线性代数居余马第3章线性方程组.ppt

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1、第3章 线性方程组主要内容N维向量及其线形相关性向量组的秩及其极大线形无关组矩阵的秩，相抵标准型齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构非齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构2024/8/132024/8/132 2第三章第三章本章要解决的问题和使用的工具 主要问题主要问题 中心问题是讨论线性方程组中心问题是讨论线性方程组解的基本问题解的基本问题 方程组方程组AxAxb b的增广矩阵的增广矩阵 在在何时可以使得其演变为何时可以使得其演变为 阶梯阶梯型矩阵（型矩阵（C C，d d）中的）中的d dr r1 10 0采用消元法所得的阶梯型矩采用消元法所得的阶梯型矩阵非零的行数是否唯一确定阵非零的行

2、数是否唯一确定自由变量可以随便选择，问自由变量可以随便选择，问题是这样得到的方程组解的题是这样得到的方程组解的集合是否相等。集合是否相等。使用的工具使用的工具 消元法消元法 向量及相应的理论向量及相应的理论2024/8/132024/8/133 3第三章第三章3.1 n 维向量及其线性相关性如果ai(i=1,2,n)是实(复)数叫做实(复)向量。1n元向量的概念定义3.1由n个数a1,a2,an 组成的有序数组称为n 元向量,记作(a1,a2,an)，其中ai 称为第i个分量。x1=1+k1 7k2 x2=k1x3=2 4k2 x4= 1+3k2 x5=k2 (k1,k2为任意常数为任意常数)

3、3个方程，个方程，5个未知数，个未知数，任取任取 x2 = k1, x5 = k2代入可解出全部解：代入可解出全部解：x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(1+k1 7k2, k1, 2 4k2 , 1+3k2, k2 )T其中其中(k1,k2为为任意常数任意常数)2024/8/132024/8/135 5第三章第三章一个n元方程可以用n+1元有序数组(a1,a2,an,b)来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的n +1元有序数组之间的关系.2024/8/132024/8/136 6第三章第三章例 1 点的坐标在解析几何中我们已经看到，有些事物的性质不能用一个数来刻画

4、. 例如，为了刻画一点在平面上的位置需要两个数，一点在空间中的位置需要三个数，也就是要知道它们的坐标.即点的坐标是多元有序数组即点的坐标是多元有序数组. .2024/8/132024/8/137 7第三章第三章例 2 力、速度、加速度又如力学中的力、速度、加速度等，由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后，它们可以用三个数来刻画.何中向量的概念正是它们的抽象.几力、速度、加速度要用力、速度、加速度要用 3 3元有序数组来表示元有序数组来表示. .2024/8/132024/8/138 8第三章第三章例 3 n n 元方程组的解一个n元方程组的解是由n个数组成，而这n

5、个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的.即即 n n 元方程组的解是一个元方程组的解是一个 n n 元有序数组元有序数组. .x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(1+k1 7k2, k1, 2 4k2 , 1+3k2, k2 )T其中(k1,k2为任意常数)2024/8/132024/8/139 9第三章第三章例例 4 4 球的大小和位置球的大小和位置为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标中心的坐标 ( (三个数三个数) ) 以及它的半径，也就是说，以及它的半径，也就是说，球球的大小和位置需要的大小和位置需要 4

6、4 个数来刻画个数来刻画. .即球的大小和位置要用即球的大小和位置要用即球的大小和位置要用即球的大小和位置要用 4 4 4 4 元有序数组来表示元有序数组来表示元有序数组来表示元有序数组来表示. . . .2024/8/132024/8/131010第三章第三章例 6 在国民经济中的应用在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况.譬如一个工厂生产好几种产品，那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出每种产品的产量.又如一个工厂的原料来自好多地方于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每个原料产地的采购量.在这里产品的产量、原料的采购量都需用多元在这里产品的产量、原料的采购量都需用多元有序数组来表示

7、有序数组来表示. .2024/8/132024/8/131111第三章第三章向量通常写成一行：向量通常写成一行：有时候也可以写成一列：有时候也可以写成一列：行向量行向量行向量行向量列向量列向量列向量列向量行向量是行向量是 1 n 矩阵矩阵,记作记作 (a1,a2,an)；列向量是列向量是 n 1 矩阵矩阵,记作记作 (a1,a2,an)T。2024/8/132024/8/131212第三章第三章如果如果 n 个分量全为零，叫做个分量全为零，叫做零零向量，用向量，用 0 表示。表示。常用常用 , , 等表示等表示 n 元向量。元向量。零向量记作零向量记作 0 = (0 , 0 , , 0)T .

8、全体全体 n 元实向量组成的集合记作元实向量组成的集合记作 Rn 。2024/8/132024/8/131313第三章第三章(2) 与与 之和之和 : + = (a1+b1, a2+b2, an+bn)。k= 1时，时， = ( a1, a2, an) = +( ) 定义定义3.2 设设 = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, F。 (3) 数数 与与 之乘积之乘积: = ( a1, a2, an) ，简称数乘。简称数乘。 向量的加法与数量乘法统称为向量的向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算线性运算，其运算规，其运算规律与矩阵的相同律与矩阵的相同 (1)

9、 = 当且仅当当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n。F为数域为数域2向量的线性运算向量的线性运算 2024/8/132024/8/131414第三章第三章加法满足加法满足4条运算律：条运算律：(1) + = + ；(2) ( + )+ = +( + )； (3) 有有 +0n = ；(4) 有有( ) ,使使 + ( ) =0n。2024/8/132024/8/131515第三章第三章 , Fn, , F有：有： 1 1 = ； ( ()=()=() ) ； ( ( + + )=)=+ +； ( ( + + ) ) = =+ +。数乘满足数乘满足4条运算律：条运算律：其他其他: (1) 有

10、有 0 =0n ; k0n = 0n。 (2) 若若 k =0n，则则 = 0n 或或 k=0 (3) 向量方程向量方程 +x= 有唯一解有唯一解: x= 定定义义3.3 数数域域 F上上的的全全体体 n 元元向向量量，在在其其中中定定义义了了上上述述的的加加法法和和数数乘乘运运算算 , 称称为为数数域域 F上上的的n维维向向量量空空间间，记记作作 Fn (Rn为实空间为实空间)。2024/8/132024/8/131616第三章第三章称称为为向向量量 1, 2 , , m的的线线性性组组合合，或或 可可用用 1, 2 , , m线性表示线性表示。 矩阵矩阵A= 1, 2 , , m，x= 1

11、, 2 , , mT。定义定义3.4 设设 i Fn , i F (i = 1, 2, , m), 则向量则向量 = 1 1 + 2 2 + + m m (1) (1)式可表示为：式可表示为：A x = ，此时此时， 1, 2 , , m , 为列向量，为列向量，2024/8/132024/8/131717第三章第三章例例 设设 1 = ( 1, 2, -1, 2 )T , 2 = ( 2, 4, 1, 1 )T , = ( -1, -2, -2, 1)T , 则则显然有显然有 = 1 - 2 , 说明说明 可以可以表为表为 1 , 2 的线性组合的线性组合. 例例 设设 1 = ( 2, -

12、1, -4, 1 )T , 2 = ( 1, 2, 3, -4 )T, 3 = ( 2, -1, 2, 5 )T , = ( 2, -1, 5, -4 )T , 问：问： 是否可是否可以表以表为为 1 , 2 , 3 的线性组合？的线性组合？2024/8/132024/8/131818第三章第三章解解是否可以表为是否可以表为 1 , 2 , 3 的线性组合，取的线性组合，取决于决于能否找到一组数能否找到一组数 k1 , k2 , k3 R ，使使k1 1 + k2 2 + k3 3 = 或或成立，亦即线性方程组成立，亦即线性方程组2024/8/132024/8/131919第三章第三章是否有解

13、是否有解.2024/8/132024/8/132020第三章第三章线性方程组的三种形式线性方程组的三种形式 有有 n 个个未知量未知量 s 个方程的线性方程组，有以个方程的线性方程组，有以下下三种形式：三种形式：形式一形式一形式一形式一 一般形式一般形式2024/8/132024/8/132121第三章第三章形式二形式二形式二形式二 矩阵形式矩阵形式在一般形式中，若令在一般形式中，若令则线性方程组可表示成则线性方程组可表示成AX = B.2024/8/132024/8/132222第三章第三章形式三形式三形式三形式三 向量形式向量形式在一般形式中，若令在一般形式中，若令则线性方程组可表示成如下

14、形式的向量方程则线性方程组可表示成如下形式的向量方程 1 1x x1 1 + + 2 2x x2 2 + + + + n nx xn n = = . .2024/8/132024/8/132323第三章第三章在在 R3中，任一向量中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量可由基本向量e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 线性表示为线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3在在R3中，如果三个向量中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，量可以由另两个向量线性

15、表示，如图，即存在不全为即存在不全为 0 的的 k1 ， k2 ，k3 使使k1 1 + k2 2 + k3 3 =0 3 = k1 1+ k2 2 2 3 1 k2 2k1 12024/8/132024/8/132424第三章第三章 定义定义3.5 设设 1, 2, , m Rn n , , 如果存在不全为零的如果存在不全为零的 1, 2, m R , ,使使成立，则称成立，则称 1, 2, , m线性相关线性相关，否则，否则，线性无关线性无关。“否则否则”是指：不线性相关就是线性无关，是指：不线性相关就是线性无关， “仅当仅当 1, 2, m全为零时，才使全为零时，才使(*)式成立式成立”

16、。这等价于。这等价于 “如果如果(*)式成立，则式成立，则 1, 2, m必须全为必须全为零零”。 1 1 + 2 2 + + m m = 0 （*）3向量的线性相关性向量的线性相关性 2024/8/132024/8/132525第三章第三章例如例如，向量组向量组是线性相关的，因为是线性相关的，因为 3 = 3 1 - 2 . 定理定理3.1 向量组向量组 1, 2, , m(m 2) 线性相线性相关的充要条件是关的充要条件是 1, 2, , m中至少有一个向量可中至少有一个向量可由其余向量线性表示。由其余向量线性表示。2024/8/132024/8/132626第三章第三章1 1+2 2+m

17、 m=0 证证: 必要性必要性：设：设 1, 2, , m线性相关，则存在不全线性相关，则存在不全为零的数为零的数 1, 2, m, 使得使得不妨设不妨设 1 0 , 于是于是 1= 1 1 2 2 1 1 m m其中其中 1, , j 1, , 1, j+1, , , , m不全为零，充分性得证。不全为零，充分性得证。 充分性充分性：若若 1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线中的一个向量可由其余向量线性表示，如性表示，如 j = 1 1 + j 1 j 1 + + j+1 j+1 + m m则则 1 1 + j 1 1 j + j+1 j+1 + m m = 02024/8/1320

18、24/8/132727第三章第三章 例例1 1 Rn n中的中的 e1 1, , e2 2, , , en n 是线性无关的。是线性无关的。其其中中 ei = = (0,(0, 0, 1, 0,0) 是是第第 i 个个分分量量为为 1 (i=1,2, , , n）其余分量全为零的向量。）其余分量全为零的向量。 定理定理3.1 的等价命题的等价命题： 1, 2, , m(m 2)线性无关的线性无关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。解：因为，由解：因为，由 1e1 + 2e2 + + nen = 0即即 ( 1, 2, , n)

19、= (0, 0, , 0)必有必有 1 = 2 = = n = 0.2024/8/132024/8/132828第三章第三章注意注意: (1) 单个向量单个向量 线性相关的充分必要条件是：线性相关的充分必要条件是： 为零向量为零向量因为因为 0 使使 = 0 成立的充要条件是成立的充要条件是 = 0； (2) 两个两个非零向量非零向量 ， 线性相关的充分必要条件是：线性相关的充分必要条件是： ， 成比例成比例即存在即存在 k 或或 l 。(3) R3中三个向量中三个向量 ， ， 线性相线性相 关的充分必要条件是关的充分必要条件是 ， ， 共面共面2024/8/132024/8/132929第三

20、章第三章 例例2 含零向量的任何向量组含零向量的任何向量组0, 1, 2 , , m都线性相关。因为都线性相关。因为1 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 n = 0从而有不全为零的从而有不全为零的 1 , 2 , k , 0, ,0 使使 例例3 如果向量组如果向量组 1, 2, , m中有一部分向量线中有一部分向量线性相关，则性相关，则 整个向量组也线性相关。整个向量组也线性相关。证：不妨设证：不妨设 1, 2, , k线性相关线性相关, 于是有不全为零的于是有不全为零的 1 , 2 , , k , 使使 1 1 + 2 2 + + k k = 0 成立，成立， 1 1 + 2 2 +

21、 + k k + 0 k+1 + 0 k+2 + + 0 m = 0成立，所以成立，所以 1, 2, , m线性相关。线性相关。2024/8/132024/8/133030第三章第三章 例如，例如， 1 = (1, 2, 1)T, 2 =( 2, 4, 2)T , 3 =(1,1,3)T。因为因为 1, 2 线性相关（成比例），所以，线性相关（成比例），所以， 1, 2, 3 线性相关。线性相关。例例3 的的等价命题等价命题是：是：线性无关向量组的任一子集（任一部分向量）都线性无线性无关向量组的任一子集（任一部分向量）都线性无关。关。总之总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关；向量组部分线性

22、相关，则整体线性相关；整体线性无关，则任一部分都线性无关。整体线性无关，则任一部分都线性无关。 2024/8/132024/8/133131第三章第三章定理3.2设1, 2, ,s Fn,其中1 = (a11 , a21 , , an1)T, 2 = (a12 , a22 , , an2)T, , s = (a1s , a2s , ans)T,则 1, 2, ,s线性相关的充要条件是 s 元线性齐次方程组 Ax=0有非零解,其中2024/8/132024/8/133232第三章第三章2024/8/132024/8/133333第三章第三章 1, 2, , s线性无关的充要条件是线性无关的充要条

23、件是Ax=0 只有零只有零解。解。 因因为为 s 个个未未知知量量, n个个方方程程的的齐齐次次线线性性方方程程组组必必有有非零解，非零解，即即 sn 时时 An sx=0 =0 必有非零解必有非零解。推论推论. 任意任意 s 个个 n 维向量，当维向量，当 sn 时都线性相关。时都线性相关。n+1+1个个n维向量必线性相关。维向量必线性相关。此定理的此定理的等价命题等价命题是：是： 定理定理3.3 若向量组若向量组 1, 2, , r 线性无关线性无关 , 而向量组而向量组 , 1, 2, , r 线性相关线性相关 , 则则 可由可由 1, 2, , r 线性表示，且表示法唯一。线性表示，且

24、表示法唯一。2024/8/132024/8/133434第三章第三章 证：证： 由于向量组由于向量组 , 1, 2, , r 线性相关，线性相关，所以存在不全所以存在不全 为零的数为零的数 , 1 , 2 , , r 使得使得 + 1 1 + 2 2 + + r r = 0其中其中 必不等于零必不等于零(如果如果 = 0, 则由则由 1, 2, ， r 线性无关又得线性无关又得 1 , 2 , , r 全为零，与题设矛全为零，与题设矛盾盾), 于是于是 = 1 1 1 1 2 2 1 r r则则 可由可由 1, 2, , r 线性表示。线性表示。2024/8/132024/8/133535第三

25、章第三章于是，于是，( b1 c1 ) 1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r = 0 再证表示法唯一。设有两种表示法：再证表示法唯一。设有两种表示法： = b1 1 + b2 2 + +br r = c1 1 + c2 2 + +cr r而而 1, 2, , r线性无关，所以线性无关，所以 bi = ci ( i = 1, 2, r ), 故故 由由 1, 2, , r 表示是唯一的。表示是唯一的。2024/8/132024/8/133636第三章第三章这是因为这是因为 Rn 中任何中任何 n+1个向量都线性相关。个向量都线性相关。故故 , 1, 2, , n线性相关，线性相关

26、，由由 定理定理3.3，向量向量 可由可由 1, 2, , n 线性表示，且表示法线性表示，且表示法 唯唯一一推论推论 如果如果 1, 2, , n是是 Rn 中线性无关的中线性无关的 n 个向个向量量,则则 Rn 中任一个向量中任一个向量 可由可由 1, 2 , , n 线性表示，线性表示，且表示法且表示法 唯一。唯一。2024/8/132024/8/133737第三章第三章 例例4 (1) a 取取何何值值时时， 1 = (1, 3, 6, 2)T , 2 =(2, 1, 2, 1)T , 3 =(1, 1, a, 2)T 线性无关？线性无关？ (2) a = 2时时， 3可可否否由由 1

27、, 2 线线性性表表示示？若可以，求表示式。若可以，求表示式。 2024/8/132024/8/133838第三章第三章解解 (1)设设x1 1x2 2x3 30(*)2024/8/132024/8/133939第三章第三章解解 (2)设设 3 x1 1x2 2(*)得得 x2=4/5 x1=3/5 所以，所以，2024/8/132024/8/134040第三章第三章例例5 若若问：问：是否线性无关？是否线性无关？解解2024/8/132024/8/134141第三章第三章思考：由定理3.2， 若向量组 1, 2, , r线性无关 , 对每一个i 各增加 m个分量得到的向量组1, 2, , r

28、 也线性无关。其逆否命题是什么？ 2024/8/132024/8/134242第三章第三章3.2 向量组的秩及其极大线性无关组向量组的秩及其极大线性无关组定义3.6向量组1, 2 , s中存在r个线性无关的向量：i1, i2 , ir且任意一个向量均可由它们线性表示,则称向量组的秩为r，记作秩1, 2 , sr或r1, 2 , sr并称i1, i2 , ir是一个极大线性无关组。2024/8/132024/8/134343第三章第三章注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性无关组不是唯一的。例如1(1,0);2(0,1);3(1,2);4(2,1)秩1, 2 , 3, 42其中任意两个

29、i, j(i, j=1,2,3,4且ij )都线性无关，都是1, 2 , 3, 4的一个极大线性无关组。2024/8/132024/8/134444第三章第三章 定义定义3.7 若向量组若向量组 1, 2 , k 中每个向量中每个向量均可由向量组均可由向量组 1, 2 , s线性表示，则称线性表示，则称 1, 2 , k可由向量组可由向量组 1, 2 , s线性表示。如果它线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们们可以互相线性表示，则称它们等价等价，记作，记作 1, 2 , s 1, 2 , k 2024/8/132024/8/134545第三章第三章在R3中的几何背景是：如果1, 2线性

30、无关,1, 2, 3可由1, 2线性表示，则1, 2, 3都位于1, 2所确定的平面上,故1, 2, 3线性相关。定理3.4设向量1, 2 , s可由另一向量组1, 2 , r 线性表示。如果sr,则1, 2 , s线性相关。2024/8/132024/8/134646第三章第三章证证 : 设设j = 1, s再设再设 x1 1 + x2 2 + xs s = 0(交换和号交换和号顺序顺序)令令中中 i (i = 1, 2, n)的系数全为零的系数全为零, 即即（i = 1, r） （*）2024/8/132024/8/134747第三章第三章故故 1, 2, s线性相关。线性相关。此式是关于

31、此式是关于 x1 , x2 ,xs 的齐次线性方程组，由于的齐次线性方程组，由于 r s（方程个数方程个数 未知数个数未知数个数 ), 必有非零解，从而有不全为必有非零解，从而有不全为零的零的 x1 , x2 ,xs 使使 (*) 式成立，即有式成立，即有不全为零的不全为零的 x1 , x2 , xs 使使x1 1 + x2 2 + xs s = 02024/8/132024/8/134848第三章第三章推论(1)(定理2.5的等价命题):若1, 2, s线性无关,则s r。推论(2)若秩1, 2 , sr,则1, 2 , s中任意 r +1个向量都是线性相关的。因为任意r +1个向量都可经线

32、性无关的r个向量线性表示。2024/8/132024/8/134949第三章第三章若秩1, 2 , sr,则1, 2 , s中任意r个线性无关的向量都是1, 2 , s的一个极大线性无关组。推论(3)若向量组1, 2 , k 可由向量组 1, 2 , s线性表示，则秩1, 2 , k 秩1, 2 , s2024/8/132024/8/135050第三章第三章证设1, 2 , r和 1, 2 , p 分别是 1, 2 , k 和 1, 2 , s 的一个极大线性无关组，则1, 2 , r可经 1, 2 , k线性表示。已知 1, 2 , k可由 1, 2 , s 线性表示，又1, 2 , s可经

33、其极大线性无关组1, 2 , p线性表示。因此，1, 2 , r可经1, 2 , p 线性表示，由推论(1)得r p。2024/8/132024/8/135151第三章第三章推论(4)的逆命题不成立。例如，1(1,0，0);2(0,1,0);3(0,0,1)秩1, 2=秩1, 32但1, 2和1, 3不是等价向量组。推论(4)若向量组1, 2 , k 1, 2 , s，则秩1, 2 , k秩1, 2 , s2024/8/132024/8/135252第三章第三章3.3 矩阵的秩 相抵标准形 A的n个列(m个行)向量组成的向量组的秩称为A的列秩(行秩)。定义3.8矩阵A=(aij)mn的每一列(

34、行)称为A的一个列(行)向量。A的列秩n；A的行秩m1.矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩2024/8/132024/8/135353第三章第三章在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩=A的列秩。方程 x11+x22+x33=0,易得只有零解，三个行向量1, 2, 3线性无关，A的行秩=3。方程y11 + y3 3 + y4 4=0也只有零解，三个列向量1, 3 , 4线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以A的列秩=3。2024/8/132024/8/135454第三章第三章定理定理3.5 初等行（列）变换不改变矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩。行（列）秩。 证：只需证明作一次证：只需证

35、明作一次倍乘，倍加倍乘，倍加和和对换对换行变换，行变换， A的行秩不变。的行秩不变。设设m n矩阵矩阵A的的m个行向量为个行向量为 1, 2 , m。(1)将将A的第的第 i, j 行对换得到行对换得到B, 则则B与与A的行向量组相的行向量组相同（只是排列顺序不同），故同（只是排列顺序不同），故A, B的行秩相等。的行秩相等。(2)将将A的第的第 i 行乘非零常数行乘非零常数 c 得到得到B, 则则B的行向量组的行向量组为为 1, i-1, c i , i+1, m，它它与与A的行向量组的行向量组等价等价。 因此因此 A与与B的行秩相等。的行秩相等。2024/8/132024/8/135555

36、第三章第三章(3) 将将A的的第第i行行乘乘常常数数c加加到到第第j行行得得到到B，则则B的的行行向向量量组组 1, , j , m为为 j=c i+ j ; k= k (k j)。相相应应地地也也有有 j= j c i ; k= k (k j)。因因此此A与与B的的行行向向量量组组可可以以互互相相线线性性表表示示（等等价价）。所所以以A与与B的行秩相等。的行秩相等。 所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不改变矩阵的列秩。等列变换不改变矩阵的列秩。2024/8/132024/8/135656第三章第三章 定理定理3.6 对矩阵对矩阵A作初

37、等作初等行行变换化为变换化为B, 则则A与与B的任何对应的的任何对应的列列向量组有相同的线性相关性。向量组有相同的线性相关性。即即则向量组i1, i2 , ri 与 i1, i2 , ir （1i1 i2 ir s)有相同的线性相关性。2024/8/132024/8/135757第三章第三章 证：对证：对A做行变换化为做行变换化为B，即即 B =PkP2P1A, 其中其中 PkP2P1为若干初等矩阵的乘积，记为若干初等矩阵的乘积，记 P= PkP2P1(P可逆可逆)， 则则PA= B 或或 P j = j , j=1,2,s记记A1= i1, i2 , ir , B1= i1, i2 , ir

38、 , 则则齐次线性方程组齐次线性方程组A1x=0 与与 B1x =0 (即即PA1x=0）为同解为同解方程组。方程组。所以，所以，A1 与与 B1的列向量组的列向量组有相同的线性相关性。有相同的线性相关性。2024/8/132024/8/135858第三章第三章 这这个个定定理理给给出出了了求求向向量量组组的的秩秩及及其其极极大大线线性性无无关组关组的一个简单而有效的方法。的一个简单而有效的方法。推论：推论：对对矩阵矩阵A做初等行变换，不改变做初等行变换，不改变A的列秩。的列秩。例1求向量组1,2, ,5的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中1=(1,1, 0

39、, 0), 2=(1, 2, 1,1) , 3=(0,1,1,1)，4=(1,3,2,1),5=(2,6,4,1)(i为行向量)2024/8/132024/8/135959第三章第三章 解解：对对A= 1T, 2T , 3T, 4T, 5T (将将 i 竖竖排排)作作初初等等行行变变换，将其化为阶梯形矩阵换，将其化为阶梯形矩阵U，即即2024/8/132024/8/136060第三章第三章 记阶梯形矩阵U=1, 2, 3, 4, 5 。U中每个非零行第一个非零元所在的第1,2,4列线性无关，所以，1, 2, 4 是U的一个极大线性无关组，从而，1T,2T,4T是A的列向量组的一个极大线性无关组

40、。即1,2,4是1，2，3，4，5的一个极大线性无关组。(1)设x11+x22=3，此非齐次方程组的增广矩阵为1，2，3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的前三列，其同解方程组为 x1x20,x21，解得：x1x2=1。所以， 31+2。3, 5可以用1, 2, 4线性表示，做法如下：2024/8/132024/8/136161第三章第三章 (2) 设设 x1 1+x2 2+x4 4= 5，同理，方程组的增广矩阵经同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为初等行变换化为U中的第中的第1，2，4，5列列,得同解方程组得同解方程组2024/8/132024/8/136262第三章第三章设x11T+x

41、22T+x33T+x44T+x55T=0此齐次方程组的系数矩阵A用初等行变换化为U，对U再做行变换得U1。其同解方程组为 3, 5用1, 2, 4线性表示的另一个做法如下：2024/8/132024/8/136363第三章第三章2024/8/132024/8/136464第三章第三章由定理由定理3.5 和定理和定理3.6的推论的推论 得得定理定理3.7 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。定理定理3.8 矩阵矩阵A的行秩的行秩= A的列秩。的列秩。 证：对证：对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则则 A的行秩的行秩= U的行秩的行

42、秩= U的列秩的列秩= A的列秩的列秩在阶梯形矩阵中，非零行的行数在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩的行秩= A的列秩。的列秩。2024/8/132024/8/136565第三章第三章 定义定义3.8 A的行秩的行秩= A的列秩的列秩, 统称为统称为A的的秩秩，记作，记作秩秩(A)，或或 r(A). 对对n 阶矩阵阶矩阵A ， r(A)= n时称为时称为满秩满秩矩阵矩阵。 定理定理3.9 n 阶矩阵阶矩阵A ， r(A)= n 的充要条件是的充要条件是A为非奇异矩阵（即为非奇异矩阵（即 A 0）。）。2024/8/132024/8/136666第三章第三章 证证：若：若 r(A)=n，则则

43、对对A做初等行变换，将其化为做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵阶梯形矩阵U ，则则 U 有有n个非零行，可以继续化为个非零行，可以继续化为单位矩阵单位矩阵 I , 所以，存在可逆矩阵所以，存在可逆矩阵 P 使得使得 PA=I 。 PA = P A =1, 故故 A 0。 若若 A 0 ，则，则 A x=0 只有零解只有零解 x= A 10 =0, A的的n个列向量线性无关，故个列向量线性无关，故 r(A)= n。2024/8/132024/8/136767第三章第三章 定义定义3.9 矩阵矩阵A=(aij)m n 的任意的任意k行行 (i1i2ik行行)和任意和任意 k列列 (j1j2jk列列)

44、 的交点上的的交点上的 k2 个元素排成的行列式个元素排成的行列式 称为矩阵称为矩阵 A 的一个的一个 k 阶阶子式子式 (k 阶子式阶子式)。等于零的等于零的 k 阶子式阶子式, 称为称为 k 阶零阶零 子式子式, 否则叫做非零子式。否则叫做非零子式。当当 jt= it ( t =1,2, , k ) 时，称为时，称为 A 的的 k 阶阶主子式主子式。2. 2. 矩阵的行列式与矩阵的秩矩阵的行列式与矩阵的秩矩阵的行列式与矩阵的秩矩阵的行列式与矩阵的秩2024/8/132024/8/136868第三章第三章 矩矩阵阵A若若存存在在 r 阶阶非非零零子子式式且且所所有有 r +1 阶阶子子式式都

45、都等等于于零零，则则矩矩阵阵A的的非非零零子子式式的的最最高高阶阶数数为为 r（因因为为由由行行列列式式的的展展开开可可知知更更高高阶阶的的子子式式也也都都等等于于零零），并称并称r为为A的行列式的秩的行列式的秩。2024/8/132024/8/136969第三章第三章定理3.10秩(A)=r的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r。证 必要性。设秩(A)=r,不妨设A的前r行线性无关。记 A的任意r+1个行向量线性相关，所以 A的任意r+1阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得A的行列式的秩为r.A1=ArB其中Ar是r阶方阵,r(A1)=r。不妨再设A1的前r列向量线性无关,即r(Ar)=

46、r,故|Ar|0.即存在一个r阶子式不等于零（*）2024/8/132024/8/137070第三章第三章 充分性充分性。不妨设。不妨设A的左上角的左上角 r 阶子式阶子式| Ar| 0，则则 Ar可逆可逆, Ar 的的 r个行向量线性无关个行向量线性无关, 添分量成为添分量成为 A1 的行向量组也线性无关。而的行向量组也线性无关。而A中任何中任何 r +1 行线性相行线性相关（否则，由必要性的证明可知关（否则，由必要性的证明可知A中存在中存在r +1阶非零阶非零子式）子式）。故故 矩阵矩阵A的行秩的行秩=秩秩(A)= r。2024/8/132024/8/137171第三章第三章3. 3. 矩

47、阵的秩的性质矩阵的秩的性质(1)对任意的Amn，都有:秩(A)minm,n和秩(AT)=秩(A)。证：设Amn=1, 2, n,Bmn=1,2, ,n ,秩(A)=p,秩(B)=q，1, , n和1, ,n的极大线性无关组分别为1, , p和 1, ,q ，则 A+B=1+ 1, 2+ 2, , n +n A+B的列向量组可以由向量组1, 2, n, 1, ,n线性表示。所以，r(A+B) r(1, 2, n, 1, ,n)p+q。(2)秩(A+B)秩(A)+秩(B)。2024/8/132024/8/137272第三章第三章(3)秩(AB)min秩(A),秩(B)。 证：设证：设 A， B 分

48、别是分别是 m n 和和 n s 矩阵，矩阵，A依列分块有依列分块有2024/8/132024/8/137373第三章第三章 AB的列向量组可以由A的列向量组1, , n线性表示。所以，r(AB)=AB的列秩A的列秩=r(A)类似地，对B依行分块，可以证明r(AB) r(B)。或利用r(AB)=r(AB)T)=r(BTAT)r(BT)=r(B)2024/8/132024/8/137474第三章第三章 (4) 设设A为为 m n 矩阵，矩阵， P 和和 Q 分别是分别是 m 和和 n 阶阶可逆可逆矩阵矩阵, 则则秩秩(A)=秩秩(PA)=秩秩(AQ)=秩秩(PAQ) 证证: 秩秩(PA) 秩秩(

49、A), 由由 P 1 (PA)= A ，得得: 秩秩(A) 秩秩(PA) 所以所以 秩秩(PA)=秩秩(A) ; 同理可证明其他情形。同理可证明其他情形。或利用或利用:可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积，初等阵左，初等阵左(右右)乘乘A是对是对A作初等行作初等行(列列)变换，初等变换不改变矩阵的秩。变换，初等变换不改变矩阵的秩。例例2 设设A为为 m n 矩阵，且矩阵，且 mn，证明：证明：|ATA |=0。证：证：由于秩由于秩(ATA) 秩秩(A) minm,n=mn), 秩秩(A) = n. 证证明明：存在存在n m矩阵矩阵B, 使使BA=In. 则则其中01

50、是(mn)n零矩阵;02是n(mn)零矩阵。故存在nm矩阵B=CP,使BA=In。证：A是mn矩阵，秩(A) = n, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得2024/8/132024/8/137878第三章第三章例4.设n阶矩阵(n3)若矩阵A的秩为n或n1，则a必为_。2024/8/132024/8/137979第三章第三章 解解: 若若a=1, 则则A的各行成比例，的各行成比例，r(A)=1。所以，排除所以，排除a=1。(1) 若若 k = 1+(n 1)a 0 即即第一列乘第一列乘再将各行减去第一行，得到再将各行减去第一行，得到可知可知 a 1且且时时， r(A)=n。利用初等变

51、换不改变矩阵的秩，将利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列。的各列加到第一列。2024/8/132024/8/138080第三章第三章(2) 若若所以，所以，r(A)= n 1。即即 k = 1+(n 1)a =0。 A的各列加到第的各列加到第1列。列。 再将第再将第2， n行各行都减去第行各行都减去第1行行 再将第再将第2， ,n行各行都乘行各行都乘加到第加到第1行，将第行，将第1行化行化为全零行为全零行2024/8/132024/8/138181第三章第三章例例5 . 设设已知已知r(A)=2, 求求t。解：解： 利用初等变换不改变矩阵的秩，将利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为

52、化为B。B中第中第2，3行成比例行成比例, 2024/8/132024/8/138282第三章第三章3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构1.齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件 以以Am n为为系系数数矩矩阵阵的的齐齐次次线线性性方方程程组组 Ax=0 当当A按按列列分分块块为为A=( 1, 2 , n), 列列向向量量 x=x1, x2, xn T 时，方程组表示为向量方程：时，方程组表示为向量方程：x1 1 + x2 2+ xn n=0。2024/8/132024/8/138383第三章第三章定理定理3.12 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0有非零

53、解的充要条件是r(A)=r(1, 2, n)n，或1, 2, n线性相关。当r(A)=r时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵Ax=0与Ux=0为同解方程组，有非零解的充要条件:rn 。2024/8/132024/8/138484第三章第三章推论1： A为mn矩阵,Ax=0只有零解的充要条件:r=n.推论2： A为n阶矩阵时,Ax=0有非零解的充要条件:A=0.例1 设A是n阶矩阵，证明：存在ns矩阵B0,使得AB=0 的充要条件是:A =0。2024/8/132024/8/138585第三章第三章证：证： 设设 B =(b1, b2, bn)， AB=0, 即即A (b1, b2, bn)

54、= (A b1, A b2, A bn)=(0,0, , 0)。A bi=0（ i=1,2, , n) 意味着意味着B的每一列都是的每一列都是A x=0 的解。由的解。由 B 0，即即A x=0 有非零解。所以，有非零解。所以，A =0。 反之，若反之，若 A =0， A x=0有非零解。取非零解为有非零解。取非零解为 B 的的 s 个个 列向量。则列向量。则 B 0, 且且AB=0。2024/8/132024/8/138686第三章第三章2. 齐次线性方程组解的结构 定理3.13 齐次线性方程组Ax=0的任意两个解x1，x2 的线性组合k1x1+k2x2(k1,k2为任意常数) 也是它的解。

55、证：因为A(k1x1+k2x2)= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0。2024/8/132024/8/138787第三章第三章 定定义义3.13 设设 x1, x2, xp 是是Ax=0 的的解解向向量量，且且Ax=0 的的任任意意一一个个解解向向量量都都可可由由 x1, x2, xp 线线性性表表示示，则称则称x1, x2, xp为为Ax=0的一个的一个基础解系基础解系。 基础解系的任意线性组合也都是基础解系的任意线性组合也都是Ax=0的解，称的解，称x= k1x1+ k2x2+ kpxp(其中其中k1, k2,kp 为任意常数）为为任意常数）为Ax=0的一般解（通解）

56、的一般解（通解）2024/8/132024/8/138888第三章第三章3. 求求Ax=0 的基础解系的常用方法的基础解系的常用方法 定理定理3.14 设设A是是m n矩阵，矩阵，r(A)=rn, 则则齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0 存在存在基础解系，且基础解系包含基础解系，且基础解系包含n r 个解向量。个解向量。Ax=0 与与U x=0为同解方程组。为同解方程组。证证：对对A作作初初等等行行变变换换，化化为为行行简简化化阶阶梯梯形形矩矩阵阵，不不妨设为妨设为U，2024/8/132024/8/138989第三章第三章Ux=0，即选xr+1,xr+2,xn为自由未知量，对它们取下列n

57、r组值 (1,0,0),(0,1,0),，(0,0,1)再分别代入(*)，即可得到Ax=0的n r个解：z1=(c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1,1,0,0)Tz2=(c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2,0,1,0)Tzn-r=( c1,n , c2,n, ， cr,n,0,0,1)T(*)2024/8/132024/8/139090第三章第三章 z1=(c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1,1,0,0)T z2=(c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2,0,1,0)Tzn-r=( c1,n , c2,n, ， cr,n,0,0,1)T这n

58、r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），且x*=k1 z 1+ k2 z 2+kn-r zn-r也是Ax=0的解。再证Ax=0的任意一个解向量都可由z1,z2,zn-r线性表示。2024/8/132024/8/139191第三章第三章Ax=0的任意一个解向量x，可取自由未知量xr+1,xr+2,xn和任意常数k1,k2,kn-r,代入(*)得 x =（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r)T，令x*=k1z1+k2z2+kn-rzn-r，则x- x*也是Ax=0的解x x*=（d1,d2,dr,k1,k2,kn-r)T (k1z 1+k2z 2+kn-rzn-r)=（d1,d2,dr,

59、k1,k2,kn-r)T k1(c1,r+1,c2,r+1,cr,r+1,1,0,0)T k2(c1,r+2,c2,r+2,cr,r+2,0,1,0)T kn-r(c1,n,c2,n,，cr,n,0,0,1)T= (d1*,d2*,dr*,0,0,0)T2024/8/132024/8/139292第三章第三章所以x1,x2,xn-r是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。是自由未知量xr+1,xr+2,xn全部取0时的解，此时由(*)得x1=xr=0，即d1*=d2*=dr *=0，所以，x x*=0，即x =x*= k1x1+k2x2+kn-rxn-r可由x1,x2,xn-r线性表示。x x*=

60、 (d1*, d2 *, dr *,0, 0, 0)T2024/8/132024/8/139393第三章第三章 Ax=0的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一定是n r。任意一个基础解系的线性组合都是Ax=0的通解。 例例2 2求方程组求方程组 Ax=O =O 的基础解系和一般解。其中的基础解系和一般解。其中2024/8/132024/8/139494第三章第三章Ax=0的一般解为： x = k1 x1+k2 x2，即x= k1(3,1,0,0,0)T + k2(7,0, 2,0,1)T 解 对A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵U。选x1,x3,x4为主元，x2,x5为自由未知

61、量，取x2=0,x5=1，得x2=(7,0,2,0,1)T,x1，x2为Ax=0一个基础解系。取x2=1,x5=0得x1=(3,1,0,0,0)T。 r(A)=3, n-r=2（k1，k2为任意常数）2024/8/132024/8/139595第三章第三章例求解齐次线性方程组例3若AmnBns=0,则r(A)+r(B)n。r(B)秩 1, 2 , s nr(A), 即r(A)+r(B)n证：记B=(1, 2 , s) （i 为B的第i 列向量）。由AB=0 ，得 Ai=0 (i=1, s),即1, 2 , s都是Ax=0的解，又Ax=0 的基础解系含nr(A)个解，即Ax=0 的任意一组解中至

62、多包含 nr(A) 个线性无关的解，所以，2024/8/132024/8/139696第三章第三章例例4 设设A是是m n实矩阵，证明：实矩阵，证明：r(AT A)=r(A)。 设(ATA)x=0(xRn)，则xT(ATA)x=0，即(Ax)TAx=0。令Ax= (b1, b2, bm)T Rm（实向量），则 (Ax)TAx= b12+ b22+bm2= 0 ，故必有b1=b2= bm=0，证：由秩的性质知r(ATA)r(A)，只需证明r(ATA)r(A)。只要证明：ATAx=0的解集合包含于Ax=0的解集合。即Ax=0。因此，ATAx=0的解必满足方程Ax=0，所以，n r(ATA)nr(A

63、),即r(ATA)r(A)。2024/8/132024/8/139797第三章第三章3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构设A=(1, 2, n),则Ax=b等价于向量方程x11+x22,+xnn=b Ax= b有解，即 b可经A的列向量线性表示。所以，秩(1, 2, n，b)=秩(1, 2, n)即r(A,b)=r(A)2024/8/132024/8/139898第三章第三章定理定理3.153.15 对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组Ax= =b , ,下列命题等价下列命题等价: :(1)(1) Ax= = b有解有解; ;(2)(2)b b可由可由A的列向量组线性表示的列向量组

64、线性表示; ;(3)(3) r( (A, ,b b)= )= r( (A) )即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。2024/8/132024/8/139999第三章第三章Ax=b与Cx=d为同解方程组，Ax=b有解dr+1=0又r(C, d)=r(A, b)；r(C)=r(A)，所以，Ax=b有解r(A, b)=r(A)r(C, d) = r(C)2024/8/132024/8/13100100第三章第三章推论推论：Ax=b 有唯一解有唯一解 r(A, b) = r(A)= n (A的列数的列数)。因因b b由由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的的列向量组线性表

65、示，且表示法唯一的的充充要条件要条件是是A的列向量组的列向量组 1, 2, n线性无关，即秩线性无关，即秩 1, 2, n = =n。定理定理3.16 3.16 若若 x1, , x2 是是A x= =b b 的解，则的解，则 x1 x2 是对是对应的应的齐次线性方程组齐次线性方程组A x=0 =0 的解。的解。定理定理3.16 3.16 若若 x1, , x2 是是A x= =b b 的解，则的解，则 x1 x2 是对是对应的应的齐次线性方程组齐次线性方程组A x=0 =0 的解。的解。 证：证： A(x1 x2) = A x1 A x2 = b b = 0。2024/8/132024/8/

66、13101101第三章第三章定理定理3.16 若若A x = b 有解，则其一般解为有解，则其一般解为x = x0 + x,其中其中x0 是是A x = b 的一个特解（某一个解）；的一个特解（某一个解）； x = k1x1 + k2x2 + kpxp是是A x = 0 （称为称为A x = b 的的导出组导出组）的一般解。）的一般解。可以表示为可以表示为 x* x0 = k1x1 + k2x2 + kpxp 。 因因此此, x* = x0 +(x* x0 )可可以以表表示示为为x = x0 + x 的的形形式，即是式，即是A x = b 的一般解。的一般解。证证：由：由A(x0 + x)=

67、A x0+ A x= b, 所以，所以，x0+ x 是是A x = b 的解，的解，设设 x* 是是A x = b 的任意一个解，则的任意一个解，则 x* x0 是是A x= 0 的解的解.2024/8/132024/8/13102102第三章第三章 例例1 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵为的增广矩阵为试求试求Ax = b 的一般解。的一般解。解:2024/8/132024/8/13103103第三章第三章取x2=x4=x5=0代入Ux = d，求得Ax = b的一个特解x0=(1/3,0,1/3,0,0)T取自由未知量x2,x4,x5的三组数(1,0,0),(0

68、,1,0),(0,0,1)并依次代入Ux=0，得Ax=0的基础解系： x1=(1,1,0,0,0)T,x2=(1/3,0,2/3,1,0)T,也可取为x2*=(1,0,2,3,0)T,x3=(2/3,0,1/3,0,1)T,也可取为x3*=(2,0,1,0,3)T, x = x0 + k1 x1+ k2x2*+ k3x3* = (1/3, 0, 1/3, 0, 0)T + k1( 1, 1, 0, 0, 0)T +k2(1, 0, 2, 3, 0)T+ k3( 2, 0, 1, 0, 3)T (k1, k2, k3为任意常数为任意常数) 为为Ax = b 的的一般解一般解。2024/8/132

69、024/8/13104104第三章第三章例2设线性方程组就参数a,b ，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。2024/8/132024/8/13105105第三章第三章解解:用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。(2)当a=1,且14b+2ab=12b=0，即b=1/2时，有无穷多解(1)当（a1)b0时，有唯一解2024/8/132024/8/13106106第三章第三章(3)当a=1,b1/2时，14b+2ab 0,方程组无解。(4)当b=0时，14b+2ab =10时,方程组无解。（原方程组中后两个方程是矛盾方程）于是方程组的一般解为x =(2,2,0)T+k(1,0,1)T(k为任意常数

70、）a=1,b=1/2时，化为2024/8/132024/8/13107107第三章第三章例例证明：若x0是Ax = b的一个特解，x1,xp是Ax=0的基础解系，则x0,x0+x1,x0+x2,x0+xp线性无关且Ax = b的任一个解x 可表示为x=k0x0 + k1(x0+x1) + k2(x0 +x2) + + kp(x0+xp )其中k0+ k1 + k2+ +kp=1。证：证： 设设 c0x0 + c1(x0+x1) + c2(x0 +x2) + + cp(x0+xp )=0,即即 (c0 + c1 + c2 + + cp) x0 + c1x1 + c2x2 + + cpxp =0,

71、则必有则必有 c0 + c1 + c2 + + cp=a=0,（否否则则，记记 di= ci /a， 得得 x0= d1x1+ d2x2+ +dpxp 是是Ax = 0的解，矛盾），的解，矛盾），2024/8/132024/8/13108108第三章第三章再再由由 c1x1 + c2x2 + + cpxp =0 和和 x1, x2, xp 线线性性无无关关，得得 c1 = c2 = =cp =0, 从而从而 c0=0 ，故故 x0, x0+x1, x0+xp 线性无关线性无关。 根据定理根据定理3.17，Ax = b的任一个解的任一个解 , 可表示为可表示为x= x0 + k1x1 + k2x

72、2 + + kpxp = (1k1 kp) x0 + k1(x0+x1) + + kp(x0+xp )令令1k1 kp= k0，则则k0+ k1 + k2 + +kp=1，命命题题得证。得证。2024/8/132024/8/13109109第三章第三章例4. 设A是34矩阵，r(A)=2,Ax=b 有三个解： x1=(1,1,1,1)T,x2=(1,1,1,1)T; x3=(1,1,1,1)T 求 Ax=b 的一般解。解解： x1 x2=(0, 2, 2, 0)T，x1 x3=(2, 0, 0, 2)T 是是Ax=0 的的两两个个线线性性无无关关解解(不不成成比比例例)，又又4 r=2, 所以

73、，所以，x1 x2, x1 x3 是是A x=0 的基础解系。的基础解系。因此因此, Ax=b的一般解：的一般解：x=x1+k1(x1x2)+ k2(x1x3) =(1, 1, 1, 1)Tk1(0, 2, 2, 0)Tk2(2, 0, 0, 2)T2024/8/132024/8/13110110第三章第三章例5设四元线性方程组（I）为又已知四元线性齐次方程组（II）的基础解系为x3=0,1,1,0T，x4=1,2,2,1T(1)求线性方程组（I）的一般解；(2)问：线性方程组（I），（II）是否有非零的公共解？若有，则求所有非零的公共解。若没有，说明理由。2024/8/132024/8/13

74、111111第三章第三章 解：解：(1) 在在中取自由未知量为中取自由未知量为x3, x4，令（令（x3, x4）=（1, 0）和（和（0, 1），得（），得（I）的基础解的基础解系为系为 （I）的一般解的一般解为：为： x =k1 x1 + k2 x2 （ k1, k2 为任为任意常数）。意常数）。 x1= 0, 0, 1, 0 T，x2= 1, 1, 0, 1 T2024/8/132024/8/13112112第三章第三章(2)将（II）的一般解：x=(x1, x2,x3, x4)=k3 x3 + k4x4=k30,1,1,0T+k41,2,2,1T代入（I），得：所以，当k3= k4时（k4为任意常数），x=k30,1,1,0T+k41,2,2,1T=k41,1,1,1T既是方程组（II）的解，也是方程组（I）的解，当k40时,是(I),(II)的非零的公共解。2024/8/132024/8/13113113第三章第三章