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1、第5章 平均指标平均指标与变异指标（1）1I.平均平均指标指标一、平均指标的概念 平均指标又称平均数，它是统计分析中最常用的统计指标之一。它反映了社会经济现象中某同质总体某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，或者反映某一总体、某一指标在不同时间上发展的一般水平(分布的集中趋势)。平均指标反映了总体分布的共性或一般水平，和标志变异指标一起分别从集中趋势和离中趋势两个方面来描述总体分布的特征。 次数分布数列中，多数变量值集中在平均数附近,所以用平均数代表一般水平。220152015年各国年各国人均人均GDPGDP341.同质性同质性，即总体内各单位的性质是相同的，如果各单位性质上存在
2、着差异，就不能计算平均数。2. 抽象性抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。3. 代表性代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表总体一般水平。二、平均指标具有三个特点：二、平均指标具有三个特点： 例：城镇居民收入和城镇人口 例：城镇居民平均收入 例：城市人均收入5作用1：可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和工作质量的好坏。6作用2：可以用来分析现象之间的依存关系。例如，分析施肥量和农作物平均产量的依存关系；劳动生产率和人均收入间的依存关系
3、。72000-2015年人均GDP变化作用3：可以用来对同一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律。如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区居民生活水平的发展趋势或规律。8作用4：可以估算和推算其他有关数字 例如：可以利用样本平均数推断总体平均数9四、平均指标的种类四、平均指标的种类平平均均指指标标静态平均数静态平均数动态平均数动态平均数位置平均数位置平均数数值平均数数值平均数几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数算术平均数算术平均数中位数中位数众数众数10（一）算术平均数（一）算术平均数算术平均数是计算平均指标最常用的方法，其基本公式是：算术平均数与强度相对数
4、的比较 算术平均数的计算有简单算术平均数和加权平均数之分。11其中：代表算术平均数，xi代表各单位标志值（变量值），n代表总体单位数（项数）。适用条件：当统计资料未分组时可用简单算术平均法计算；如果是组距式资料,则要计算组中值作为代表标志值进行计算。1、简单算术平均法计算公式：12例1：10个工人每日加工的零件数量为20,21,22,23,24,25,26, 28,29,32。10个工人的日平均零件加工数量为多少？日平均零件加工数量=(20+21+22+23+24+25+26+27+28+29)/10=2513计算公式：其中： 代表算术平均数，Xn 代表各单位标志值（变量值），fn代表各组单位
5、数（项数）。2 2、加权算术平均法、加权算术平均法14（1）根据单项数列计算）根据单项数列计算加权算术平均加权算术平均例2：职工日平均零件加工数量=(30*20+32*50+34*76+35*40+36*14)/（20+50+76+40+14）=33.44零件数（件）xi工人数（人）fi30203250347635403614产量=零件数*工人数Xi* *fi60016002584140050415例：某公司下属各店职工按工龄分组情况例：某公司下属各店职工按工龄分组情况 工龄工龄组中值组中值x 人人 数数 f一店一店二店二店三店三店四店四店五店五店02年年2 5年年5 10年年10 20年年1
6、.03.57.515.011117777252525251361010631（2）根据组距数列计算）根据组距数列计算加权算术平均加权算术平均例3：求各分店的员工平均工龄以及整个店员工平均年龄合计合计4281002020平均工龄平均工龄6.756.756.7510.3253.42516一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。结论：平均数水平高低受两个因素的影响：（1）变量 x（2）权数 f，绝对权数表现为次数、频数，相对权数表现为频率。计算如下：174 4 4 4、算术平均数的若干数学性质、算术平均数的若干数学性质、算术平均数的若干数学性质、算术平均数的若
7、干数学性质平均数与总体单位数的积等于标志总量若每个变量值 X 加减一任意常数，则平均数也增减一个若每个变量值 X乘以一任意常数，则平均数也乘以一个若每个变量值 X除以一任意常数，则平均数也除以一个各个变量值X与算术平均数的离差和为零各个变量值X与算术平均数的离差平方和为最小值185 5 5 5、交替标志平均数、交替标志平均数、交替标志平均数、交替标志平均数概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。表示形式： 1：具有某种属性的单位标志值。 0：不具有某种属性的单位标志值。 N：全部总体单位数。 N1：具有某种
8、属性的总体单位数。 N2：不具有某种属性的总体单位数。 P= N1 /N：具有某种属性的单位数所占的比重。 Q= N2 /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。 其中：P+Q=119比重权数公式计算交替标志的平均数：20（二）调和平均（二）调和平均数数调和平均数的概念及计算方法调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。21例题4：计算简单调和平均数轮船从甲地开往乙地，去时顺水行舟，船速为每小时100km，返回时逆水行舟，船速为每小时80km，求轮船的平均时速。22例题5：计算加权调和平均数A制造厂本月购进甲种材料三批，每批采购价格和采购金额如下，求本月购进甲种材料的平均价格。价格
9、（元/千克）Xi采购金额（元）Mi第一批5025000第二批5544000第三批601800023例题5：计算加权调和平均数A制造厂本月购进甲种材料三批，每批采购价格和采购金额如下，求本月购进甲种材料的平均价格。价格（元/千克）Xi采购金额（元）Mi采购量（千克）Mi/Xi第一批5025000500第二批5544000800第三批6018000300合计87000160024例题6：水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。问：（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？（2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？（4）
10、甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？25解答：解答：（1）（2）（3）（4）26例题7：自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？27解答：解答：28（2 2）调和平均数与算术平均数的比较）调和平均数与算术平均数的比较变量不同：算术平均数是x，调和平均数是 1/x。权数不同：算术平均数是f或n，代表次数（单位数），调和平均数是xf或M，代表标志总量。联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：29三、三、 几何平均法几何平均法（一）什么是几何平均法？几何平均法是n个变量连乘积的n次根。几何平均法一般适用于各变
11、量值之间存在环比关系的事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均法。1、简单几何平均法2、加权几何平均法30例例8 8：简单几何平均数：简单几何平均数 某地区5年计划期间，经济发展速速为，第一年104.1%,第二年107.7%，第三年110.5%，第四年114.0%，第五年118.0%，求出平均发展速度G。31例例9 9： 假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。32（二）应注意的问题（二）应注意的问题1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平均数为0。2、用环比指
12、数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。33四、众数和中位数四、众数和中位数（一）众数1.众数众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。2.适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。3.众数的计算方法（1）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最大）的标志值就是众数。（2）组距数列确定众数：在等距数列条件下，先确定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数点的标志值。344.4.计算公式：计算公式：公式1（上限公式）：用众数所在组的上限为起点值计算公式2（下限公式）：用众数所在
13、组的下限为起点值计算U为众数所在组组距的上限，L为众数所在组组距的下限，f 为众数所在组的次数，f-1 为众数所在组前一组次数， f+1 为众数所在组后一组次数，i 为组距。35例例 现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：到资料如下表所示：众数位于第三组L=800 U=1000 i=1000-800=200 244-16183 244-15787 耐用时间耐用时间产品个数（个）产品个数（个）600600以下以下8484600-800600-800161161800-1000800-10002442441000-12001000-1
14、2001571571200-14001200-1400363614001400以上以上1818合计合计70070036代入公式得： 37( (二二) )中位数中位数1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。2、计算方法 （1）由未分组资料确定中位数 排序：确定中位数位置 奇数：中间位置的标志值为中位数。 偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中位数。381.由未分组资料确定中位数中位数位置Om=n+1/2某生产小组7人产量（件），由低到高排列为：9,10,12,13,14,15,16，求中位数。Om=n+1/2=7+1/2=4 因此，
15、Me=13某生产小组10人产量（件），由低到高排列为：9,10, 10,11,12,14,15,15,16,16求中位数。Om=10+1/2=5.5Me=（12+14）/2=13392. 分组资料确定中位数（1）单项数列确定中位数 先计算数列累积次数，然后再确定中位数位置f为累计次数日产量（件）工人数（人）108151218202010226合计56累积次数820405056-40（2）由组距数列确定中位数第一步：确定中位数所处位置，按 确定（f为次数）。第二步：采用公式计算上限法：用“以上累计”法确定中位数。下限法：用“以下累计”法确定中位数。其中：U是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的
16、下限，fm是中位数所在组的次数，Sm+1是中位数所在组后面各组累计数， Sm-1是中位数所在组前面各组累计数，i是中位数所在组的组距。41例例 现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：得到资料如下表所示：耐用时间产品个数累计次数以下累计以上累计600以下8484700600-800161161245245（S Sm-1m-1) )616616800-1000244(fm)244(fm)4894894554551000-1200157157646646211 211 （S Sm+1m+1) )1200-140036682541400以上
17、1870018合计7004243五、计算和应用平均数的原则五、计算和应用平均数的原则一、只能在同质总体中计算。二、总平均数要与组平均数结合运用。三、平均数必须同绝对数和具体事例结合应用。441.1.1.1.众数、中位数、平均数的特点和应用众数、中位数、平均数的特点和应用众数、中位数、平均数的特点和应用众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用六、几种平均数的关系六、几种平均数的关系45（一）对称分布情况下（一）对称分布情况下（二）偏态分布情
18、况下（二）偏态分布情况下（三）三者近似关系（三）三者近似关系2.算术平均数、众数、中位数数值关系算术平均数、众数、中位数数值关系46众数、中位数和平均数的关系图示众数、中位数和平均数的关系图示左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数对称分布对称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值= = = = 中位数中位数中位数中位数= = = = 众数众数众数众数右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数 均值均值均值均值47练习题分别计算4月份和5月份工人日 产量的算数平均数、中位数和众数，并分析工人平均日产量变化的原因。日产量（kg）工人数（人）4月5月20以下201020-30352030-40302540-50103050及以上515合计10010048
