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1、第五章第五章组 合 变 形Chapter FiveChapter FiveCombinedCombined deformationsdeformations2 . 2 . 2 . 应变状态分析应变状态分析应变状态分析应变状态分析应变状态分析应变状态分析4 . 4 . 4 . 强度理论强度理论强度理论强度理论强度理论强度理论本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求背景材料背景材料背景材料背景材料背景材料背景材料序言序言序言序言序言序言1 . 1 . 1 . 应力状态分析应力状态分析应力状态分析
2、应力状态分析应力状态分析应力状态分析3 . 3 . 3 . 广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律5 . 5 . 5 . 组合变形杆件的强度计算组合变形杆件的强度计算组合变形杆件的强度计算组合变形杆件的强度计算组合变形杆件的强度计算组合变形杆件的强度计算组合变形内力内力应力应力强度强度变形变形刚度刚度超静定超静定Internal Internal forcesforcesstressstressstrengthstrengthDeformDeformationationstiffnessstiffnessStaticallyStatically indeter
3、minate indeterminateproblemsproblems材材材材 料料料料 力力力力 学学学学 主主主主 要要要要 内内内内 容容容容拉压扭转弯曲组合变形内力内力应力应力强度强度变形变形刚度刚度超静定超静定Internal Internal forcesforcesstressstressstrengthstrengthDeformDeformationationstiffnessstiffnessStaticallyStatically indeterminate indeterminateproblemsproblems2 . 2 . 2 . 应变状态分析应变状态分析应变状
4、态分析应变状态分析应变状态分析应变状态分析1 . 1 . 1 . 应力状态分析应力状态分析应力状态分析应力状态分析应力状态分析应力状态分析3 . 3 . 3 . 广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律广义虎克定律4 . 4 . 4 . 强度理论强度理论强度理论强度理论强度理论强度理论5 . 5 . 5 . 组合变形杆件组合变形杆件组合变形杆件组合变形杆件组合变形杆件组合变形杆件的强度计算的强度计算的强度计算的强度计算的强度计算的强度计算材材材材 料料料料 力力力力 学学学学 主主主主 要要要要 内内内内 容容容容基本要求基本要求 1. 清楚一点应力状态的概念清楚一点应力状
5、态的概念 ; 理解主应力的意义理解主应力的意义 ; 掌握平面应力状态的分析方法掌握平面应力状态的分析方法 ; 能正确计算平面应能正确计算平面应力状态的主应力和主方向力状态的主应力和主方向 ; 能正确计算最大切应力能正确计算最大切应力 .2. 了解一点应变状态的概念了解一点应变状态的概念 ; 理解主应变的意义理解主应变的意义 ; 掌握平面应力状态的应变分析方法掌握平面应力状态的应变分析方法 ; 能正确计算平能正确计算平面应力状态的主应变和主应变方向面应力状态的主应变和主应变方向 .3. 掌握广义虎克定律以及其应用掌握广义虎克定律以及其应用 .5. 理解强度准则的概念理解强度准则的概念 ; 了解四
6、种常用强了解四种常用强度准则的思想和方法度准则的思想和方法 ; 能正确的应用强度准能正确的应用强度准则判别危险点的安全性则判别危险点的安全性 .6. 掌握各种组合变形的强度计算掌握各种组合变形的强度计算 ; 记忆几组记忆几组重要的公式重要的公式 .4. 记住上述内容中的五组重要公式记住上述内容中的五组重要公式 .MMA AB BT TN NPrefacePrefaceTwo or three basic deformations are combined Two or three basic deformations are combined Two or three basic deform
7、ations are combined together in a bar , this kind of deformation is together in a bar , this kind of deformation is together in a bar , this kind of deformation is called combined deformation .called combined deformation .called combined deformation .A AA A组合变形组合变形组合变形组合变形1. 组合变形的概念组合变形的概念 (concept
8、of combined deformations) 危险点的应力情况危险点的应力情况(stresses at dangerous point)MMA AB BT TN NB BB B complex stress complex stress complex stress statestatestate复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态工程中所能遇见的工程中所能遇见的工程中所能遇见的工程中所能遇见的工程中所能遇见的工程中所能遇见的最复杂的应力情况最复杂的应力情况最复杂的应力情况最复杂的应力情况最复杂的应力情况最复杂的应力情况组合变形组合变形组合变形组合变形Strength of
9、materials at one point Strength of materials at one point 2. 一一点处材料的强度点处材料的强度 注意注意: : 杆件的强度杆件的强度分析实质上是分析分析实质上是分析危险点的强度危险点的强度! ! 则杆件安全则杆件安全则杆件安全则杆件安全 则杆件不安全则杆件不安全则杆件不安全则杆件不安全问题问题问题问题: : 材料力学这样分析杆件材料力学这样分析杆件材料力学这样分析杆件材料力学这样分析杆件的安全性问题是基于什么思想的安全性问题是基于什么思想的安全性问题是基于什么思想的安全性问题是基于什么思想? ?Strength of material
10、s at one point Strength of materials at one point (1) 拉压及梁弯曲最大正应力点拉压及梁弯曲最大正应力点(2) 扭转及梁弯曲最大切应力点扭转及梁弯曲最大切应力点2. 一一点处材料的强度点处材料的强度 Simple stress stateSimple stress state 简单应力状态简单应力状态简单应力状态简单应力状态简单应力状态简单应力状态杆件安全杆件安全杆件安全杆件安全杆件安全杆件安全杆件安全杆件安全A危险点危险点危险点危险点A危险点危险点危险点危险点简单拉压简单拉压简单拉压简单拉压纯剪切纯剪切纯剪切纯剪切即使是处于简单应力状态下的
11、点即使是处于简单应力状态下的点 , 其破坏有时也具有复杂性其破坏有时也具有复杂性 :A脆性材料脆性材料 ( brittle materials)A切应力过大而破坏切应力过大而破坏切应力过大而破坏切应力过大而破坏拉应力过大而破坏拉应力过大而破坏拉应力过大而破坏拉应力过大而破坏Shearing stress over its limiteShearing stress over its limiteNormal stress over its limiteNormal stress over its limite塑性材料塑性材料 ( plastic materials)压应力达到屈服应力压应力达到
12、屈服应力压应力达到屈服应力压应力达到屈服应力而强度失效而强度失效而强度失效而强度失效Normal stress over its limiteNormal stress over its limiteA切应力过大而破坏切应力过大而破坏切应力过大而破坏切应力过大而破坏Shearing stress over its limiteShearing stress over its limiteResults:(1) The strength of materials at one point is relation to its mechanic behaviors.(2) The strength
13、 of materials at one point is relation to the stresses of this point, many times relation to the stresses along the slope directions.(3) The strength of materials at one point is relation to some maxium stresses of this point.结论结论:(1) 材料一点处的强度与材料的力学性能有关材料一点处的强度与材料的力学性能有关.(2) 材料一点处的强度与该点的应力情况有关材料一点处的
14、强度与该点的应力情况有关 , 而且很多而且很多时候与斜方位的应力有关时候与斜方位的应力有关 .(3) 材料一点处的强度与该点的某种最大应力有关材料一点处的强度与该点的某种最大应力有关.(3) 组合变形危险点组合变形危险点 A 点在什么情况下安全点在什么情况下安全又在什么情况下危险又在什么情况下危险?Complex stress stateComplex stress state 复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态A危险点危险点危险点危险点A安全安全安全安全A安全安全安全安全问题问题 : 线弹性小变形条件下线弹性小变形条件下线弹性小变形条件下线弹性小变形条件下, ,材料力学问题的哪
15、材料力学问题的哪材料力学问题的哪材料力学问题的哪些量是可以叠加的些量是可以叠加的些量是可以叠加的些量是可以叠加的? ? 判断判断: 由叠加由叠加原理原理, A点安全点安全. 可以这样判断吗可以这样判断吗? ?(3) 组合变形危险点组合变形危险点 A 点在什么情况下安全点在什么情况下安全又在什么情况下危险又在什么情况下危险?Complex stress stateComplex stress state 复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态A危险点危险点危险点危险点实质上问题就是实质上问题就是 : 杆件抵抗不同变形的强度是杆件抵抗不同变形的强度是杆件抵抗不同变形的强度是杆件抵抗不同变
16、形的强度是否可以叠加否可以叠加否可以叠加否可以叠加? ?安全安全安全安全安全安全安全安全安全吗安全吗安全吗安全吗? ?问题问题问题问题( (QuestionQuestion) ) : :Is the point A in safety or not ?Is the point A in safety or not ? A A 点安全吗点安全吗点安全吗点安全吗? ?A危险点危险点危险点危险点When : 问题问题: A 点的点的安全性由什么安全性由什么来决定来决定? A 点在什么情况下安全点在什么情况下安全又在什么情况下危险又在什么情况下危险?Complex stress stateComple
17、x stress state 复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态复杂应力状态(3) 组合变形危险点组合变形危险点 AcoordingAcoordingAcoording to the test the point to the test the point to the test the point A perhaps is not in safety .A perhaps is not in safety .A perhaps is not in safety .但根据实验但根据实验 , 图示应力情况可能不安全图示应力情况可能不安全 ! AWhen : A 点如果绝对安全点如果绝对安全 本
18、章内容就是完全不必要的本章内容就是完全不必要的 !To answer this question , we must construct the To answer this question , we must construct the To answer this question , we must construct the strength criteria for the complex stress state againstrength criteria for the complex stress state againstrength criteria for the c
19、omplex stress state again . . .要回答这个问题要回答这个问题,我们必须重新建立处于复杂应力我们必须重新建立处于复杂应力状态下的点状态下的点 A 的强度准则的强度准则 . 也即杆件抵抗不同变形的强度一般是不能叠加的也即杆件抵抗不同变形的强度一般是不能叠加的.于是材料力学必须回答于是材料力学必须回答: 它在什么情况下安它在什么情况下安全全?又在什么情况下不安全又在什么情况下不安全?In order to analysis the strength of a point In order to analysis the strength of a point In or
20、der to analysis the strength of a point whose stress state is complex , first we must whose stress state is complex , first we must whose stress state is complex , first we must analysis the stresses of this point , next analysis the stresses of this point , next analysis the stresses of this point
21、, next construct its broken criteria , then we can construct its broken criteria , then we can construct its broken criteria , then we can know the point is safe or not in strength .know the point is safe or not in strength .know the point is safe or not in strength .组合变形杆件刚度方面的安全性由于各种基本组合变形杆件刚度方面的安
22、全性由于各种基本变形之间不存在耦合效应变形之间不存在耦合效应 , 因此其刚度条件如因此其刚度条件如前面几章所述前面几章所述 , 本章不再重复本章不再重复 .为了分析处于复杂应力状态下的点的强为了分析处于复杂应力状态下的点的强度度 , 首先要分析该点的应力情况首先要分析该点的应力情况 , 其次其次要建立该点的破坏准则要建立该点的破坏准则 , 然后才可知道然后才可知道该点是否安全该点是否安全 .所以本章的主要任务就是所以本章的主要任务就是: (1) 进行应力状态分析进行应力状态分析. (2) 建立处于复杂应力状态下的点的强度准则建立处于复杂应力状态下的点的强度准则. (3)计算组合变形杆件的强度计
23、算组合变形杆件的强度.1. 1. 应力状态分析应力状态分析应力状态分析应力状态分析Analysis of stresses1.1 一点应力状态概念一点应力状态概念Concept of general stress state at one pointConcept of general stress state at one pointConcept of general stress state at one point就是过该点的所有平面上的应力情况就是过该点的所有平面上的应力情况! 如果一点应力情况的总和是已知的如果一点应力情况的总和是已知的 , 则说则说该点的应力状态是确定的或已知的该
24、点的应力状态是确定的或已知的. Definition:Definition:Definition: TheTheThe situation of whole stresses at situation of whole stresses at situation of whole stresses at one point is one point is one point is called called called stress state stress state stress state ofofof this point this point this point . . .应力情
25、况的总和是什么意思应力情况的总和是什么意思? ? 结构一点处应力情况的总和称为一点应力状态结构一点处应力情况的总和称为一点应力状态. . If the stresses on all planes cross one If the stresses on all planes cross one If the stresses on all planes cross one point are known , we say the stress state point are known , we say the stress state point are known , we say th
26、e stress state at this point is determinedat this point is determinedat this point is determined . . . x xxz zzy yy即即 : 如果过该点的所有平面上的如果过该点的所有平面上的应力都已知应力都已知 , 则说该点的应力状则说该点的应力状态是确定的或已知的态是确定的或已知的 . 问题问题: 一点应力状态是一个物理量，一点应力状态是一个物理量，怎样描述它怎样描述它 ？ 首先首先,不可能采用将无穷多个平面上的应力罗不可能采用将无穷多个平面上的应力罗列起来的方法来描述一点应力状态列起来的方法来
27、描述一点应力状态 ！通常描述一个物理量用数字通常描述一个物理量用数字 温度温度 ：一个数：一个数 - 标量标量 速度速度 ：三个数：三个数 -矢量矢量一点应力状态一点应力状态 ：几个数：几个数 ？又是什么数学量？又是什么数学量?必须另想办法必须另想办法!是否有这种可能是否有这种可能 ：知道过一点处几个特知道过一点处几个特殊平面上的应力殊平面上的应力 ，而过该点的其它任意，而过该点的其它任意平面上的应力可以用这几个特殊平面上平面上的应力可以用这几个特殊平面上的应力表示。这样一点应力状态也就是的应力表示。这样一点应力状态也就是已知的或确定的了！已知的或确定的了！事实的确如此事实的确如此 ！The
28、general stress state at one point can be represented by the stresses on any three planes which is vertical to each other .如果知道一点处如果知道一点处任意任意三个相互垂直的平面上的三个相互垂直的平面上的应力应力 , 则该点的应力状态就是确定的则该点的应力状态就是确定的.That means the stresses on other planes can be That means the stresses on other planes can be That means
29、 the stresses on other planes can be represented by the stresses on these three planes represented by the stresses on these three planes represented by the stresses on these three planes , so the stress state at this point is determined ., so the stress state at this point is determined ., so the st
30、ress state at this point is determined .x xxy yyz zz只要知道一点处只要知道一点处任意任意三个相互垂直的平面上的应力三个相互垂直的平面上的应力 , 则过该点的其它平面上的应力可以用该三个平面上则过该点的其它平面上的应力可以用该三个平面上的应力表示出来的应力表示出来 .于是该点的应力状态就是确定的于是该点的应力状态就是确定的 .x xxy yyz zzx xxy yyz zzx xxy yyz zz(1) 应力状态矩阵应力状态矩阵 xzxzxz xyxyxy x xx yxyxyx yzyzyz y yyx xxy yyz zz z zz zyz
31、yzy zxzxzx应力状态矩阵应力状态矩阵 ( stress state matrix ) 一点一点应力状态的数学描述应力状态的数学描述(2) 单元体单元体 xzxzxz xyxyxy x xx yxyxyx yzyzyz y yyx xxy yyz zz z zz zyzyzy zxzxzx 一点一点应力状态的几何描述应力状态的几何描述结论结论: : 一点应力状态可用该点处任意一一点应力状态可用该点处任意一个单元体微分面上的应力表示个单元体微分面上的应力表示So the general stress So the general stress So the general stress s
32、tate state state at at at one point can one point can one point can be represented by stresses on the faces of be represented by stresses on the faces of be represented by stresses on the faces of any element at this pointany element at this pointany element at this point . . .AA任意任意 一点应力状态的数学描述一点应力
33、状态的数学描述 一点应力状态的几何描述一点应力状态的几何描述(3) 应力状态的分应力状态的分类类 1) 三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态General stress state or three-dimensional stress state General stress state or three-dimensional stress state General stress state or three-dimensional stress state (a) : 第一种分类方第一种分类方法法AA2) 平面（双向）应力状态平面（双向）应力状态( Plane or two-dim
34、ensional stress state )( Plane or two-dimensional stress state )3) 单向应力状态单向应力状态( one-dimensional stress state )( one-dimensional stress state )( one-dimensional stress state )(b) : 第二种分类方法第二种分类方法1) 简单应力状态简单应力状态ATension or compressionTension or compressionTension or compressionPure shearingPure shear
35、ingPure shearing2) 复杂应力状态复杂应力状态其它应力状态其它应力状态其它应力状态其它应力状态Simple stress Simple stress Simple stress state state state Complex Complex Complex stress stress stress state state state A注意注意: : 纯剪切是纯剪切是双向应力状态双向应力状态!A AA( (b) 第二种规定第二种规定 ( 材料力学规定材料力学规定 )切应力与第一种规定切应力与第一种规定相反时为正相反时为正 AA A材料力学采用第二种规定材料力学采用第二种规定
36、 x xy y( (b) 第二种规定第二种规定 ( 材料力学规定材料力学规定 )切应力切应力: : 单元体右边面上的单元体右边面上的切应力向下为正向上为负切应力向下为正向上为负.问题问题: : 为什么材料力学采用为什么材料力学采用这种切应力的正负号规定这种切应力的正负号规定?切应力与第一种规定切应力与第一种规定相反时为正相反时为正 x xy y数学描述数学描述数学描述数学描述几何描述几何描述几何描述几何描述A例例: 足球射门中的材料力学问题足球射门中的材料力学问题足球射门中的材料力学问题足球射门中的材料力学问题. .分析和讨论分析和讨论: 球门的危险截面在哪里球门的危险截面在哪里球门的危险截面
37、在哪里球门的危险截面在哪里? ?危险点危险点危险点危险点在哪里在哪里在哪里在哪里? ?危险点的应力状态是怎样的危险点的应力状态是怎样的危险点的应力状态是怎样的危险点的应力状态是怎样的? ?平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态危险截面在固定端处危险截面在固定端处危险截面在固定端处危险截面在固定端处危险截面在固定端处危险截面在固定端处1.2 主单元体与主应力概念主单元体与主应力概念Concepts of principal element and principal stressesConcepts of principal element and princi
38、pal stressesConcepts of principal element and principal stresses 由于由于一点应力状态可用该点处一点应力状态可用该点处任意任意一个单元体一个单元体微分面上的应力表示微分面上的应力表示 ，所以一点应力状态可以有，所以一点应力状态可以有无穷多种表示方法无穷多种表示方法 ，每种表示对应着该点处一个，每种表示对应着该点处一个单元体单元体 ,相应地一点应力状态矩阵也有无穷多个相应地一点应力状态矩阵也有无穷多个,它们描述的都是同一点的应力状态它们描述的都是同一点的应力状态 。Qestion : Is there a special eleme
39、nt at one point that the stress state can be represented simplest by the stresses on the faces of the element ?问题问题 ：是否存在一个特殊的单元体是否存在一个特殊的单元体 ，使一点应力状态的表示最为简单使一点应力状态的表示最为简单 ？General elementGeneral elementGeneral elementSpecial elementSpecial elementSpecial element课堂分析课堂分析 ：什么样的单元体最什么样的单元体最特殊特殊 ? 而且使一
40、点应力状态的表而且使一点应力状态的表示最为简单示最为简单 ？General elementGeneral elementGeneral elementThere is a special element whose faces have no shearing stresses . The element is called principal element at this point . 可以证明存在一个很特殊的单元体可以证明存在一个很特殊的单元体 : 其其所有微分面上没有切应力所有微分面上没有切应力 , 该单元体称该单元体称为该点的为该点的主单元体主单元体 . Special eleme
41、ntSpecial elementSpecial elementPrincipal elementPrincipal elementPrincipal element1 12 23 3The faces of the element is called principal planes （主平面）主平面）123- called principal stress directions (主方向）主方向）- called principal stresses（主应力）主应力）主应力一般按代数值大小排列主应力一般按代数值大小排列 ：This is very important in This is
42、very important in This is very important in analysisinganalysisinganalysising the strength of materials at one point .the strength of materials at one point .the strength of materials at one point .人为规定人为规定 ! 但在材料的强度分析中非常重要但在材料的强度分析中非常重要 .所谓一点应力状态分析所谓一点应力状态分析 , 主要就是分析一点处主要就是分析一点处的主应力及主方向的主应力及主方向.AA
43、Ax xy yz z 问题问题: 一般平面应力状态的主应力如何求得一般平面应力状态的主应力如何求得 ?分析和讨论分析和讨论: : (1) 平面应力状态的三个主应力是否都已知或未知平面应力状态的三个主应力是否都已知或未知?(2) 平面应力状态的三个主方向是否都已知或未知平面应力状态的三个主方向是否都已知或未知?(3) 平面应力状态的三个主平面是否都已知或未知平面应力状态的三个主平面是否都已知或未知?AA Ax xy yz z 问题问题: 一般平面应力状态的主应力如何求得一般平面应力状态的主应力如何求得 ?(4) 平面应力状态的三个主应力在什么地方平面应力状态的三个主应力在什么地方?(5) 如何求
44、出平面应力状态的三个主应力如何求出平面应力状态的三个主应力? 请提出你请提出你的具体可行的方案的具体可行的方案.分析和讨论分析和讨论: : 当一个双向应力状态矩阵已当一个双向应力状态矩阵已当一个双向应力状态矩阵已当一个双向应力状态矩阵已知时，知时，知时，知时， 如何求一个斜截面上的如何求一个斜截面上的如何求一个斜截面上的如何求一个斜截面上的应力矢量及其法向分量和切向分应力矢量及其法向分量和切向分应力矢量及其法向分量和切向分应力矢量及其法向分量和切向分量？量？量？量？ 双向应力状态中，斜截面的倾斜程度，双向应力状态中，斜截面的倾斜程度，以其法线方向与以其法线方向与 x 轴的夹角轴的夹角 为表征。
45、为表征。 从从 x 轴轴正向算起，逆时针转向为正。正向算起，逆时针转向为正。n nn x xx1.3 平面（双向）应力状态分析平面（双向）应力状态分析Two-Two-Two-dimentionaldimentionaldimentional analysis of stress analysis of stress analysis of stressx xxy yyAAAAAAn nn AAAn n AAn nn x xxAAAn nn xyxyxyAAA x xxn nn y yy yxyxyxAAA x xx xyxyxyn nn p ppAAA x xx xyxyxy yxyxyx y
46、 yyn nn p ppAAAp ppy yyp ppx xx x xx xyxyxy yxyxyx y yynpAAn nnx xxAAAn nny yyAAAp ppx xx x xx yxyxyxyxypyp ppy yynpAAn nny yyAAA y yyyx xyxyxyxn nnx xxAAApxn nn p ppAAA y yy yxyxyx xyxyxy x xx(2) 斜截面上的应力斜截面上的应力正应力分量正应力分量切应力分量切应力分量n nn p pp a aaAAA y yy yxyxyx xyxyxy x xxn nn p pp a aaAAA y yy yxyxy
47、x xyxyxy x xxStresses on the slope plane Stresses on the slope plane Stresses on the slope plane n n A 斜截面上的应力为斜截面上的应力为:So the three principal stresses for the plane So the three principal stresses for the plane So the three principal stresses for the plane state of stress can be attained :state of
48、stress can be attained :state of stress can be attained :0In the three principal stresses , which is and In the three principal stresses , which is and In the three principal stresses , which is and must be determined according to their algebra values .must be determined according to their algebra v
49、alues .must be determined according to their algebra values . 三个主应力中哪个是第一三个主应力中哪个是第一三个主应力中哪个是第一三个主应力中哪个是第一三个主应力中哪个是第一三个主应力中哪个是第一, , , , , ,第二第二第二第二第二第二, , , , , ,第三主应力需第三主应力需第三主应力需第三主应力需第三主应力需第三主应力需依据其代数值的大小来确定依据其代数值的大小来确定依据其代数值的大小来确定依据其代数值的大小来确定依据其代数值的大小来确定依据其代数值的大小来确定. . . . . .（b）主方向和主应力的计算方法主方向和
50、主应力的计算方法1) 只求主应力时，可直接利用公式只求主应力时，可直接利用公式求出两个主求出两个主方向方向 1 和和 2 ；再再将将 1 和和 2 分别代入分别代入即可求出相应即可求出相应即可求出相应即可求出相应的两个主应力的两个主应力的两个主应力的两个主应力2) 若主应力和主方向都需计算，则可先利用若主应力和主方向都需计算，则可先利用0 0具有最大切应力表面上的正应力具有最大切应力表面上的正应力最大切应力最大切应力y yy 1 11 3 33x xx y13xMaximum shearing stressMaximum shearing stressMaximum shearing stre
51、ss主轴坐标主轴坐标主轴坐标主轴坐标系下有系下有系下有系下有: :三分钟小练习三分钟小练习: : 求下列应力状态的最大切应力并指求下列应力状态的最大切应力并指求下列应力状态的最大切应力并指求下列应力状态的最大切应力并指明其所作用的平面明其所作用的平面明其所作用的平面明其所作用的平面. . . .1 13 32 21 13 32 2x xxy yyz zzx xxy yyz zzx xxy yyz zzx xxy yyz zz 对于一点而言，全面对于一点而言，全面地描述应力的量是应力状地描述应力的量是应力状态矩阵。态矩阵。 应力矢量很多情况下都分解应力矢量很多情况下都分解为正应力和切应力为正应力
52、和切应力。主要结论主要结论:x xxy yyz zz x y yy z zz yzyzyz xy xzx xxy yyz zzn nnp ppx xxy yyz zzn nnp ppp ppz zzppxxp ppy yyx xxy yyz zzn nnp pp MMM 过过该点某一该点某一给定的微元面给定的微元面上，应力是一个矢量上，应力是一个矢量。 物体某点处的主应力就是物体某点处的主应力就是过该点的所有微元面上法向应过该点的所有微元面上法向应力分量的极值或驻值。应力张力分量的极值或驻值。应力张量存在着三个实数的主应力。量存在着三个实数的主应力。 在主平面上在主平面上，切应力为零切应力为零
53、 。x xxy yyz zzx xx y yy z zz x xxy yyz zz 对应于三个主应力，存在对应于三个主应力，存在着三个两两正交的主方向着三个两两正交的主方向 。 切应力为零的微元面就是主平面。切应力为零的微元面就是主平面。MMM * * 主应力就是应力状态矩阵的特征值，主方主应力就是应力状态矩阵的特征值，主方向就是特征方向。向就是特征方向。 最大切应力等于最大切应力等于 1 和和 3 之差的一半。之差的一半。 主应力不会因为坐标变换而改变。主应力不会因为坐标变换而改变。 1 11 3 33 2 22 1 11 3 33 2 22MMMn n A(1) 斜面上的正应力和切应力公式斜面上的正应力和切应力公式重要公式重要公式: :(2) 平面应力状态的主平面应力状态的主应力公式应力公式: :0A(3) 一种特殊三向应力一种特殊三向应力状态的主应力公式状态的主应力公式: :(4) 最大切应力公式最大切应力公式: :习 题8-2 8-7 8-8 8-9 8-11 8-12 本节内容结束本节内容结束
