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1、复习复习(fx(fx) )1. 微分微分(wi fn)定义定义:2. 重要重要(zhngyo)关系关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义定义能能第1页/共32页第一页，共33页。3.多元多元(du yun)函数全微分的求法；函数全微分的求法；4. 判定函数判定函数(hnsh)可微的方法可微的方法:不连续不连续不连续不连续(linx)(linx)(linx)(linx)不可微不可微不可微不可微. . . .不可导不可导不可导不可导不可微不可微不可微不可微. . . .可微可微可微可微定义法定义法偏导连续偏导连续可微可微可微可微. . . .是是第2页/共3
2、2页第二页，共33页。回顾回顾(hug)(hug)：一元复合函数的：一元复合函数的求导法则求导法则（链式法则）（链式法则）问题问题(wnt(wnt):):则则复合复合(fh)(fh)而成的函数而成的函数则则即即复合而成的函数复合而成的函数则则第3页/共32页第三页，共33页。第四节第四节一元复合一元复合(fh)函数函数求导法则求导法则(fz)本节内容本节内容(nirng):一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则微分法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 第九章 第4页/共32页第四页，共33页。一、多元复合
3、一、多元复合(fh)函数求导的链式函数求导的链式法则法则定理定理(dngl). 若函数若函数处偏导连续处偏导连续(linx), 在点在点 t 可导可导, 则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则则有则有I.I.复合函数的中间变量均为复合函数的中间变量均为一元函数一元函数的情形：的情形：证证: 由已知由已知 可微可微又有又有 在点在点 t 处可导处可导 则有则有代入：代入：第5页/共32页第五页，共33页。代入：代入：利用一元函数的一阶微分形式不变性利用一元函数的一阶微分形式不变性对于函数对于函数 不论不论 u 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,( 全导数全导数(do sh)公式公式 )
4、若定理若定理(dngl)中中 说明(shumng): 偏导数连续偏导数连续减弱为减弱为可微可微, 则定理结论则定理结论仍成立仍成立.特点特点: :中间变量是中间变量是一元函数一元函数. .第6页/共32页第六页，共33页。例例例例1 1 1 1设设设设求全求全求全求全(qiqun)(qiqun)(qiqun)(qiqun)导数导数导数导数解解若要计算若要计算若要计算若要计算只须算出此时只须算出此时只须算出此时只须算出此时(c sh)(c sh)(c sh)(c sh)则则则则第7页/共32页第七页，共33页。推广推广(tugung):1) 中间变量多于两个中间变量多于两个(lin )的情形的情
5、形. 例如例如,设下面设下面(xi mian)所涉及的函数都可微所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,口诀口诀 : :同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加. . . .单路全导单路全导单路全导单路全导, , , , 叉路偏导叉路偏导叉路偏导叉路偏导. . . .2 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.第8页/共32页第八页，共33页。类似类似(li s)地还可以推广：地还可以推广：设设具有连续偏导数具有连续偏导数,而而都具有偏导数，都具有偏导数，则则复合函数复合函数有对自变量有对自变量x、y的偏
6、导数的偏导数(do sh)，且且第9页/共32页第九页，共33页。3 3）复合函数的中间）复合函数的中间(zhngjin)(zhngjin)变量既有一元函数变量既有一元函数, ,又有多元又有多元函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)的情形：的情形：的情形：的情形：注意注意(zh y)：1.这里这里v与与x无关，无关，且在一元函数求导时，且在一元函数求导时，将记号将记号改为改为“d”.2.2.注意各个符号的含义注意各个符号的含义. .3.3.弄清变量间的关系弄清变量间的关系. .3 3 复合函数的中间变量既有复合函数的中间变量既有复合函数的中间变量既有复合函数的中间变量既有一元函数一元函数一元
7、函数一元函数, , , ,又有多元又有多元又有多元又有多元函数函数函数函数的情形的情形的情形的情形：第10页/共32页第十页，共33页。特别的，有的变量特别的，有的变量特别的，有的变量特别的，有的变量(binling)(binling)既是中间变量既是中间变量既是中间变量既是中间变量(binling)(binling)又是自变量又是自变量又是自变量又是自变量(binling)(binling)的情形的情形的情形的情形(qng xing)(qng xing)：其中其中(qzhng)即即令令第11页/共32页第十一页，共33页。第12页/共32页第十二页，共33页。两者的区别两者的区别(qbi)区
8、区别别(qbi)类类似似第13页/共32页第十三页，共33页。如：如：当它们当它们(t men)都可微时都可微时,有有 这样一来，我们就可以对各类多元复合函数求偏导数这样一来，我们就可以对各类多元复合函数求偏导数. .只要弄清它们的复合结构，及变只要弄清它们的复合结构，及变量之间的关系，用锁链法则量之间的关系，用锁链法则(fz)(fz)和正确的符号表示即可和正确的符号表示即可. .口诀口诀 : :同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加. . . .有几个有几个(j )(j )中间变量就有几项中间变量就有几项, ,有几层复合就有几层乘积有几层复合就有几层乘积.
9、.第14页/共32页第十四页，共33页。例例2设设解解第15页/共32页第十五页，共33页。例例3解解第16页/共32页第十六页，共33页。求多元复合函数的导数求多元复合函数的导数(do sh)的步骤：的步骤：画出变量画出变量(binling)关系图；关系图；由关系图得出由关系图得出(d ch)求导公式求导公式; 求出求出所需的偏导数所需的偏导数(或导数或导数);代入公式代入公式,化简即可化简即可.例例4 设解解求求恰当的利用求导的四则法则，会使计算简恰当的利用求导的四则法则，会使计算简单单. .第17页/共32页第十七页，共33页。为简便(jinbin)起见 , 引入记号例例5设设f 具有二
10、阶连续(linx)偏导数,求解解 令则则第18页/共32页第十八页，共33页。例例例例6 6 设设设设解解由题意由题意(t y)知知:混合混合(hnh)偏导数相等，偏导数相等，1998二阶连续二阶连续(linx)偏导数，偏导数，第19页/共32页第十九页，共33页。二、多元复合二、多元复合(fh)函数的函数的全微分全微分设函数设函数(hnsh)具有具有(jyu)连续偏导数，连续偏导数，则全微分则全微分当当时，时，有有全微分形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质：无论无论z是自变量是自变量u、v的函数或是中间变量的函数或是中间变量u、v的函数，的函数，它的全微分形式是一它的全微分形式是一 样的
11、样的.第20页/共32页第二十页，共33页。设设设设第21页/共32页第二十一页，共33页。例例2 .例例7利用利用(lyng)全微分形式不变性再解例全微分形式不变性再解例2 解解所以(suy)第22页/共32页第二十二页，共33页。例例8 8解解第23页/共32页第二十三页，共33页。内容内容(nirng)小结小结1. 复合复合(fh)函数求导的链式法则函数求导的链式法则例如例如(lr),2. 全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u , v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加同路相乘，异路相加. . . .单路全导单路全导单路全
12、导单路全导, , , , 叉路偏导叉路偏导叉路偏导叉路偏导. . . .第24页/共32页第二十四页，共33页。牢记牢记(loj)求求导的公式和方法、导的公式和方法、符号符号求抽象的复合函数求抽象的复合函数(hnsh)(hnsh)的偏导数的偏导数-链式法则链式法则有几个有几个(j )(j )中间变量就有几项中间变量就有几项, ,有几层复合就有几层乘积有几层复合就有几层乘积. .第25页/共32页第二十五页，共33页。P82 题8(2)作业作业(zuy)(zuy)：P82 3P82 3，8 8，9 9，1010，12(2)(4)12(2)(4)练习练习(linx)(linx)：P131:11P1
13、31:11预预预预 习：习：习：习：P83P88P83P88第26页/共32页第二十六页，共33页。备用备用(biyng)题题1. 已知求解解: 由两边(lingbin)对 x 求导, 得第27页/共32页第二十七页，共33页。2.求在点处可微 , 且设函数解解: 由题设(2001考研考研(ko yn)第28页/共32页第二十八页，共33页。3.3.2000解解第29页/共32页第二十九页，共33页。第30页/共32页第三十页，共33页。纠正(jizhng)作业P69:P69:1(6)1(6)解4.4.设设求求解另解另解第31页/共32页第三十一页，共33页。感谢您的观看(gunkn)！第32页/共32页第三十二页，共33页。内容(nirng)总结复习。定理. 若函数。在点 t 可导,。I.复合函数的中间变量均为一元函数的情形(qng xing)：。( 全导数公式 )。1) 中间变量多于两个的情形(qng xing). 例如,。2.注意各个符号的含义.。3.弄清变量间的关系.。有几个中间变量就有几项,。有几层复合就有几层乘积.。求多元复合函数的导数的步骤：。求出所需的偏导数(或导数)。恰当的利用求导的四则法则，会使计算简单.。为简便起见 , 引入记号。例6 设。处可微 , 且。第31页/共32页第三十三页，共33页。
