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1、专题：探讨最值问题的解法专题：探讨最值问题的解法 教案教案教学目标：教学目标：1、熟练掌握最短路径的基本模型2、培养学生数形结合思想及转化思想3、培养学生逻辑思维能力教学过程：教学过程：一、 基础回顾:1、2、 “最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：(1）归于“两点之间的连线中，线段最短。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。二、经典考题剖析:引例：
2、已知：函数 y=kx3 经过点（1，1） ，当1x2 时，则函数值最大为，最小为 .例 1 、如图（1） ，平行四边形中， ，E 为 BC 上一动点(不与 B 重合）,作于，设的面积为当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？【观察与思考】【观察与思考】容易知道是的函数，为利用函数的性质求的最大值,就应先把关于的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。【说明】【说明】可以看出,函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。DA练习：略练习：略三、利用几何模型求最值三、利用几何模型求最值（1 1）归入“两点之间的连线中，线段最短”）归入“两点之间的连线中，线段最短”几何模型：几何模型：条件:如下图,
3、、是直线外的的两个定点F问题：在直线上确定一点,使的值最小BE方法： （1）点 A，B 位于直线的异侧：连结AB 交于点,则 PA+PB的值最小C（2）点 A,B 位于直线的同侧:作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小AB例 1 如图(1）所示，在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区，已知千米,直线与公路的夹角新开发区 B 到A公路的距离千米.（1）求新开发区 A 到公路的距离；lBP（2）现从上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明，不写作法,保留作图痕迹）,并求出此时的值。MN【观察与思考】【观察与思考】对于(1） ，直接归于
4、几何计算。对于（2）,首先利用“轴对称”的性质， OC把原题中的求“” 最短，转化成求“最短（其中是 A 关于的对点.答案： （千米）AA练习二:B（1）如图 1，正方形的边长为 2，为的中点， ，则的最小值是_；30NM（2）如图 2，的半径为 2，点在上， ， ，是上一动点，求的最小值；BDPCO(3)如图 3， （1)，在中,为边上一定点,（不与点 B，C 重合） ，为边上一动点，设的长为,请写出最小值，并说30NM明理由.DOC第1页（4）在平面直角坐标系中， 、两点的坐标分别为,。（1）若点的坐标为，当时,的周长最短；(2）若点、的坐标分别为、 ，则当时,四边形的周长最短.（5)如图
5、 4,，是内一点， ，分别是上的动点,求周长的最小值方法提示： （1）是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于;(2）A,C 位于 OB 同侧，作点 A 关于 OB 的对称点，连结 C，交 OB 于点 P；（3)P、C 位于 AB 同侧。 （4）第A2 问通过平移转化ABB（5）作点 P 关于 OB，OA 的对称点 P1，P2，连结 P1P2则 P1P2为所求周长最小值E总结：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之总结：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之CR和最短问题，总是化归到“两点
6、之间的所有连线中和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中, ,线段最短”线段最短” ，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”PACQO（2 2）归于“三角形两边之差小于第三边”）归于“三角形两边之差小于第三边”PB几何模型几何模型: :O条件：如下图,、是直线外的的两个定点QACBDP问题：在直线上确定一点，使的值最小图 4图 3图 1A，B 位于直线的同侧：连结AB 交于点，则此时方法:（1）点PAPB的值最大，最大值为线段AB图 2的长。（2)点 A,B 位于直线的异侧：作点关于直线的对称点，连结交于点，则此时 |PAPB的值最大，最大值为线段 B
7、的长.例 1 如图，直线与轴交于点C，与轴交于点 B，点 A 为轴正半轴上的一点，A 经过点 B 和点，直线 BC 交A 于点 D.（1)求点 D 的坐标；(2）过，C，D 三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点,使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 P 的坐标。若不存在，请说明理由。P答案：点 P 为时取最大值为。B练习三练习三1 （2010 年湖北恩施）恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡B谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧,、到直线的距离分别为和， 要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方
8、案，图 11（1）是方案一的示意图（与直线垂直，D垂足为） ，到、的距离之和,图 11（2)是方案二的示意图（点关于直线的对称点是,连接交直线于点） ，到、的A距离之和D（1）求、 ，并比较它们的大小；C（2）请你说明的值为最小；C(3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图 11（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、 ，使、 、 、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值2、已知，如图，抛物线与轴交于 A,B 两点,交轴于点在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小?若存在,求出点的坐标；若不存在，请说明理由。YA83、抛物线交轴于 A，B 两
9、点，交轴于点已知抛物线的对称轴为。6B4BA（1)求抛物线的解析式；BBAB2BQCD（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C 两点的距离之差最大？若存在,求出点的坐标;若不存2 4 x- -OA-CC在，请说明理由。AA-4. 4. （2009 舟山）如图，已知点A(4，8)和点 B（2，n)在抛物线上XOPPB 关于XX,求出点 Q 的坐PAQ+QB(1)求 a 的值及点x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q,使得最短图 11标；（1）图 11（2）图 11（3）(2）平移抛物线,记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B，点 C(-2，0)和点 D(-4
10、，0）是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时， AC+CB 最短,求此时抛物线的函数解析yA式;8当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长64最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由BB2解：解： （1) 将点 A（4,8）的坐标代入，解得DC将点 B(2，n)的坐标代入，求得点 B 的坐标为(2，2)，-4O2第2页A-2-2-44x(第 24 题(2)则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2,2)直线 AP 的解析式是 所求点 Q 的坐标是（，0） (2)解：CQ=-2-=,故将抛物线向左平移个单位时，AC+CB最短，此
11、时抛物线的函数解析式为左右平移抛物线， 因为线段 AB和 CD 的长是定值， 所以要使四边形 ABCD 的周长最短,只要使 AD+CB最短;1 分第一种情况：如果将抛物线向右平移,显然有 AD+CBAD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点 A和点 B的坐标分别为 A（4-b,8)和 B（2b，2)因为 CD=2，因此将点 B向左平移 2 个单位得 B(-b，2)，要使 AD+CB最短，只要使 AD+DB最短点 A关于 x 轴对称点的坐标为 A(4-b，-8）,直线 AB的解析式为要使AD+DB最短,点 D 应在直线 AB上，将点D(4,0）代入直线AB的解析式，解得故将抛物线向左平移时,存在某个位置，使四边形ABCD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为三：小结四:作业： 中考说明专题四五、教学反思第3页
