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1、数学建摸课程20242024年年8 8月月12 12日日差分方程方法差分方程方法主要内容 第四章第四章 差分方程方法差分方程方法22024年8月12日 常系数线性差分方程；常系数线性差分方程； 差分方程的平衡点及其稳定性；差分方程的平衡点及其稳定性； 连续模型的差分方法；连续模型的差分方法； 案例分析：最优捕鱼问题。案例分析：最优捕鱼问题。 一一 . .常系数线性差分方程常系数线性差分方程 1. 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 2024年年8月月12日日342024年8月12日 (1) (1) 特征根为单根特征根为单根 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 520
2、24年8月12日 (2) (2) 特征根为重根特征根为重根 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 62024年8月12日 (3) (3) 特征根为复根特征根为复根 1.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程 72024年8月12日 2. 2.常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程 一一 . .常系数线性差分方程常系数线性差分方程82024年8月12日 2. 2.常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程 一一 . .常系数线性差分方程常系数线性差分方程92024年8月12日 二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性 1. 1. 一阶线性常系数
3、差分方程的平衡点一阶线性常系数差分方程的平衡点102024年8月12日 二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性 2. 2. 一阶线性常系数差分方程组的平衡点一阶线性常系数差分方程组的平衡点112024年8月12日 二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性 3. 3.二阶线性常系数差分方程的平衡点二阶线性常系数差分方程的平衡点 二二 差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的平衡点及其稳定性 4. 4.一阶非线性差分方程的平衡点一阶非线性差分方程的平衡点132024年8月12日 三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法 1. 1. 微分的差分方法微分的差分方法1
4、42024年8月12日 三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法 2. 定积分的差分方法定积分的差分方法 152024年8月12日 三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法 2. 定积分的差分方法定积分的差分方法 (1)(1)复化的梯形公式：复化的梯形公式：162024年8月12日 三三 连续模型的差分方法连续模型的差分方法 2. 定积分的差分方法定积分的差分方法 类似地：类似地：复化辛甫生（复化辛甫生（Simpson）公式）公式;复化柯特斯（复化柯特斯（Cotes）公式等。）公式等。 （详见教材）（详见教材） （2 2）复化梯形公式：）复化梯形公式：172024年8月12日 1. 问题的
5、提出问题的提出四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题 假假设设 鱼鱼可分可分为为4 4个年个年龄组龄组：称：称 1 1、2 2、3 3、4 4 龄鱼龄鱼。各。各年年龄组龄组每条每条鱼鱼的平均重量分的平均重量分别为别为5.075.07，11.5511.55，17.8617.86，22.99(22.99(克）；各年克）；各年龄组鱼龄组鱼的自然死亡率均的自然死亡率均为为0.8(1/0.8(1/年）；年）；这这种种鱼为鱼为季季节节性集中性集中产产卵繁殖，卵繁殖，产产卵孵化期卵孵化期为为每年的最每年的最后后4 4个月，平均每条个月，平均每条4 4龄鱼龄鱼的的产产卵量卵量为为 ( (个），
6、个），3 3龄鱼龄鱼的的产产卵量卵量为这为这个数的一半，个数的一半，2 2龄龄和和龄鱼龄鱼不不产产卵。卵。 卵孵化并成活为卵孵化并成活为1 1龄鱼，成活率（龄鱼，成活率（1 1龄鱼条数与产卵龄鱼条数与产卵量量n n之比）为之比）为 182024年8月12日 渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即能力固定不变，即固定努力量固定努力量捕捞，这时单位时捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为数称为捕捞强
7、度系数捕捞强度系数。 通常使用通常使用13mm13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞网眼的拉网，这种网只能捕捞3,43,4龄鱼，其两个捕捞系数之比为龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42:10.42:1。 1. 问题的提出问题的提出四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题192024年8月12日（1 1）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞( (即即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。 1. 问题的提出问题的提出
8、四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题202024年8月12日 2. 模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题（3 3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼；的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼；（4 4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；亡发生于产卵之后；（1 1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出；入与迁出；（2 2）各龄鱼
9、在一年的任何时间都会发生自然死亡；）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡； 2. 模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题（6 6）四龄以上的鱼全部死亡；）四龄以上的鱼全部死亡；（7 7）采用）采用固定努力量捕捞固定努力量捕捞即捕捞的速率正比于即捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系捕捞强度系数数。（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第变化是连续的，即第k年底的年底的i 龄鱼的条数等于龄鱼的条数等于第第k+1年初的年初的i+1龄
10、鱼的条数龄鱼的条数; 21222024年8月12日 2. 模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题232024年8月12日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解四、案例四、案例: :最优捕鱼策略问题最优捕鱼策略问题（1 1）无捕捞时鱼群的自然增长模型）无捕捞时鱼群的自然增长模型！无捕捞时无捕捞时鱼群会无限鱼群会无限的增长吗的增长吗？No!I dont know!各龄鱼都不会无限地增长！各龄鱼都不会无限地增长！242024年8月12日 （1）无捕捞时鱼群的自然增长模型）无捕捞时鱼群的自然增长模型3、模型的建立与求解、模型的建立与求解定义定义
11、252024年8月12日 (2) 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解、模型的建立与求解262024年8月12日 (2) 固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解、模型的建立与求解272024年8月12日1) 鱼群的增长规律求解求解(1)，(2)，并利用连续条件，并利用连续条件(3) 282024年8月12日2) 2) 捕捞量捕捞量将将(1)的的解解析析式式代代入入292024年8月12日3) 可持续性捕捞模型302024年8月12日3) 可持续性捕捞模型312024年8月12日3) 可持续性捕捞模型322024年8月12日3) 可持续性捕捞模型332024年8月12日3) 可持续性捕捞模型342024年8月12日3) 可持续性捕捞模型352024年8月12日!说明说明：问题（），请自己考虑。问题（），请自己考虑。吃点水果吃点水果下次再见！下次再见！
