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1、 6-9 极值问题极值问题1. 多元函数极值问题多元函数极值问题则称函数在点则称函数在点 处有处有极大极大(小小)值值；-极值极值称点称点 为为极大极大(小小)值点值点； -极值点极值点 定义定义 设函数设函数 在区域在区域 内有定义，内有定义， 是是 的内点，若存在的一个邻域，使得对该的内点，若存在的一个邻域，使得对该邻域邻域内任一内任一点点 ，都有，都有极值问题PPT课件 (2) 二元函数的极值图例二元函数的极值图例 有极小值有极小值 有极大值有极大值 极值问题PPT课件 (2) 定理定理1 (极值的必要条件极值的必要条件)若函数若函数 在点在点 处达到极值处达到极值,且且存在存在, 则必
2、有则必有证证特别地有上式表明一元函数 在 取得极大值， 由一元函数取得极值的必要条件，有同理可证极值问题PPT课件 (2) 各偏导数存在的极值点一定是稳定点各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一但稳定点不一定是极值点定是极值点.满足方程组满足方程组 的点为的点为 的的稳定点稳定点.极值问题PPT课件 (2)定理定理（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）令令设函数在点在点的某个邻域内的某个邻域内有有连续连续二阶偏导数，且二阶偏导数，且根据代数知识，极值问题PPT课件 (2)为简便起见，令则证证根据泰勒公式有极值问题PPT课件 (2)根据二阶偏导数连续的假定，因此极值问题PPT课件
3、(2)一定不是极值一定不是极值可能是，也可能不是极值可能是，也可能不是极值极值问题PPT课件 (2)例例3 3求函数解解 第一步第一步 求稳定点求稳定点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数极值问题PPT课件 (2)在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;极值问题PPT课件 (2)补例补例.讨论函数及是否取得极值.解解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小
4、值.正正负负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为极值问题PPT课件 (2)2. 多元函数的最值问题多元函数的最值问题 若函数在闭区域若函数在闭区域 D 上连续时上连续时,它在它在D上有上有最大最大(小小)值值，最值一定是在极值点或边界上取得，最值一定是在极值点或边界上取得. 在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域区域 D 内部取到最值，而函数在内部取到最值，而函数在 D 内又只有内又只有唯一唯一的稳定点，则可判定函数在该的稳定点，则可判定函数在该稳定点稳定点即取得即取得最值最值.极值问题PPT课件 (2)问题的提出问题的提出: 已知一组
5、实验数据求它们的近似函数关系 yf (x) .需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求最小二乘法最小二乘法 极值问题PPT课件 (2) 偏差有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式经验公式 ., 它们大体 极值问题PPT课件 (2)特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b
6、令满足:使得解此线性方程组即得 a, b称为法方程组极值问题PPT课件 (2)使利用这个近似公式算出的 值与实验所得值的误差平方和最小. 例例 4 （最小二乘法）（最小二乘法） 已知变量 是变量 的函数，由 实验测得当 取得 个不同的值 时，对应的 的 值分别为 . 试据此作一个最佳线性近似 公式： 极值问题PPT课件 (2)解解 问题 转化为求二元 函数 的最小值. 令即解此线性方程组即得 a, b称为法方程组用归纳法可证方程组的系数行列式极值问题PPT课件 (2)于是得到最线性近似公式极值问题PPT课件 (2)补例补例解解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为
7、令得稳定点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯稳定一点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.极值问题PPT课件 (2)3. 条件极值条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制极值问题PPT课件 (2) 例如例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体三棱的长为x,y,z，则体积为V=xyz，又因表面积 为a2 ，所以x,y,z必须满足附加条件2(xy+yz+xz)= a2. 但我 们可把
8、条件极值化为无条件极值问题，即将z表成x,y的 函 数 再把上式代入V=xyz中，则问题化为的无条件极值.极值问题PPT课件 (2)条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题例如 ,转化极值问题PPT课件 (2)方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如例如,故 故有极值问题PPT课件 (2)引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.极值问题PPT课件 (2)为求为求在约束条件在约束
9、条件 下的极值点下的极值点,其中其中 是常数，称为是常数，称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数.作辅助函数：作辅助函数：（拉格朗日函数）（拉格朗日函数）解方程组 再再判断判断此稳定点是否是此稳定点是否是条件极值点条件极值点. 设法消去而得到的解，它们就是条件极值设法消去而得到的解，它们就是条件极值的稳定点的稳定点 .极值问题PPT课件 (2)推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件极值问题PPT课件 (2)例例 求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体的而体积为最大的长方体的体积体积. 解解 设长方体的三棱长 ,则问题就是在条件下，求函数的最大值.作拉格朗日函数求其对 的一阶偏导数，并使之为零，得到极值问题PPT课件 (2)由以上两式得将上式代入(1)式，可得这是唯一可能的极值点.此时最大体积为极值问题PPT课件 (2)例例5解解时，解方程组极值问题PPT课件 (2)由方程组（6.6）前三个方程得由此推得代入方程组（6.6）中第四个方程得由此求惟一稳定点 前面已断定函数的最大值在球面内达到，故这惟一稳定点就是最大值点. 最大值为极值问题PPT课件 (2)
