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1、一、一、二阶行列式的引入二阶行列式的引入二、三阶行列式二、三阶行列式1用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入两式消去两式消去得得2由线性方程组的四个系数确定由线性方程组的四个系数确定.类似地消去类似地消去得得当当时，方程组的解为时，方程组的解为3定义定义1.4 由四个数排成二行二列（横排称行、竖由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表排称列）的数表称为数表称为数表所确定的二阶行列式，并记作所确定的二阶行列式，并记作 表达式表达式即即4主对角线主对角线主对角线主对角线副对角线副对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶
2、行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式5678则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原线性方程组的系数行列式。分母都为原线性方程组的系数行列式。9解解求解二元线性方程组求解二元线性方程组例例10二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义1.5记记设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表（7 7）式称为数表（）式称为数表（6 6）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式. .11(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标12(2)(2)对角线法则对角线法则13 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上
3、三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号 说明说明注意注意（1 1）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 （2 2）三阶行列式包括）三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于每一项都是位于不同行不同行, ,不同列不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积, ,其中三项其中三项为为正正, ,三项为三项为负负. .14 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用利用三阶行列式三阶行列式求解求解三元线性方程组三元线性方程组15若记若记或或16记记即即1718得得19得得20则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为
4、:21 解解 按按对角线法则对角线法则，有，有例例 计算三阶行列式计算三阶行列式22解解方程左端方程左端求解方程求解方程由由解得解得或或例例23解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式例例24同理可得同理可得故线性方程组的解为故线性方程组的解为25课堂练习P25 1,(1),(2)26一、一、概念引入概念引入二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数三、计算排列逆序数的方法三、计算排列逆序数的方法四、小结与思考四、小结与思考27一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？少个没有重复数字的
5、三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有28二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数问题问题 把把n个不同的元素排成一列，共有几种个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？不同的排法？29定义定义1.11.1把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）个元素的全排列（或排列）.通常用通常用 表示表示. 个不同的元素的所有排列的种数，个不同的元素的所有排列的种数，由引例由引例同理同理30 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个
6、不同的自然数，规定由小到大为标准个不同的自然数，规定由小到大为标准次序次序.排列的逆序数排列的逆序数31 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中中， 定义定义1.21.23 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序32 一个排列中所有逆序的总数称为此排列一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数的逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为逆序数为逆序数为3 31故此排列的故此排列的逆序数逆序数为为1+3+0+1+0=5.定义定义 1.31.3 33逆序数为奇数的排列称为奇排
7、列逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性34方法方法1 1三、计算排列逆序数的方法三、计算排列逆序数的方法 从左到右分别计算出排列中每个元素后从左到右分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数总和即为所求排列的逆序数.35 从右到左分别计算出排列中每个元素前从右到左分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的
8、逆序数，所有元素的逆序数之每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数总和即为所求排列的逆序数.方法方法2 236例例 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;373 2 5 1 4于是于是排列排列32514的的逆序数逆序数为为3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3, 故逆序数为故逆序数为1;38
9、 计算下列排列的逆序数，并讨论它们计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性的奇偶性. .解解此排列为此排列为偶排列偶排列. .例例39解解当当 时为时为偶排列；偶排列；当当 时为时为奇排列奇排列.40解解当当 为为偶数偶数时，排列为时，排列为偶排偶排列列，当当 为为奇数奇数时，排列为时，排列为奇排列奇排列.41练习练习 求求i i，j j使使2525i4j1i4j1为偶排列。为偶排列。解解 6 6元排列使元排列使i i、j j只能取只能取3 3或或6 6；由于；由于所以，所以，i i=6,j=3=6,j=3。 奇奇排排列列 偶偶排排列列（偶数）偶数）42定理定理2.1：经过一次对换，排列的奇偶
10、性改：经过一次对换，排列的奇偶性改变。变。定理定理2.2 所以所以n（n=2）元排列中，奇偶排）元排列中，奇偶排列各占一半，均为列各占一半，均为n!/2个。个。四、补充知识四、补充知识432 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为五、小结与思考五、小结与思考44思考题思考题1分别用两种方法求排列分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.45思考题解答思考题解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 2由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.46思考题思考题2若排列若排列 的逆序数的逆序数证明：证明：47作业作业P25 1（3）（）（4）, 248
