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1、晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质 凌福日 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学第第3.5节节 长波近似长波近似3.5.1 3.5.1 长声学波长声学波本节主要内容本节主要内容: :3.5.2 3.5.2 长光学波长光学波固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学在在3.13.1中中, ,我们从晶体中每个原子在其平衡位置我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近做微振动的观点（不再是连续介质）附近做微振动的观点（不再是连续介质）, ,推出晶推出晶格振动的声学波和光学波。格振动的声学波和光学波。对对长声学格波长声学
2、格波，其长波极限就是弹性波，即弹性，其长波极限就是弹性波，即弹性波与声学波在长波条件下，它们是必然的统一；波与声学波在长波条件下，它们是必然的统一； 晶体出现宏观极化，是晶体出现宏观极化，是长光学纵波长光学纵波振动模中离子振动模中离子的相对位移引起。的相对位移引起。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学本节讨论本节讨论 q 0、，即长声学波和长光学，即长声学波和长光学波的情况。波的情况。研究长波近似的目的：揭示固体宏观性质的微研究长波近似的目的：揭示固体宏观性质的微观本质观本质固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学3.5.1 3.5.1 长声学波长声学波固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学一
3、、长声学波一、长声学波在在3.1 3.1 中，中，以一维双原子链为例，当以一维双原子链为例，当q很小很小时，即时，即对于长波极限，得到声学波色散关系为对于长波极限，得到声学波色散关系为长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为长声学波的角频率与波矢存在线性关系，而长声学波的波速为长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。长声学波的波速为一常数，这些特性与晶体中的弹性波完成一致。：恢复力常数，：恢复力常数，2a：晶格常数。：晶格常数。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学1 1、长声学波波动方程、长声学波波动方程其试解为：其试解为：将（将（4 4）式代入（）式代入（3
4、 3），可得），可得对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的位相对于长声学波，邻近的若干原子以相同的振幅、相同的位相集体运动，集体运动，对于一维复式格子，对于一维复式格子，运动方程由下式表示运动方程由下式表示原子的分离坐原子的分离坐标( 2n+1)a固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学即即可得两种不同原子的振幅比可得两种不同原子的振幅比将将A/B、B/A和和先后代入（先后代入（5）式得到）式得到固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学对于于l为有限整数的情况，由有限整数的情况，由试解（解（4）式，可得）式，可得l为奇数时；为奇数时；l为偶数偶数时；由色散关系，可知当由色散关系，可知当q
5、0时， 0，由振幅比（，由振幅比（7）式，可）式，可得：得：固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学因此当因此当l为有限整数时，不论为有限整数时，不论l为奇数或偶数，都为奇数或偶数，都有有上式说明上式说明：n在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程在长声学波条件下，一维原子链不同原子的运动方程（8 8）实际可视为一个方程实际可视为一个方程，它们的一般表达式：，它们的一般表达式：邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相邻近（在波长范围内）的若干原子以相同振幅、相同位相集体运动。集体运动。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分从宏观上看，
6、原子的位置可视为准连续的，原子的分离坐标可视为连续坐标离坐标可视为连续坐标r，所以有，所以有于是，原子的运动方程可写为于是，原子的运动方程可写为上式为上式为标准的宏观弹性波的波动方程标准的宏观弹性波的波动方程，其中，其中是用微观参数表示的弹性波的波速。是用微观参数表示的弹性波的波速。如何求？如何求？如何求？如何求？固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学3.5.2 3.5.2 长光学波长光学波固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学极化：电介质内的正、负电荷做微观的相对移动，结极化：电介质内的正、负电荷做微观的相对移动，结果在电介质内部或表面出现带电的现象果在电介质内部或表面出现带电的现象 P =
7、Pe / V式中式中Pe 是分子电偶极矩，是分子电偶极矩， V 是电介质内宏观小、是电介质内宏观小、微观大的体积元。微观大的体积元。 P =0E 实验表明，在各向同性电介质中的任一点，实验表明，在各向同性电介质中的任一点，极化强度极化强度P和电场和电场E的方向相同且大小成正比的方向相同且大小成正比固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 波长很长的光学波：长光学波波长很长的光学波：长光学波晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动 波长很长的声学波：长声学波波长很长的声学波：长声学波
8、固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学离离子子晶晶体体的的光光学学波波描描述述原原胞胞中中正正负负离离子子的的相相对对运运动动。它它伴伴随随着着极极化化并并与与电电磁磁波波有有强强烈烈的的相相互互作作用用，并并影影响响长长光光学学模模的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。的频率，从而对离子晶体的电学与光学特性有重要影响。二、长光学波二、长光学波 3）正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化）正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化 1）离子晶体的光频频率）离子晶体的光频频率10-13s-1， 波长波长 原胞的原胞的线度线度2）长光波光频模能够对电磁波的传播产生重要的）长
9、光波光频模能够对电磁波的传播产生重要的影响影响固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学本本节节介介绍绍黄黄昆昆的的长长波波方方法法，讨讨论论由由离离子子晶晶体体的的宏宏观观特特性性确定长光学模频率。确定长光学模频率。1 1、离子晶体的宏观极化方程、离子晶体的宏观极化方程由由于于正正负负离离子子相相对对运运动动，电电荷荷不不再再均均匀匀分分布布，半半波波长长内内，正正离离子子组组成成的的布布喇喇菲菲原原胞胞同同向向位位移移，负负离离子子组组成成的的布布喇喇菲菲原原胞反向位移。胞反向位移。出现了以波长为周期的正负电荷集中的区域。出现了以波长为周期的正负电荷集中的区域。模模型型：设设每每个个原原胞胞中
10、中只只有有两两个个电电荷荷量量相相等等、符符号号相相反反的的离子。离子。 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学a) 纵模b) 横模正离子向左正离子向左正离子向左正离子向左E E固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学离子晶体的极化由两部分离子晶体的极化由两部分贡献构成献构成：离离子子位位移移极极化化:是是正正负离离子子的的相相对位位移移产生生的的电偶偶极极矩矩，这种种极极化化称称为离离子子位位移移极极化化，用用e*u表表示示； u为正正负离离子子的的相相对位移，位移， e*为离子的有效离子的有效电荷。荷。电子子位位移移极极化化:是是离离子子本本身身的的电子子云云在在有有效效电场作作用用下下发生
11、生畸畸变，即即离离子子本本身身也也成成了了电偶偶极极子子，这部部分分的的极极化化为电子位移极化子位移极化。 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学离子位移极化固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学一个原胞内的离子位移偶极矩为：一个原胞内的离子位移偶极矩为：对于长光学波，同种原子的位移相同，则：对于长光学波，同种原子的位移相同，则：固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学电子位移极化离离子子晶晶体体的的宏宏观观极极化化产产生生一一个个宏宏观观极极化化电电场场E，作作用用在在某某离离子子上上的的电电场场称称为为有有效效电电场场Eeff, ,有有效效电电场场等等于于宏宏观观电电场场减减去去该该离子本身
12、产生的电场。离子本身产生的电场。对对立立方方晶晶系系洛洛伦伦兹兹提提出出了了求求解解有有效效电电场场Eeff的的一一个个方方法法，由理论分析得到：由理论分析得到：其中其中P为宏宏观极化极化强强度。度。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学离子总的位移极化固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学再考虑离子的运动方程再考虑离子的运动方程固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学原胞中的两个正负离子质量原胞中的两个正负离子质量两个正负离子的位移两个正负离子的位移描述长光学波运动的宏观量描述长光学波运动的宏观量 原胞体积原胞体积折合质量折合质量固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学黄昆方程黄昆方程固体物理-
13、徐智谋晶格振动和晶体的热力学 正负离子相对运动位移产生的极正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化化和宏观电场产生的附加极化 离子相对运动的动力学方程离子相对运动的动力学方程 宏观极化强度和宏观电场强度宏观极化强度和宏观电场强度固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学黄昆方程具有平面波形式的解黄昆方程具有平面波形式的解则可可以以把把格格波波的的纵向向位位移移和和横横向向位位移移分分开开，即即位位移移W与与波波矢矢q相相垂垂直直的的部部分分构构成成横横波波WT，位位移移W与与波波矢矢q平平行行的的部部分分构构成成纵波波WL ：从黄昆方程可以看出，格波与电场耦合在一起，这种从黄昆方程
14、可以看出，格波与电场耦合在一起，这种耦合波具有何种特点？耦合波具有何种特点？固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学n横横波波WT是是等等容容波波，它它不不引引起起晶晶体体体体积的的压缩或或膨膨胀，其其散散度度为零；零；n纵波波WL是无旋波，其旋度是无旋波，其旋度为零；零；n晶体内无自由晶体内无自由电荷，荷，电位移矢量位移矢量D无散。无散。n横光横光频模不模不产生退极化生退极化场(忽略横向极化伴随的有旋忽略横向极化伴随的有旋场)。因此有以下关系：因此有以下关系：将静电方程与黄昆方程联合求解：将静电方程与黄昆方程联合求解：固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学即即l 将黄昆公式（将黄昆公式（b）极
15、化）极化强强度度P和（和（8）式代入（）式代入（9）式（）式（c）中得中得又由静电场性质，对于无旋电场又由静电场性质，对于无旋电场固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学所以所以上式表明：上式表明：纵纵波波电电场场趋趋向向于于减减小小纵纵向向位位移移，从从而而增增加加了了纵纵向向振振动动的的恢恢复力，因此，提高了光学波的纵向频率复力，因此，提高了光学波的纵向频率。l l 把（把（8）式和（）式和（10）式代入黄昆公式（）式代入黄昆公式（a），可得），可得固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学对横光学波，若不考虑涡旋电场，即在静电近似下，对横电场有对横光学波，若不考虑涡旋电场，即在静电近似下，对横
16、电场有将（将（11）式的有旋）式的有旋场和无旋和无旋场分开，得到分开，得到横向光学支格波在晶体中并不引起宏观的极化电场横向光学支格波在晶体中并不引起宏观的极化电场上两式都是上两式都是简谐振振动方程，其中（方程，其中（a）代表横向振）代表横向振动方程，方程，（b）代表）代表纵向振向振动方程。方程。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学由由（a）式式，可可得得横横波波振振动频率率；由由（b）式式，可可得得到到纵波波振振动频率率为了把黄昆系数和晶体的介电系数联系起来，考虑两种极端的为了把黄昆系数和晶体的介电系数联系起来，考虑两种极端的情况：情况：固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学（1）对于静于静
17、电场，这表示正、负离子仅仅产生静态相对这表示正、负离子仅仅产生静态相对位移位移，并不振，并不振动。此。此时，黄昆方程（，黄昆方程（a）式）式变成：成：将上式代入黄昆方程（将上式代入黄昆方程（b）式，得到）式，得到将上式与静电学极化公式比较将上式与静电学极化公式比较可得可得黄昆方程黄昆方程固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学其中其中是离子晶体的是离子晶体的相对静电介电常数相对静电介电常数。（2）对于光于光频振振动时的介的介电极化，由于离子的运极化，由于离子的运动跟不上跟不上迅速迅速变化的外力，其位移化的外力，其位移W0，由，由黄昆方程（黄昆方程（b）式）式，得到，得到由（由（15）、（）、（1
18、6）式得到）式得到将（将（1616）、（）、（1717）式代入（）式代入（1313）式）式( (频率公式频率公式) )，得到，得到高频介电常数固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学（1 1）由由（1515）、（1616）可可知知 ，因因此此纵光光学学波波频率率LO总是大于横光学波的是大于横光学波的频率率TO。上式称上式称为LST关系关系，它表示光学波的它表示光学波的纵波波频率与横波率与横波频率之率之间存在非常存在非常简单的关系的关系。由此可得两个重要由此可得两个重要结论：这是是由由于于长光光学学纵波波伴伴随随有有一一个个宏宏观电场，增增加加了了恢恢复复力，从而提高了力，从而提高了纵波的波的频率
19、。率。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学把趋于零的把趋于零的由（由（1818）可知，当）可知，当即产生所谓的自发极化。即产生所谓的自发极化。的振动模式为铁电软模，因为这一现象是在研的振动模式为铁电软模，因为这一现象是在研究铁电材料时发现的。究铁电材料时发现的。（2）对于非离子晶体，晶格振于非离子晶体，晶格振动不不产生位移极化生位移极化由（由（13）式）式可知可知固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学严格讲，离子晶体长光学波的振动必然伴随交变的电磁场，因此严格的理论应当是以麦克斯韦的电磁方程与晶格的唯象方程相结合，实际上所研究的对象就成为晶格的长光学振动与电磁场耦合的系统，通过求解得到的振动
20、模实际上代表了格波与光波的耦合振动模。电磁耦合子固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学下面写出描写光波的麦克斯韦组和晶格的唯象方程固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学1）纵波： 上式就是著名的 LST关系固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学2)横波： 所以有当 时，即因此 ， ， 三者相互垂直固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学离子晶体中长光学横波与光子的耦合模离子晶体中长光学横波与光子的耦合模固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学必须指出的是，这里的解考虑了格波与电磁波的耦合，格波产生晶体的极化，极化与电磁波相互作用，这两种波互相耦合出来新的耦合波
21、模式。在q趋于0时，趋于趋于固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学在 | q |很大时，趋于趋于固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学只有在与两根线与和相交的区域附近，耦合很强，出现的是电磁波与格波的混合模式。而是“禁止区”在这个区域，电磁波不能在晶体中传播，以这种频率的光波入射时将在边界被反射。固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学晶体中存在长光学纵波晶体中存在长光学纵波( LO )和长光学横波和长光学横波( TO ) 长光学纵波声子称为极化声子长光学纵波声子称为极化声子( LO )，长光学纵波伴，长光学纵波伴 随有宏观的极化电场随有宏观的极化电场 长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，电磁声子
22、长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，电磁声子 ( TO )长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合 极化声子极化声子 _纵光学声子纵光学声子固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量不同频率的振动模对应不同的能量给定晶体，总的振动模数目是一定的给定晶体，总的振动模数目是一定的按振动频率分布按振动频率分布 用晶格振动模式密度来描述用晶格振动模式密度来描述 从振动模式密度，研究晶体热容、电学和光学性质从振动模式密度，研究晶体热容、电学和光学性质晶格振动模式密度晶
23、格振动模式密度 单位频率间隔，振动模式的数单位频率间隔，振动模式的数目目 格波的频谱密度（格波的简正模）格波的频谱密度（格波的简正模）固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度两个等频率面两个等频率面 和和之间的振动模式数目之间的振动模式数目 频率是频率是 q 的连续函数的连续函数根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学之间振动模式数目之间振动模式数目固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学4.7晶格比热 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学晶格振动的研究晶格振动的研究 晶体的热
24、学性质晶体的热学性质 固体热容量固体热容量 热运动是晶体宏观性质的表现热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律 一摩尔固体有一摩尔固体有N个原子，有个原子，有3N个振动自由度，按能个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量摩尔热容量总的内能总的内能固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学晶格振动晶格振动 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础研究固体宏观性质和微观过程的重要基础晶格振动晶格振动 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系导电性、磁性、结构相
25、变有密切关系 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降摩尔热容量摩尔热容量 与温度无关与温度无关 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学固体的定容热容固体的定容热容 固体的平均内能固体的平均内能固体内能固体内能 晶格振动的能量和电子热运动的能量晶格振动的能量和电子热运动的能量实验结果实验结果 低温下金属的热容低温下金属的热容 温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献 电子对比热的贡献电子对比热的贡献 晶格振动对比热的贡献晶格振动对比热的贡献固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的
26、热力学 一个频率为一个频率为 j的的振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级振动模由一系列量子能级 组成组成 子体系子体系子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率晶格振动对热容的贡献晶格振动对热容的贡献 量子理论量子理论固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 与晶格振动频率和温度有关与晶格振动频率和温度有关 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学高温极限高温极限 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献 忽略不计忽略不计固体物理-徐
27、智谋晶格振动和晶体的热力学低温极限低温极限 与实验结果相符与实验结果相符 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量晶体总的热容晶体总的热容固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学1 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率 0振动振动 热容热容总能量总能量固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学爱因斯坦温度爱因斯坦温度 选取合适的选取合适的 E值，在较大温度变化的范围内，理论计值，在较大温度变化的范围内，理论计 算的结果和实验结果相当好地符
28、合算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学金刚石金刚石理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学温度较高时温度较高时 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符晶体热容晶体热容固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学温度非常低时温度非常低时 按温度的指数形式降低按温度的指数形式降低 实验结果实验结果 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别晶体热容晶体热容固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学2 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性
29、波来代表格波年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 有有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模 不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V: 晶体体积晶体体积 波矢波矢q允许的取值在允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子空间形成了均匀分布的点子体积元态的数目体积元态的数目 q是近连续变化的是近连续变化的状态数目状态数目球层球层固体物理-徐智谋
30、晶格振动和晶体的热力学频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容一个振动模的热容 晶体总的热容晶体总的热容 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学频率在频率在 之间，纵波数目之间，纵波数目频率在频率在 之间，格波数目之间，格波数目频率在频率在 之间，横波数目之间，横波数目波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的数目之间的振动方式的数目固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学频率分布函数频率分布
31、函数格波总的数目格波总的数目频率在频率在 间，格波数目间，格波数目晶体总的热容晶体总的热容 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学德拜温度德拜温度晶体总的热容晶体总的热容 令令固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学在高温极限下在高温极限下 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致德拜热容函数德拜热容函数晶体总的热容晶体总的热容 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学低温极限低温极限 T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时，主要的只有长波格波的激发温度很低时，主要的只有长波格波的激发晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容
32、固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学非线性简谐固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学格波的频谱密度（格波的简正模）格波的频谱密度（格波的简正模）固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学波矢波矢波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积倒格子原胞体积状态密度状态密度固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量不同频率的振动模对应不同的能量给定晶体，总的振动模数目是一定的给定晶体，总的振动模数目是一定的按振动频率分布按振动频率分布 用晶格振动
33、模式密度来描述用晶格振动模式密度来描述 从振动模式密度，研究晶体热容、电学和光学性质从振动模式密度，研究晶体热容、电学和光学性质晶格振动模式密度晶格振动模式密度 单位频率间隔，振动模式的数单位频率间隔，振动模式的数目目 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度两个等频率面两个等频率面 和和之间的振动模式数目之间的振动模式数目 频率是频率是 q 的连续函数的连续函数根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学之间振动模式数目之间振动模式数目固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学单位体
34、积中原子的总自由度：单位体积中原子的总自由度：对于声频支格波：对于声频支格波：固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学在在 的一些点的一些点奇点奇点 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点_布里渊区边界布里渊区边界 这些临界点与晶体的对称性密切相联这些临界点与晶体的对称性密切相联固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学4.8晶体物态方程和热膨胀 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学3.10 晶格的状态方程和热膨胀晶格的状态方程和热膨胀 晶体自由能函数晶体自由能函数根据根据 得到晶格的状态方程得到晶格的状态方程自由能函数自由能函数配分函数配分函数 能级包含平衡时晶格能量和
35、各格波的振动能能级包含平衡时晶格能量和各格波的振动能 对所有晶格的能级相加对所有晶格的能级相加固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学配分函数配分函数自由能函数自由能函数固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 晶体体积晶体体积V改变时，格波的频率也要变化改变时，格波的频率也要变化因此因此格临爱森近似计算格临爱森近似计算对所有的振动相同对所有的振动相同 格临爱森常数格临爱森常数固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学晶格的平均振动能晶格的平均振动能晶体的状态方程晶体的状态方程晶体的热膨胀晶体的热膨胀晶体在晶体在p=0下，体积随温度的变化下，体积随温度的变化 原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰
36、勒级原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰勒级数展开数展开压强压强固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学第一项第一项 静止晶格的体变模量静止晶格的体变模量 热膨胀系数热膨胀系数 格临爱森定律格临爱森定律 保留至第二项保留至第二项固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学4.9 晶格的热传导 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学3.11 晶格的热传导晶格的热传导 如果在晶体中存在温度梯度如果在晶体中存在温度梯度能流密度能流密度 单位时间内通过单位面积的热能单位时间内通过单位面积的热能 不不考考虑虑电电子子对对热热传传导导的的贡贡献献，晶晶体体中中的的热热传传导导主主要要依依靠声子来完成靠声子来
37、完成 为晶体的热导系数为晶体的热导系数固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 固固体体中中存存在在温温度度梯梯度度时时，“声声子子气气体体”的的密密度度分分布布是不均匀的是不均匀的 这这些些声声子子通通过过和和晶晶体体中中其其它它声声子子发发生生碰碰撞撞，总总使使得得温度较低的区域具有同样的温度较低的区域具有同样的“声子声子”密度密度 因因而而“声声子子”在在无无规规则则运运动动的的基基础础上上产产生生定定向向运运动动 声声子子的的扩扩散散运运动动，相相应应的的热热量量从从晶晶体体较较高高温温度度区区域域传传到到温温度较低区域度较低区域 温温度度较较高高的的区区域域将将有有产产生生较较多多的的
38、振振动动模模式式和和具具有有较较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子声子”密度高密度高固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学原子的振动原子的振动 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波晶格振动在晶体中形成了各种模式的波简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密 顿量之和顿量之和这些谐振子的能量量子，称为声子这些谐振子的能量量子，称为声子晶格振动的总体可看作是声子的系综晶格振动的总体可看作是声子的系综 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的 振振 动模式动
39、模式这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学二维布里渊区二维布里渊区 正方格子的布里渊区正方格子的布里渊区 正方格子的基矢正方格子的基矢倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点垂直平分线方程垂直平分线方程 第一布里渊区第一布里渊区大小大小固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 第二布里渊区第二布里渊区由由4个倒格点个倒格点 第二布里渊区大小第二布里渊区大
40、小的的垂垂直直平平分分线线和和第第一一布里渊区边界所围成布里渊区边界所围成固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学由由4个倒格点个倒格点 第三布里渊区第三布里渊区第三布里渊区大小第三布里渊区大小的的垂垂直直平平分分线线和和第第二二布布里渊区边界边界所围成里渊区边界边界所围成固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状 每个布每个布里渊区经过适里渊区经过适当的平移之后当的平移之后和第一布里渊和第一布里渊区重合区重合 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 二维斜格子其它布里渊区的形成二维斜格子其它布里渊区的形成 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学 二维斜格子其它布里渊区的形状二维斜格子其它布里渊区的形状 每个布里每个布里渊区经过适当渊区经过适当的平移之后和的平移之后和第一布里渊区第一布里渊区重合重合 固体物理-徐智谋晶格振动和晶体的热力学
