷 F

9、与 F 作用。已知载荷 F =50kN，F =35.4kN，许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=240MPa。试确定轴销 B 的直径 d。.题 2-18 图解：1. 求轴销处的支反力由平衡方程Fx0与Fy0，分别得由此得轴销处的总支反力为FBx F1F2cos4525kNFByF2sin4525kNFB252252kN35.4kN2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）得 Fs2FBA d22FB235.4103d m0.015m610010由轴销的挤压强度条件得bsFbFBbsddFB35.4103d m0.01475mbs0.010240106结论：取轴销直径d 0.

10、015m15mm。2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN 作用，试求接头的剪切与挤压应力。解：剪应力与挤压应力分别为题 2-19 图50103N5 MPa(0.100m)(0.100m)50103Nbs12.5 MPa(0.040m)(0.100m).2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力 =160MPa，许用切应力 = 120 MPa，许用挤压应力bs = 340 MPa，载荷 F = 230 kN。试校核接头的强度。解：最大拉应力为题 2-20 图230103Nmax153.3 MPa2(0.1700.020)(0.010)(m )最大挤压与剪切应力则分别为23

11、0103Nbs230 MPa5(0.020m)(0.010m)4230103N146.4 MPa5(0.020m)22-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN 作用。已知木杆的截面宽度 b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力 =6MPa，许用挤压应力bs=10MPa，许用切应力=1MPa。试确定钢板的尺寸与 l 以及木杆的高度 h。题 2-21 图解：由拉伸强度条件得由挤压强度条件 Fb(h2)F45103h2m0.030mb0.2506106（a）.得bsFbs2bF45103m0.009m9mm62bbs20.2501010（b）由剪切强度条件得F4

12、5103l m 0.090m 90mm62b20.250110 F2bl取0.009m代入式（a） ，得h(0.03020.009)m0.048m48mm结论：取9mm，l 90mm，h48mm。2-22图示接头，承受轴向载荷F 作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力=160MPa，许用切应力=120MPa，许用挤压应力bs=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题 2-22 图解：1.考虑板件的拉伸强度由图 2-22 所示之轴力图可知，FN1 F， FN23F /41FN1FA1(bd)F (bd)(0.200-0.020)0.015160106N 4.32105N 4

13、32kN2FN23FA24(b2d)44F (b2d)(0.2000.040)0.015160106N 5.12105N512kN33.2.考虑铆钉的剪切强度图 2-22FsF8 Fs4F2A8dF 2d220.0202120106N 3.02105N 302kN3考虑铆钉的挤压强度F4FbFbsbsd4dFbF 4dbs40.0150.020340106N 4.08105N 408kN结论：比较以上四个 F 值，得F302kN2-23图 a 所示钢带 AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷 F 作用。已知载荷 F=6kN，带宽 b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径

14、d=8mm，孔的边距 a=20mm，钢带材料的许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=300MPa，许用拉应力=160MPa。试校核钢带的强度。解：1钢带受力分析题 2-23 图.分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力 Fb等于铆钉剪切面上的剪力， 因此， 各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图 b 所示，挤压力则为F6 103NFb2. 0 103N33孔表面的最大挤压应力为Fb2. 0 103Nbs1. 25 108Pa125MPabsd(0. 002m )( 0. 008

15、m )在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b） ，切应力为Fb2. 0 103N2. 5 107Pa25MPa 2 a2(0. 002m )( 0. 020m )钢带的轴力图如图 c所示。由图b 与 c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面 1-1与 2-2的正应力分别为FN12F2(6 103N)183. 3MPaA13(b2d)3(0.040m2 0. 008m)(0. 002m)FN2F6 103N293. 8MPaA2(bd)(0.040m0. 008m)(0. 002m).第三章 轴向拉压变形3-2一外径 D=60m

16、m、内径d=20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力 F = 200kN 作用。若弹性模量 E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D 及体积改变量V。解：1. 计算D由于故有 FFD， EADEA4FD40.302001030.060DDm22922EAE(D d )8010 (0.060 0.020 ）FD1.79105m0.0179mm2.计算V变形后该杆的体积为故有3Fl20010 0.4003V VV V(2)(12)m (120.3)9E80104.00107m3400mm3VlA(ll) (DD)2(d d)2 Al(1)(1)2V(

17、12)43-4图示螺栓， 拧紧时产生l=0.10mm 的轴向变形。 已知： d = 8.0mm，d = 6.8mm，12d3= 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题 3-4 图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，由此得l lFl1l2l34Fl1l2()(2232)E A1A2A3E d1d2d3.El2101090.10103F N 1.865104N 18.65kNl0.0060.0290.008ll)4(122232)4(2220.0080.00680.007d1d2d32.校核螺

18、栓的强度F4F418.65103N8max25.1410 Pa 514MPaAmind20.00682m2此值虽然超过，但超过的百分数仅为 2.6，在 5以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁架，在节点 A 处承受载荷 F 作用。从试验中测得杆 1 与杆 2 的纵向正应-42= 2.010-4。已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1= A2=200mm2，弹性变分别为1= 4.010 与模量 E1= E2=200GPa。试确定载荷 F 及其方位角之值。题 3-5 图解：1.求各杆轴力FN1 E11A12001094.0104200106N 1.6104N 16kNFN2 E22A2200109

19、2.0104200106N 8103N 8kN2.确定F及之值由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得化简后，成为及FN2sin30Fsin FN1sin300FN1cos30FN2cos30Fcos 0FN1FN22Fsin(a).联立求解方程(a)与(b)，得由此得3(FN1FN2)2Fcos(b)FN1FN2(168)103tan 0.192533(FN1FN2)3(168)10 10.8910.9FN1FN2(168)1034F N 2.1210 N 21.2kN2sin2sin10.893-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为 b1与 b2

20、，弹性模量为 E。试计算板的轴向变形。题 3-6 图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为llFFl dx dx0EA(x)0Eb(x)(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为代入式(a)，于是得b(x)b1b2b1xll b2Fl1Fldx ln0b bEb 21xE(b2b1)b11l3-7图示杆件，长为 l，横截面面积为 A，材料密度为，弹性模量为 E，试求自重下杆端截面 B 的位移。.题 3-7 图解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为该处微段 dy 的轴向变形为于是得截面B的位移为FNgAydygAyEAldy gyEdyCygE0ydy gl22E()3

21、-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。 设沿地桩单位长度的摩擦力为f， 且 f = ky2， 式中， k 为常数。 已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为 E，埋入土中的长度为 l。试求地桩的缩短量。题 3-8 图解：1. 轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡，由此得截面y处的轴力为Fylkl3fdy ky dy 03l2kl3 F3k 3Fl3y2（a）FNy0ky3fdy ky dy 032. 地桩缩短量计算截面 y 处微段 dy 的缩短量为.积分得将式(a)代入上式，于是得d FNdyEAlF dyN0EAkl3kl4y dy 3EA012EAF

22、l4EA3-9图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。题 3-9 图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图 3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为l。图 3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程MA0得由此得由图 3-9 可以看出，可见，根据k的定义，有FNaFN(ab) F(2ab)FN Fy(2ab)l y1 y2a (a b)(2a b)yl(b).于是得FN k l kyyFNFkk3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试计算节点 A 的水平与铅垂位移。题 3

23、-10 图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1 FN2 F （拉力）FN42F （压力）FN30于是得各杆的变形分别为l1l2l4Fl(伸长)EA2F 2l2Fl(伸长)EAEAl30如图 310(1)所示，根据变形l1与l4确定节点 B 的新位置 B,然后，过该点作长为l+l2的垂线， 并过其下端点作水平直线， 与过 A 点的铅垂线相交于 A,此即结构变形后节点A 的新位置。于是可以看出，节点 A 的水平与铅垂位移分别为Ax0Ayl12l4l2Fl2FlFlFl2212EAEAEAEA.图 3-10（b）解：显然，杆 1 与杆 2 的轴力分别为FN1 F （拉力）FN20于是由图

24、 310(2)可以看出，节点 A 的水平与铅垂位移分别为FlEAFlAyl1EAAxl13-11图示桁架 ABC， 在节点 B 承受集中载荷 F 作用。 杆 1 与杆 2 的弹性模量均为 E，横截面面积分别为A1=320mm2与 A2=2 580mm2。 试问在节点 B 和 C 的位置保持不变的条件下，为使节点 B 的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点 A 的最佳位置） 。题 3-11 图解：1.求各杆轴力由图 3-11a得FN1F， FN2 Fctansin.2.求变形和位移由图 3-11b得及3.求的最佳值由dBy/d 0，得由此得图 3-11l1FN1l1F l2Fl2Fl ctan，l

25、2N2 22EA1EA1sin2EA2EA2l1l2Fl22ctan2By()sintanEA1sin2sinA22 (2cos2sin cossin2)2ctancsc2022A1A2sin 2sin 2A1cos3 A2(13cos2)0将A1与A2的已知数据代入并化简，得cos3 12.09375cos2 4.031250解此三次方程，舍去增根，得由此得的最佳值为cos 0.564967opt55.63-12图示桁架，承受载荷 F 作用。设各杆的长度为 l，横截面面积均为 A，材料的应力应变关系为n=B，其中 n 与 B 为由试验测定的已知常数。试求节点C 的铅垂位移。.解：两杆的轴力均

26、为轴向变形则均为于是得节点 C 的铅垂位移为题 3-12 图FNF2cosnFll l l 2Acos BBlFnlCycos2nAnBcosn1n3-13图示结构，梁 BD 为刚体，杆 1、杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同。在梁的中点 C 承受集中载荷 F 作用。已知载荷 F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量 E = 200GPa，梁长 l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题 3-13 图解：1.求各杆轴力由Fx0，得由Fy0，得2求各杆变形FN20FN1FN3F10kN2.l20FN1l101031.000-4l1m5.010 m0.5

27、0mml3EA2001091001063求中点C的位移由图 3-13 易知，图 3-13x l1 0.50mm ()，y l1 0.50mm ()3-14图 a 所示桁架，承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点 B 与 C 间的相对位移B/C。题 3-14 图解：1. 内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1 FN2 FN3 FN4F（拉力）2FN5 F （压力）于是得各杆得变形分别为l1l2l3l4Fl(伸长)2EA.l52. 位移分析F 2l2Fl(缩短)EAEA如图 b 所示，过 d 与 g 分别作杆 2 与杆 3 的平行线，并分别与节点 C 的铅垂线相

28、交于 e与 h，然后，在 de 与 gh 延长线取线段l3与l2，并在其端点 m 与 n 分别作垂线，得交点C ，即为节点 C 的新位置。可以看出，l52FlFl22 FlB/C2CiiC22l32222EAEA2EA3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题 3-15 图 (a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为该桁架的应变能为2FN112212F2l2 2 1iliV(F l2F l)()2EA2EA 2242EA4i13FN1221F， FN2F， FN3F222依据能量守恒定律，图 3-15FV2.最后得2F2l 2

29、 2 1(2 2 1)Fl()()F 2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：i12345FNili2FNiliF0FF2Fllll2lF2l0F2lF2l2 2F2l(3 2 2)F2l于是，依据能量守恒定律，可得2FN(32 2)F2liliV2EA2EAi15FV2(32 2)Fl()EA3-16图示桁架，承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点 B 与 C 间的相对位移B/C。题 3-16 图解：依据题意，列表计算如下：i12FNi2F /22F /2lill2FNiliF2l / 2F2l / 2.3452F /22F /2 Fll2lF2l

30、 / 2F2l / 22F2l(2 2)F2l由表中结果可得依据得2FN(22)F2liliV2EAi12EA5W VB/C(22)Fl()EA3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为 b1与 b2，弹性模量为 E，试用能量法计算板的轴向变形。题 3-17 图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为22lFNFNVdx dx02EA(x)02Eb(x)l(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为b(x)b1b2b1xl将上式代入式（a）,并考虑到FN F,于是得b1F2F2lVdx ln202Eb b2E(b2b1)b1b121xl

31、设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，l或FlV2bFlF2lln222E(b2b1)b1.由此得 l bFlln2E (b2b1)b13-19图示各杆，承受集中载荷 F 或均布载荷 q 作用。各杆各截面的的拉压刚度均为 EA，试求支反力与最大轴力。题 3-19 图(a)解：杆的受力如图 3-19a(1)所示，平衡方程为F 0, FFFxAxFBx0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。AC，CD 与 DB 段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为图 3-19aFN1 FAx,FN2 FAxF,FN3 FAx2Fl 得FAxaFAxFaFAx2Fa0EAEAEAFAxF 0由

32、此得FAx FFBx2F FAx F杆的轴力图如 3-19a(2)所示，最大轴力为.FN,max F(b)解：杆的受力如图 3-19b(1)所示，平衡方程为Fx0, qa FAx FBx0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。AC 与 CB 段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为图 3-19bFN1 FAx,FN2 FAxqxFAxa1aFAxqxdx 0l 0EAEA得qa21 2FAxa0EA2由此得FAxqa43qa4FBxqaFAx杆的轴力图如 3-19b(2)所示，最大轴力为FNmax3qa43-20图示结构，杆 1 与杆 2 的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁 BC

33、 为刚体，载荷 F=20kN，许用拉应力t=160MPa, 许用压应力c=110MPa，试确定各杆的横截面面积。.题 3-20 图解：容易看出，在载荷 F 作用下，杆 2 伸长，杆 1 缩短，且轴向变形相同， 故 FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即FN2 FN1以刚性梁 BC 为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程M 0, FN2aFN1aF2a 0由上述二方程，解得FN2 FN1 F根据强度条件，FN120103NA11.818104m26c11010 PaFN220103NA21.25104m26t16010 Pa取A1 A2182mm23-21图示桁架，承受铅垂载荷 F 作用。设各

34、杆各截面的拉压刚度相同， 试求各杆轴力。题 3-21 图 (a)解：此为一度静不定桁架。设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由Fy0，得FN,BCFN,AB F(a)后取节点A为研究对象，由Fx0和Fy 0依次得到.及FN,AD FN,AG(b)2FN,ADcos45 FN,AB在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）(c)物理关系为lBClABlAD2lADcos45FN,AD2lEA(d)lBCFN,BClEA， lABFN,ABlEA， lADlAG(e)将式(e)代入式(d)，化简后得联解方程(a)，(c)和(d)，得FN,BCFN,AB2FN,AD(

35、d)2 1222，FN,AB，FN,AD FN,AGF（拉）F（压）F（拉）222(b)解：此为一度静不定问题。FN,BC考虑小轮A的平衡，由Fy0，得由此得FN1sin45F 0FN12F在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，l2 0，故有FN20FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22图示桁架，杆 1、杆 2 与杆 3 分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为1=40MPa，2=60MPa，3=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷 F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

36、.题 3-22 图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a 和 b。图 3-22由图 a 可得平衡方程F3x0，FN12FN2Fy0，12FN2FN3F由图 b 得变形协调方程为l1ctan30l2sin30l3根据胡克定律，有lF1N1l1FN1l1， lF lF l1F lF lEE2N2 2N2， l3N3 3N3 1E1A121A3E2A23E2A3E3A333A3将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为15FN132FN28FN3联解方程(a)，(b)和(c )，并代入数据，得FN122.6kN(压)，FN226.1kN（拉） ，FN3146.9kN（拉

37、）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：AFN122.6103m215.65104140106m2565mm2AFN226.1103m2424.3510m2435mm2260106.(a)(b)(c)(d)(c).FN3146.91032A3m 1.224103m21224mm26312010根据题意要求，最后取A1 A22A32450mm23-23图 a 所示支架，由刚体 ABC 并经由铰链 A、杆 1 与杆 2 固定在墙上，刚体在 C点处承受铅垂载荷 F 作用。杆1 与杆 2 的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得

38、C 点的铅垂位移y mm，试确定载荷 F与各杆轴力。题 3-23 图解：1. 求解静不定在载荷 F 作用下，刚体ABC 将绕节点 A 沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图 b 所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程MA0，得FN2F 02由变形图中可以看出，变形协调条件为FN1(a)根据胡克定律，l12l2(b)FN1lF l,l2N2EAEA将上述关系式代入式（b） ，得补充方程为l1(c)FN1 2FN2联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得4F2F(d),FN2552. 由位移y确定载荷 F 与各杆轴力变形后，C 点位移至 C(CCAC)（图 b） ，且直线

39、AC 与 AB 具有相同的角位移，因此，FN1.C 点的总位移为又由于由此得CCACl12l1AB2yl1y将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得F 5EAy4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104N34(10010m)并从而得FN11.5104N,FN27.5103N3-24图示钢杆， 横截面面积 A=2500mm， 弹性模量 E=210GPa， 轴向载荷 F=200kN。2试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a) 间隙=0.6 mm；(b) 间隙=0.3 mm。题 3-24 图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F 作用下，杆右端截面的轴向位移

40、为(200103N)(1.5m)FaF0.57mmEA(210109Pa)(2500106m2)当间隙=0.6 mm 时，由于F，仅在杆 C 端存在支反力，其值则为FCx F 200kN当间隙=0.3 mm 时，由于F，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24 所示。杆的平衡方程为图 3-24.补充方程为由此得F FBxFCx0FaFBx2aEAEAFBxFEA22a962200103N(0.0003m)(21010 Pa)(250010m )47.5kN22(1.5m)而 C 端的支反力则为FCx F FBx200kN47.5kN 152.5kN3-25图示两端固定的等截面杆 AB，杆长为

41、l。在非均匀加热的条件下，距 A 端 x处的温度增量为T TBx2/l2，式中的TB为杆件 B 端的温度增量。 材料的弹性模量与线膨胀系数分别为 E 与l。试求杆件横截面上的应力。题 3-25 图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B 端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长全杆伸长为lTBx2d(lt)lTdx dxl2llTBx22lt0ldx lTBl32求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为由变形协调条件lFFNlFlEAEAlFlt.可得F 3求杆件横截面上的应力EA lTBlEAlTBl33FNFElTBAA3 3-2

42、6图示桁架，杆 BC 的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端 B 与节点G 强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题 3-26 图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断，杆 13 受拉，杆 4 和 5 受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图 3-26a 和 b。根据平衡条件，由图 a 可得由图 b 可得图 3-26FN1 FN2 FN3(a)FN4 FN5， FN3 2FN4cos303FN4(b)变形协调关系为(参看原题图)依据胡克定律，有将式(d)代入式(c)，得补充方程l1l4l3cos60cos30(c)liFN

43、ili(i 15)EA(d).2FN1l2FN43lFN3lEAEA3EA(e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得即FN3(92 3)EA(3 32)EA,FN423l23lFN,BC FN,GD FN,GEFN,CD FN,CE(92 3)EA（拉）23l(3 32)EA（压）23l3-27图 a 所示钢螺栓，其外套一长度为l 的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为 Ab与 At，弹性模量分别为 Eb与 Et，螺栓的螺距为 p。现将螺母旋紧 1/5 圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题 3-27 图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽 l 处旋转

44、 1/5 圈，即旋进=p/5 的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为 FNb，伸长为lb，套管所受压力为 FNt，缩短为lt，则由图 b 与 c 可知，平衡方程为而变形协调方程则为利用胡克定律，得补充方程为FNbFNt0(a)lbltFNblFNtlAbEbAtEt(b)最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b） ，得螺栓与套管所受之力即预紧力为AbEbFN0 FNb FNtl1k式中，.k AbEbAtEt3-28图示组合杆，由直径为 30mm 的钢杆套以外径为 50mm、内径为 30mm 的铜管组成，二者由两

45、个直径为 10mm 的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高 40，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为 Es= 200GPa 与 Ec=100GPa，线膨胀系数分别为ls=12.510-6-1与lc=1610-6-1。题 3-28 图解： 设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为Ts和Tc， 由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为或写成TslsTclclslcTcTs这里，伸长量ls和缩短量lc均设为正值。引入物理关系，得FNslFNcl(lcls)lTEsAsEcAc将静力平衡条件FNs FNc F代入上式，得F EsAsEcAc(lcls)TEsAsEcAc注意到每

46、个铆钉有两个剪切面，故其切应力为由此得 FSFEsAsEcAc(lcls)TA2A2A(EsAs EcAc)2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N20.01022001090.0302100109(0.05020.0302)m25.93107Pa 59.3MPa3-29图示结构，杆1 与杆 2 各截面的拉压刚度均为EA，梁BD 为刚体，试在下列两.种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆 2 的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)若杆 1 的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。题 3-29 图(1)解：如图3-29(1)a 所示，当杆2

47、 未与刚性杆 BD 连接时，下端点位于D，即DD。当杆 2 与刚性杆 BD 连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆 1 的下端点则铅垂位移至C。DDl2，过C作直线 Ce 垂直于杆 1 的轴线， 显然Ce l1， 即代表杆 1 的弹性变形， 同时，即代表杆 2 的弹性变形。 与上述变形相应， 杆 1 受压， 杆 2 受拉， 刚性杆 BD 的受力如图 3-29(1)b所示。图 3-29(1)可以看出，DD2CC即变形协调条件为l2 22l1而补充方程则为或F2l4F1l0EAEAEA0l(2)解：如图 3-29(2)a 所示，当杆 1 未与刚性杆 BD 连接时，由于其温度升高，下端点位F24F1于

48、C，即CCl2lT。当杆1 与刚性杆 BD 连接后，下端点C 铅垂位移至C，而杆2 的下端点 D 则铅垂位移至D。过C作直线 Ce 垂直于直线CC，显然，eCl1即代表杆 1.的弹性变形，同时，DDl2，代表杆 2 的弹性变形。与上述变形相应，杆1 受压，杆 2 受拉，刚性杆 BD 的受力如图 3-29(2)b 所示。图 3-29(2)可以看出，DD2CC故变形协调条件为l2 22l2lT l1而补充方程则为F2lF1 2l 2 22lT lEAEA或F24F14EAlT 03-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为 A，E与，试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用

49、载荷之值，现将杆 3 的设计长度 l 变为l 。试问当为何值时许用载荷最大，其值Fmax为何。题 3-30 图解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图 3-30a 和 b。.图 3-30由图 a 得平衡方程为FN1 FN2，2FN1cos30 FN3 F由图 b 得变形协调条件为(a)依据胡克定律,有l1 l3cos30(b)FNili(i 1,2,3)EA将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为4FN3FN13将方程(b)与方程(a)联解，得34FN1 FN2F， FN3F FN143 343 3li(c)(b)由此得maxFN34FA(43 3)A(43 3)A(43 3)A,

50、F44为了提高F值，可将杆 3 做长，由图 b 得变形协调条件为F l3 l1cos30式中，l3与l1均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到，即由此得4llE3Ell4(1)3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有Fmax2(Acos30)A(13)A.第四章 扭 转4-5一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径 d = 40mm，扭力偶矩 M = 500Nm，切变模量 G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力， 并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为1 DdDdR0()20.5mm，1mm2 2222于是，该圆管横截面上的扭转切应力

51、为T500N81.89410 Pa 189.4MPa2222R020.0205 0.001m依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 189.4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为189.4106rad2.53103rad9G751004-7试证明，在线弹性范围内，且当 R /10 时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过 4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为T22R0设R0/ ，按上述公式计算的扭转切应力为TT 22R0223 (a)按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为极惯性矩为由此得d 2R0， D 2R0IpR 2(D4d4)(2R0)4(2R0)40(4R02)32322T

52、(21)TT(R0)(2R )02Ip2R0(4R02)3(421)max(b)比较式(a)与式(b)，得max3(421)421T(21)2(21)223T当R010时，410210.9548max210(2101).可见，当R0/10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过 4.53。4-8图 a 所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图 b 所示，并可用C1/m表示，式中的 C 与 m 为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题 4-8 图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到ddx根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为

53、C(ddx)1/m由静力学可知，AdAC(d)1/m(m1)/mdxAdAT取径向宽度为d的环形微面积作为dA，即dA2d将式(d)代入式(c)，得2C(ddx)1/md /20(2m1)/mdT由此得(ddx)1/m(3m1)T2Cm(d(3m1)/m2)将式(e)代入式(b)，并注意到 T=M ，最后得扭转切应力公式为1/mM2m3m1(d(3m1)/m2)横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。.(a)(b)(c)(d)(e).图 4-84-9在图 a 所示受扭圆截面轴内， 用横截面 ABC 和 DEF 与径向纵截面 ADFC 切出单元体 ABCDEF（图 b） 。试绘各截面上的应力分

54、布图，并说明该单元体是如何平衡的。题 4-9 图解：单元体 ABCDEF 各截面上的应力分布图如图4-9a 所示。图 4-9根据图 a，不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为1d4TlFx1max(l)222d同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为方向示如图 c。设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1，容易求出Fx24Tld22 ddez13 23根据图 b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为同理，左端面上的合力为方向亦示如图 c。设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey（见图 b） ，由Fz2d/2T008Tcos( )dd Ip23d8T3dFz1.得Fz2eyTIpd /

55、23T2cos ()dd0024eyT 3d3d0.295d48T32同理，Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。根据图 b，还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为Fy3/2d /2T004Tsin()dd Ip23d设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2（见图 b） ，由得Fy3ez2d/23T/22Tcosdd0Ip08ez2T 3d3d0.295d84T32同理，可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为Fy4 Fy1 Fy24T3d方向均示如图 c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。由图 c 可以看得很清楚，该单元体在四对

56、力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。Mx0，Fy(2ez2)Fz2eyFy1(2ez2)Fz1ey4TT022My0，Fz2lFx1(2ez1)8Tl8Tl03d3d4Tl4TlMz0，Fy4lFy3l 3d3d0既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。4-11如图所示，圆轴AB 与套管 CD 用刚性突缘 E 焊接成一体，并在截面A 承受扭力偶矩 M 作用。圆轴的直径 d = 56mm，许用切应力1=80MPa，套管的外径 D = 80mm，壁厚= 6mm，许用切应力2= 40MPa。试求

57、扭力偶矩 M 的许用值。.题 4-11 图解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。1.由圆轴AB求M的许用值由此得M的许用值为max1M116M113Wp1dd310.056380106M1Nm 2.76103Nm 2.76kNm16162由套管CD求M的许用值R0D806mm37mm， 6mm R01022此管不是薄壁圆管。max280 62680.858080由此得M的许用值为M216M22Wp2D3(14)D3(14)20.0803(10.854)40106M2Nm16161.922103Nm1.922kNm可见，扭力偶矩 M 的许用值为MM21.922kNm4-13图示阶梯形轴，由AB

58、 与 BC 两段等截面圆轴组成，并承受集度为m 的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB 与 BC 段的长度 l1与 l2以及直径 d1与 d2。已知轴总长为 l，许用切应力为。题 4-13 图.解：1.轴的强度条件在截面A处的扭矩最大，其值为由该截面的扭转强度条件得Tmax1mlmax1Tmax116mlWp1d13d1316ml(a)BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为由该截面的扭转强度条件得2最轻重量设计轴的总体积为根据极值条件得由此得从而得Tmax2ml2d2316ml216ml22/3216ml2/3V d12(l l2)d2l2()(l l2)()l2444dV0dl

59、2(16ml2/316m2/352/3)() l2033l2( )3/2l 0.465l5(b)3l1l l21( )3/2l 0.535l5d2(16m1/31/331/2316ml)l2( )0.775d15(c)(d)该轴取式(a)(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。4-14一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷 F = 1kN 作用。设弹簧的平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径 d = 7mm，许用切应力= 480MPa，试校核弹簧的强度。解：由于.故需考虑曲率的影响，此时，mD405.7110d78FD(4m2） 81.001030.040(45.712)Nmax3d

60、 (4m3)0.0073(45.713)m23.72108Pa 372MPa结论：max，该弹簧满足强度要求。4-20图示圆锥形薄壁轴 AB，两端承受扭力偶矩 M 作用。设壁厚为，横截面 A 与B 的平均直径分别为 dA与 dB，轴长为 l，切变模量为 G。试证明截面 A 和 B 间的扭转角为A/B2Ml（dAdB)22GdAdB题 4-20 图证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为式中，截面x的极惯性矩为依据得截面A和B间的扭转角为d dA11R0(x)(dABx)(dAcx)2l2cdBdAl13Ip2R02 (dAcx)3(dAcx)324dT(x)4MdxGIpG(dAcx)

61、34MA/BG2Ml112Ml(dAdB)(22)2G (dBdA) dBdAGd2AdBd(dAcx)2M(dAcx)2|l030c(d cx)GcAl.4-21图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。题 4-21 图 (a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设 A 与 B 端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知由Mx0可得即MA MBMAMB2MA2MMA MB M(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图 4-21b。变形协调条件为利用叠加法，得图 4-21bB0(a)BMaM

62、(2a)MB(3a)GIpGIpGIp(b)将式(b)代入式(a)，可得1MBM3.进而求得1MAM（转向与MB相反）3(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到MAMBma2MA和MB的转向与m相反。(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，MB的转向与m相反。变形协调条件为利用叠加法，得到（x从左端向右取）B0(c)BB,mB,MBa0MB(2a)ma22MBam(a x)dxGIpGIp2GIpGIp(d)将式(d)代入式(c)，可得进而求得MBma43ma4MAmaMBMA的转向亦与m相反。4-22图示轴，承受扭力偶矩 M

63、=400Nm 与 M =600Nm 作用。已知许用切应力12=40MPa，单位长度的许用扭转角=0.25( ) / m，切变模量 G = 80GPa。试确定轴径。题 4-22 图解：1.内力分析此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图 4-22a。.利用叠加法，得图 4-22B14000.5006001.250MB2.500GIp将其代入变形协调条件B0，得(6001.2504000.500)Nm2MB220Nm2.500m该轴的扭矩图示如图 4-22b。2.由扭转强度条件求 d由扭矩图易见，Tmax380Nm将其代入扭转强度条件，由此得maxTmax16TmaxWpd3d

64、316Tmax316380m30.0364m36.4mm401063.由扭转刚度条件求 d将最大扭矩值代入得Tmax32TmaxGIpGd4d 432TmaxG432380180m40.0577m 57.7mm801090.25结论：最后确定该轴的直径d 57.7mm。.4-23图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩 M 作用。已知许用切应力为，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与 d2。题 4-23 图解：1. 求解静不定设 A 与 B 端的支反力偶矩分别为MA与 MB，则轴的平衡方程为AC 与 CB 段的扭矩分别为代入式（a） ，得Mx0, MA MB M 0T1 MA，T2 MB(a)T

65、1T2M 0(b)设 AC 与 CB 段的扭转角分别为AC与CB，则变形协调条件为ACCB0(c)利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有代入式（c） ，得补充方程为ACT1a2T a，CB2GIp1GIp2 d T121 T20d24(d)最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d） ，得42d14Md2MT14T ，24d22d14d22d14(e)2. 最轻重量设计从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC 与 CB 段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩 M 作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求由此得TT1，2Wp1Wp2T1Wp1 d1T2Wp2d23.将式（e）代入上式，

66、得并从而得d22d1M8M，T299根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为T1d1d2316T1316M294-24图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F 作用。已知载荷F=750N，轴 1 和轴 2 的直径分别为 d1=12mm 和 d2=15mm，轴长均为 l=500mm，摇臂长度 a =300mm，切变模量 G = 80GPa，试求轴端的扭转角。题 4-24 图解：这是一度静不定问题。变形协调条件为12或12 (a)这里，和分别为刚性摇臂 1 和 2 在接触点处的竖向位移。设二摇臂间的接触力为F2，则轴 1 和 2 承受的扭矩分别为物理关系为aT1 F( )F2a， T2 F2a2T1l

67、T l，22GIp1GIp2(b)1(c)将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得由此得4d2FF242(d14d2).2T2l16Fal167500.3000.500m4GIp2G(d14d2)80109(0.01240.0154)m0.1004 rad5.75 |1|4-26如图所示，圆轴AB 与套管 CD 借刚性突缘 E 焊接成一体，并在突缘E 承受扭力偶矩 M 作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力1=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径 D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力2= 40MPa，切变模量G2= 40GPa。试求扭力偶矩 M 的许用值。题 4-26

68、 图解：1. 解静不定此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为T1T2 M12物理关系为T11l1，T2l22GG1Ip12Ip2将式(c)代入式(b)，并注意到7612D44d4760.8421， Ip232(1)， Ip132得TG1Ip1l22d4243841GlT244T2T20.1676T22Ip21D (1) 33764(10.84214)将方程(a)与(d)联解，得T20.856M， T10.144M2由圆轴的强度条件定M的许用值T1max1W160.144Mp311d由此得扭力偶据的许用值为.(a)(b)(c)(d).d310.038380106M1Nm5.99103Nm

69、5.99kNm160.144160.1443.由套管的强度条件定M的许用值2maxT2160.856M2Wp2D3(14)由此得扭力偶据的许用值为D3(14)20.0763(10.84214)40106M2Nm160.856160.856 2.00103Nm 2.00kNm结论：扭力偶矩的许用值为MM22.00kNm4-27图示组合轴， 由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体， 并承受扭力偶矩 M=100Nm 作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为s=80MPa 与c=20MPa，切变模量分别为 Gs=80GPa 与 Gc=40GPa，试校核组合轴强度。题 4-27 图解：1.

70、 求解静不定如图 b 所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B） ，假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为 Ts与 Tc，则由平衡方程Mx0可知，TsTc(a)两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。在横截面 B 处，钢轴与铜管的角位移相同，即设轴段 AB 的长度为 l，则sc(b).sTslGsIpsc(M Tc)lTl(M 2Tc)lcGcIpc2GcIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b） ，并注意到 Gs/Gc=2，得补充方程为Ts(M 2Tc)IpsIpc(c)联立求解平衡方程（a）与补充方程（c） ，于是得2强度校核TsTcIpsMIpc2Ips(d)(0.0

71、20m)4Ips1.571108m432Ipc(0.040m)4320.035m47411.04010m0.040m 将相关数据代入式（d） ，得对于钢轴，对于铜管，TsTc11.6Nms,maxTs16(11.6Nm)7.38106Pa 7.38MPa s3Wps(0.020m)c,maxTc,maxWpc16(100Nm11.6Nm)1.70107Pa 17.0MPa c40.035m(0.040m)310.040m4-28将截面尺寸分别为 100mm90mm 与 90mm80mm 的两钢管相套合， 并在内管两端施加扭力偶矩 M0=2kNm 后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0

72、后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。解：1. 求解静不定此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为0M0lGIpi(a).去掉M0后，有静力学关系几何关系为物理关系为TiTe(b)ie0(c)iT lTil，eeGIpiGIpe(d)将式(d)和式(a)代入式(c)，得或写成由此得T lM lTile0GIpiGIpeGIpiTeM0TiIpeIpiTe联立求解方程(e)与(b)，得IpeIpi(M0Ti)1.395(M0Ti)(e)TiTe0.5825M01.165kNm2. 计算最大扭转切应力内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为i,maxTi161165N72.1710 Pa

73、 21.7MPaWpi0.09031(8/9)4m2e,maxTe161165N1.725107Pa 17.25MPa342Wpe0.100 (10.9 )m4-29图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为 D = 100mm 的圆周上，突缘的厚度为=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kNm，螺栓的许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=300MPa。试确定螺栓的直径 d。.题 4-29 图解：1. 求每个螺栓所受的剪力由得2.由螺栓的剪切强度条件求d由此得6Fs()MMx0，2FsM3DDFs4M2A3Dd4M45.0103m2d 1.4571

74、02m 14.57mm63D30.100100103.由螺栓的挤压强度条件求dbsFbMbsd3Dd由此得M5.0103m3d 5.5610m 5.56mm3Dbs30.1000.010300106结论：最后确定螺栓的直径d 14.57mm。4-30图示二轴， 用突缘与螺栓相连接， 其中六个螺栓均匀排列在直径为D 的圆周上，1另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为 d，试计算螺栓剪切面上的切应力。题 4-30 图解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓 i 剪切面上.的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O 的距离 r

75、i成正比，即ikri式中，k 为比例常数。利用剪切胡克定律，得螺栓i 剪切面上的切应力为而剪力则为最后，根据平衡方程得iGkriFS,iGAkriD14GAkD2 MM0, 6GAkO 2 2 22k 2M8M22222GA(3D12D2)Gd (3D12D2)4MD12d2(3D122D2)4MD22d2(3D122D2)于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为124-31图 a 所示托架，承受铅垂载荷 F=9kN 作用。铆钉材料均相同，许用切应力=140MPa，直径均为 d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。题 4-31 图解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心 C，

76、位于铆钉2 与铆钉 3 间的中点处（图 b） 。将载荷平移至形心C，得集中力 F 与矩为 Fl 的附加力偶。在通过形心 C 的集中力 F 作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为 FF9103N22.87107MPa232dd(1010m)44.在附加力偶作用下，铆钉1 与 4 剪切面上的切应力最大，其值均为由图中可以看出，所以，Flr1Ip(a)r1 r460103m，r2 r3 20103md2Ip(2r122r22)(10103m)2(602202)(103m)26.28107m442代入式（a） ，得(9103N)(150103m)(60103m)1.289108Pa746.281

77、0m将上述两种切应力叠加，即得铆钉1 与 4 的总切应力即最大切应力为max22(2.87107Pa)2(1.289108Pa)21.3210 Pa 132MPa 84-34图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，=3mm，12= 4mm，T=6kNm，试求最大扭转切应力。题 4-34 图解：截面中心线所围面积为由此得 (a12b222)(4) (0.2000.00150.002)(0.1600.0042)m 2.41102m24于是得最大扭转切应力为6103Nmax4.15107Pa41.5MPa222min22.41100.003mT4-35一长度为l的薄壁管，两端承受矩为

78、M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为.1与2，且12，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角。题4-35图解：1. 扭转切应力计算闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为T2现在所以，最大扭转切应力为2 R0min1M22R01max2. 扭转变形计算用相距dx的两个横截面，与夹角为d的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体， 其应变能为由此得整个上半圆管的应变能为dV1122G11R0ddxV1l00M2l1R0ddx 32G18G1R0112同理得整个下半圆管的应变能为根据能量守恒定律，于是得M2l

79、V238G2R02MM2lM2l3328G1R018G2R02l 113GG4R01 122.4-36图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。题 4-36 图解：由于三者中心线的长度相同，故有2(2bb)4a d由此得dd， a 64据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的，其值依次为b依据2d212b 1822d22a 162d234maxT2min可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为依据矩max:方max:圆max1.432:1.273:1Tlds24G可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为矩:方:圆2.05

80、:1.621:1结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积，这样对强度和刚度均有利。4-37图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩 M 作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许用切应力=60MPa，单位长度的许用扭转角=0.5() / m，切变模量 G = 80GPa。若在杆上沿.杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。题 4-37 图解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件Tmax2min得T 2min20.1000.3000.00360106Nm1.0801

81、0 Nm10.80kNm由扭转刚度条件4Tds4G2得4G2480109(0.1000.300)28.727103T Nmds2(0.3000.100)0.0039.43103Nm 9.43kNm0.5rad/m8.727103rad/m180其中用到比较可知，M9.43kNm2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值由扭转强度条件max3Tmaxhii3i1n得T hii3i1n3max601062(0.3000.100)0.0033Nm 144.0Nm30.0033TGi1n由扭转刚度条件hii3.得Ghii3nT i138.727103801092(0.3000.100)0.0033Nm5.03

82、Nm3比较可知，M开5.03Nm.第六章 弯曲应力6-2如图所示，直径为d、弹性模量为E 的金属丝，环绕在直径为D 的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。解：金属丝的曲率半径为所以，金属丝的最大弯曲正应变为最大弯曲正应力为而弯矩则为题 6-2 图Dd2maxymaxd2d2 DdDdmaxEmaxEdDdd3EdEd4M Wzmax32 Dd32(Dd)6-3图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为 y与 y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。1题 6-3 图解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为依据min

83、 R1 Ey.可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为t,maxEy1R1Ey2R1zyc,max6-6图 a 所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数W 与 W 。解：1. Wz计算由图 b 可以看出，所以，ADB 对 z 轴的惯性矩为题 6-6 图a3ab,h222bh3bhhbh31 a3a 3a4 362 31212 22643Iz,t中部矩形截面对 z 轴的的惯性矩为Iz,ra(2h)3a 3a 3a42 1212244 3a43a45 3a4644163于是得整个六边形截面对z 轴的惯性矩为Iz4Iz,tIz,r而对 z 轴的抗弯截面系数则为2. Wy计算ADB 对

84、y 轴的惯性矩为Iz5 3a425a3Wzymax16a 38hb3bhba11 3a4Iy,t 362 32192中部矩形截面对 y 轴的的惯性矩为2.2ha33a4Iy,r1212于是得整个六边形截面对y 轴的惯性矩为Iy4Iy,tIy,r411 3a43a45 3a41921216而对 z 轴的抗弯截面系数则为5 3a415 3a3Wyzmax16a16Iy6-7图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值；(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。题 6-7 图解：(1) 为使弯曲强度

85、最高，应使Wz值最大。由此得bh2b22Wz(d b )66dWz12(d 3b2)0db6b36d， h d2b2d33(2) 为使弯曲刚度最高，应使Iz值最大。bh3h3Izd2h21212dIz3h2(d2h2)h4022dh12 d h由此得h 3dd， bd2h222.6-8图 a 所示简支梁，由18 工字钢制成，弹性模量E = 200 GPa， a=1m。在均布载荷 q 作用下，测得截面C 底边的纵向正应变= 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。题 6-8 图解：1. 内力分析梁的弯矩图如图 b 所示，横截面 C 的弯矩为Mqa2C4梁内的最大弯矩则为M9qa2max322

86、. 应力计算（解法一）横截面 C 底部的弯曲正应力为qa2C,max4W ECz由此得q4ECWza2代入式（a） ，得Mmax9ECWz8于是得梁的最大弯曲正应力为Mmax9EC9(200109Pa)( 3.0104W)max67.5MPaz883. 应力计算（解法二）横截面 C 底部的弯曲正应力为C,max EC由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为.(a).Mmax9EC9qa24maxC,max2EC67.5 MPaMC32qa8计算结果相同。6-9图示简支梁，承受均布载荷 q 作用。已知抗弯截面系数为 W ，弹性模量为 E，z试计算梁底边 AB 的轴向变形。解：梁的弯矩方

87、程为题 6-9 图M(x)qlqxx222M(x)dxEWz横截面 x 处底边微长 dx 的轴向变形为所以，梁底边 AB 的轴向变形为d(l)(x)dx M(x)1 l dx 0EWEWzzlqlq2ql3xxdx 0212EWz 2l6-10图示截面梁，由18 工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kNm，材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比= 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。题 6-10 图解：1.截面几何性质工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。.由附录F表 4 查得并从而得图 6-10h 180mm， b94mm,t 10.7mmIz1660c

88、m ， Wz185cm43h1h/2t 79.3mm。2计算顶边AB的长度改变量顶边处有maxMWzmaxE 由此可得AB边的伸长量为30.290.0942010ABbmEWz200109185106bM1.474105m0.01474mm3计算上半腹板CD的长度改变量距中性轴z为y1的点，弯曲正应力的绝对值为该处的横向应变为由此可得线段CD的伸长量为(y1) My1（y1以向上为正）Iz (y1) My1EIzCDdy10h1MEIz30h1y1dy12Mh122EIz0.292010 0.0793m 5.49106m 0.00549mm98220010 166010.6-12图 a 所示矩

89、形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F 作用。现用纵截面 AC 与横截面 AB 将梁的下部切出， 试绘单元体 ABCD 各切开截面上的应力分布图， 并说明该部分是如何平衡的。题 6-12 图解： 1. 单元体的应力分析梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为M(0)Fl与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b 所示。在横截面AB 上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为3F2bh在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为6Flc,max2bh在纵截面 AC 上，作用有均匀分布的切应力，其值为max3F2bh在横截面 CD 上，作用有合力为 F1=F/2 的剪切

90、分布力。2. 单元体的受力分析根据上述分析，画单元体的受力如图c 所示。图中， F2代表横截面 AB 上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面 AC 上由切应力构成的剪切合力。显然，F2F3F2M(0)Sz()bh h123Fl Fl 2 4 bh32hIz3. 单元体的平衡根据上述计算结果，得F4bl 3F3Flbl 2bh2h.Fx F3F42h2hFF3Fl3Fl0Fy F2F1220MAF1lF3hF3Fl hl0322h 3说明单元体满足平衡条件。6-13图示矩形截面简支梁，承受矩为 M =Fa 的集中力偶作用。截面的宽度为 b，高e度为

91、h。试绘单元体 ABCD 的应力分布图（注明应力大小） ，并说明该单元体是如何平衡的。题 6-13 图解：1.画剪力、弯矩图左、右支座的支反力大小均为F/3，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示如图 6-13a 与 b。图 6-132求单元体两端面上的应力及其合力单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为1maxM16Fa2FaWz3bh2bh2M4Fa2max22Wzbh1max 2max3FS2F2A2bh.由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力x与2max数值相等。左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为1bhFaFx11max()222h1b

92、hFaFx22max()22h左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为1Fy1 Fy2F6FSxx(ab)Fa2h纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为3检查单元体的平衡方程是否满足Fx0，Fx2Fx1FSxFaFaFa0h2h2hFFF 0，FF0yy1y266Mz10，Fx23Fx13Fy2a shhFaFaFa0366由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出） 。6-14梁截面如图所示，剪力F = 200kN，并位于x-y 平面内。试计算腹板上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。题 6-14 图(a)解：截面形心至其顶边

93、的距离为0.0200.1000.0100.1200.01020.080m0.0200.1000.1200.0200.04818myC惯性矩和截面静矩分别为.0.1000.02030.0100.12032Iz0.1000.0200.03818 2121220.0100.1200.031822m48.292106m40.091823Sz,max0.091820.020m 8.431105m32Sz0.1000.0200.03818m37.636105m3于是得腹板上的最大弯曲切应力为maxFSSz,maxIz2001038.431105N1.017108Pa 101.7MPa628.292100.

94、020m腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为交界FsSz2001037.636105N7 9.2110 Pa 92.1MPa62Iz8.292100.020m(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为0.1100.1500.075(0.1100.020)0.1000.070yCm0.081m0.1100.150(0.1100.020)0.100惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为0.1100.15030.0900.10032Iz0.1100.150(0.0810.075) 12120.0900.100(0.0810.070)2m42.294105m41Sz,max0.0300.110(0

95、.0690.015)0.020(0.0690.030)2m321.934104m3Sz上0.0200.110(0.0810.010)m31.562104m3Sz下0.0300.110(0.0690.015)m31.782104m3于是得腹板上的最大弯曲切应力为maxFSSz,maxIz2001031.934104N8.43107Pa 84.3MPa522.294100.020m腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为FSSz上2001031.562104N7交界上6.8110 Pa 68.1MPa52Iz2.294100.020m腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为2001031.782104N7交界下7

96、.7710 Pa 77.7MPa52Iz2.294100.020mFSSz下6-17图示铸铁梁，载荷F 可沿梁 AC 水平移动，其活动范围为03l/2。已知许用拉应力t=35MPa，许用压应力c=140MPa, l=1m，试确定载荷 F 的许用值。.题 6-17 图解：1.截面几何性质计算由图 6-17 可得0.1000.0200.0100.0800.0200.060yC()m0.03222m0.1000.0200.0800.0200.1000.02030.0200.08032Iz0.1000.0200.02222 12120.0200.080(0.0600.03222)2m43.142106

97、m4图 6-172确定危险面的弯矩值分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当F作用在AB段时，lFl， Mmax243lFl，Mmax22当作用在BC段时，3确定载荷的许用值由危险面B的压应力强度要求得c,maxMmaxIz(0.100 yC)Fl(0.100 yC)c2Iz2Izc23.142106140106NF 1.298104N 12.98kNl(0.100 yC)1.000(0.1000.03222)由截面B的拉应力强度要求.得t,maxMmaxIzyCFlyCt2Iz2Izt23.14210635106NF 6.83103N 6.83kNlyC1.0000.03222由Mmax作

98、用面的拉应力强度要求得MmaxFlt,max(0.100 yC)(0.100 yC)tIz4Iz4Izt43.14210635106NF 6.49103N 6.49kNl(0.100 yC)1.000(0.1000.03222)该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。比较上述计算结果，得载荷的许用值为F6.49kN6-18图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q 作用。已知截面宽度为b，许用应力为。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度 h1和 h2。题 6-18 图解：1.求最大弯矩左段梁最大弯矩的绝对值为右段梁最大弯矩的绝对值为2求截面高度h1和h2由根部截面弯曲正应力强度要求得ql2M1m

99、ax2ql12M2max21maxM1maxWz16ql22bh12.3ql23qh1lbb由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求(a)2maxM2maxWz26ql1222bh2得h2l13确定l1梁的总体积为3qb(b)由得V V1V2bh1(ll1)bh2l1b3ql(ll1)l12bdV0， 2l1l 0dl1l1最后，将式(c)代入式(b)，得l2h2l3q2b为使该梁重量最轻（也就是V最小） ，最后取3qll1， h12h2l2b6-19图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F = 4kN，梁跨度 l=400mm，截面宽度 b = 50mm，高度 h = 80mm，木板的

100、许用应力=7MPa，胶缝的许用切应力=5MPa，试校核强度。题 6-19 图解：1.画剪力、弯矩图该梁的剪力、弯矩图如图6-19 所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为.22FSmaxF， MmaxFl392校核木板的弯曲正应力强度图 6-19Mmax62Fl441030.400Nmax2Wz9bh30.0500.0802m26.67106Pa 6.67MPa3校核胶缝的切应力强度32F4103Nmax2A32bh0.0500.080m21.000106Pa 1.000MPa max3FS结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。6-21图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车

101、自重W = 50kN，最大起重量 F = 10kN，许用应用=160MPa，许用切应力= 80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。题 6-21 图解：1.求最大弯矩设左、右轮对梁的压力分别为F1和F2，不难求得F110kN， F250kN由图 6-21a 所示梁的受力图及坐标，得支反力.1FAy F1(l x) F2(l x2)506x(0 x 8)l1FBy F1x F2(x2)6x10(0 x8)l图 6-21该梁的剪力、弯矩图示如图b 和 c。图中，由MC FAyx (506x)x(0 x8)MD FBy(l x2)(6x10)(8 x)(0 x8)dMCdMD0，

102、0dxdxx 2519m， x m66得极值位置依次为两个弯矩极值依次为25kNm104.2kNm619MDmax(1910)(8)kNm140.2kNm6MCmax(5025)比较可知，单梁的最大弯矩值为1MmaxMDmax70.1kNm22初选工字钢型号先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得Mmax70.1103m3433Wz4.3810m 438cm6 16010由附录F表 4 初选28a 工字钢，有关数据为.Wz508cm3， q 43.492kg/m， 8.5mm， Iz/Sz 24.6cm3检查和修改考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。由于自重，梁中点截面的弯矩增量为q

103、l243.4929.81102MmaxNm5.33103Nm88上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m 处，因二者相距很近，检查正应力强度时可将二者加在一起计算（计算的max比真实的略大一点，偏于安全） ，即MmaxMmax(70.11035.33103)NmaxWz508106m2(1.3801081.049107)Pa 148.5MPa最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。11FS,max (6810)43.4929.8110310kN 31.13kN22FS,max31.13103N7max1.48910 Pa 14.89MPa 232Iz24.6108.510m()Sz结论：检查

104、的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为28a。6-22图 a 所示组合木梁， 由 6 个等间距排列的螺栓连接而成， 梁端承受载荷 F 作用，试求螺栓剪切面上的剪力。题 6-22 图解：螺栓的间距为el6用横截面 1-1 与 2-2，从上半木梁中切取块体如图b 所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为FS,b F2F1式中，M2SzM1SzSzS(M2M1)zFSe（a）IzIzIzIzaba2Szab22.b(2a)32ba3Iz123FS F将上述表达式代入式(a)，于是得ba23lFlFS,bF22ba368a6-23图示

105、简支梁，由两根50b 工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d = 23mm，许用切应力=90MPa， 梁的许用应力=160MPa。 试确定梁的许用载荷q及铆钉的相应间距 e。提示：按最大剪力确定间距。图 6-23 图解：1.计算组合截面的Iz和Sz由附录F表 4 查得50b 工字钢的有关数据为h 500mm， A129.304cm2， Iz148600cm4Ah21Iz2Iz12()24.861041.293041020.5002m42.5883103m442h1Sz A1.293041020.500m33.2326103m3222许用载荷的确定由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为ql2Mmax8M

106、maxhql2hmaxIz8Iz由此得许用载荷为8Iz82.5883103160106Nq25.01104N/m50.1N/mm2l h11.5 0.500m3铆钉间距的确定由铆钉的切应力强度要求来计算e。最大剪力为.11Fs,maxql 5.0110411.5N 2.881105N 288.1kN22按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流q） ，其值为q Fs,maxSzIz288.11033.2326103N3.598105N/m32.588310m间距长度内的剪力为qe，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即2d2d qe2A1242由此得梁长方向铆钉的间距为d20.02

107、3290106em 0.208m 208mm2q23.5981056-24横截面如图 a 所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。 设载荷 F=10kN，并作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距 e=70mm，试求螺钉剪切面上的剪力。钉剪切面上的剪力为题 6-24 图解：用间距为 e 的横截面 1-1 与 2-2，从上部木板中切取块体如图b 所示。可以看出，螺FS,n F2F1M2SzM1SzSzS(M2M1)zFSe（a）IzIzIzIz式中：Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩；Sz代表上部木板横截面对中性轴的静矩。由图 c 可以看出，yC(0.1500.020)(0.010)(0.02

108、00.150)(0.0750.020)(m)0.0525m0.1500.0200.0200.15030.1500.020Iz0.1500.020(0.05250.010)2(m4)1230.0200.1500.0200.150(0.0750.0200.0525)2(m4)1.65610-5m412Sz0.1500.020(0.05250.010)(m3) 1.27510-4m3.还可以看出，FS将相关数据与表达式代入式(a)，于是得F2FS,n-433SzFe(1.27510 m )(1010 N)(0.07m)2.70kN-542Iz2(1.65610 m )6-25图示截面铸铁梁，已知许用

109、压应力为许用拉应力的四倍，即 = 4，试从ct强度方面考虑，确定宽度b 的最佳值。题 6-25 图解：从强度方面考虑，形心的最佳位置应使0.400m yCc4yCt即由图中可以看出，yC0.080m(a)yCb(0.06m)(0.03m)(0.03m)(0.340m)(0.230m)b(0.06m)(0.03m)(0.340m)(b)比较式(a)与(b)，得b(0.06m)(0.03m)(0.03m)(0.340m)(0.230m)0.080mb(0.06m)(0.03m)(0.340m)于是得b0.510m6-26当载荷 F 直接作用在简支梁AB 的跨度中点时， 梁内最大弯曲正应力超过许用应

110、力 30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。.题 6-26 图解：当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为MmaxF(6m)4当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为根据题意，即由此得aF3m2Mmax2Mmax1.3MmaxaF3mF(6m)21.342a 1.385m6-27图示简支梁，跨度中点承受集中载荷 F 作用。已知许用应力为，许用切应力为，若横截面的宽度 b 保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。题 6-27 图解：1.求截面高度h(x)弯矩方程为由等强度观点可知，由此得梁的右半段与左边对称。2求端截面高度M(x)Fx2maxM(x)6FxW(x

111、)2bh2(x)h(x)3Fx(0 xl/2)b(a).由式(a)可知，在x0处，h(0)0，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满足，故需作局部修正。由得梁左端的截面高度为max3FS,max2A3F4bh(0)3F(b)4b这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。3确定h(x)的变化规律设可取截面高度为h(0)的最大长度为x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取h(0)3Fx13Fh(0)b4b由此得x13F216b最终确定截面高度h(x)的变化规律为：在区间(0xx1)内h(x)3F4b3Fxb在区间(x1xl/2)内h(x)梁的右半段与左边对称。6-29图示悬

112、臂梁，承受载荷F 与 F 作用，已知F =800N，F =1.6kN，l=1m，许用1212应力=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) 截面为矩形，h = 2b；(2) 截面为圆形。题 6-29 图解：(1) 矩形截面危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点（拉应力）和左下角点（压应力） 。最大弯曲正应力为maxF2lF1(2l)6F2l6(2F1l)3l23(F24F1)2WzWybhhb2b.根据弯曲正应力强度条件，要求由此得3l(F24F1)2b33l(F24F1)331.000(1.61034800)m0.0356m35.6mm22160106b3于是得(2) 圆形截面

113、危险截面的总弯矩为h 2b 71.2mm22MmaxMyMz(2F1l)2(F2l)2由弯曲正应力强度条件，要求于是得max32Mmaxd332Mmax332 (28001)2(1.61031)2d m0.0524m52.4mm16010636-30图示悬臂梁，承受载荷 F 作用。由实验测得 A 与 B 点处的纵向正应变分别为A= 2.110-4与B= 3.210-4，材料的弹性模量 E = 200 GPa，试求载荷 F 及其方位角之值。题 6-30 图解：横截面上 A 与 B 点处的弯曲正应力分别为将式（a）除式（b） ，得由此得A6lFcosbh26lFsinBhb2(a)(b)sinBb

114、BbcosAhAh.由式（a） ，得3.21040.002marctan31 2240.005m2.110EAbh2(200109Pa)(2.1104)(0.020m)(0.050m)2F 1.024 kN6lcos6(0.400m)cos31 226-31图示简支梁， 在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用， 试求梁内的最大弯曲正应力。题 6-31 图解：1.支反力计算由图 6-31a 得支反力为21F1y(3F)2F， F2y(3F) F3312F1zF， F2zF33图 6-312弯矩图与危险截面分析弯矩图示如图 b。由该图不难判断：在 AC 段，截面 C 最危险；在 BD 段，截面 D 最危险；在 CD 段，My与 Mz均为x的线性函数，因此，max也是x的线性函数，其最大值必位于该段的端点处，即截面 C 或截面 D。3最大弯曲正应力计算由以上分析可知，只需计算截面C与D的最大弯曲正应力即可，分别为.C,maxMyWyMyWyMz6Fl62Fl4Fl3Wz3hb2bh2bMz62Fl6Fl7Fl232Wz3hbbh2bD,max由此可见，maxC,max4Flb3.