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1、数学物理方法拉普拉斯方程常用齐次定解问题要素常用齐次定解问题的分类直角坐标柱坐标球坐标稳定方程演化方程 拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极（柱）坐标球坐标参看附录VI数学物理中的对称性对称性的概念定义：对称性就是在某种变换下的不变性分类对称性的描述对称性原理当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。对称性的应用对称性的分类对称性的描述对称性名称对称条件对称函数沿z轴反演对称沿z轴平移对称绕z轴转动对称绕原点转动对称对称性的应用柱坐标输运方程对称性未知函数泛定方程无任何对称性沿z轴平移对称绕z轴转动对称双重对称球坐标下拉普拉斯方程的通解（13.2.1）两边同除
2、以两边同除以R(r) Y(,)两边同乘以两边同乘以r2，整理变量，整理变量(13.2.3)式的解式的解与半径与半径无关，故称无关，故称为为球谐函数球谐函数，或简称为，或简称为球函数球函数（13.2.3）（球谐函数方程）（球谐函数方程） （13.2.2）（欧拉型常微分方程）（欧拉型常微分方程）分离变量法引入的参数(spherical harmonic function)球球谐谐函数方程函数方程进进一步分离一步分离变变量，令量，令 得到关于得到关于的常微分方程的常微分方程 （13.2.5） （13.2.4） 代入球谐函数方程代入球谐函数方程两边同除以两边同除以()()，乘，乘sin2后后移移项得：
3、得：得：分离变量引入的参数（13.2.5） （13.2.4） （13.2.1）Laplace方程两次分离变量两次分离变量 （13.2.2）小结小结三个关联的常微分方程偏微分转化成常偏微分转化成常微分方程的求解微分方程的求解1三个常微分方程的求解（一）三个常微分方程的求解（一）对应的本对应的本征值问题为征值问题为周期性边界条件由周期性边界条件得：利用三角和差化积公式得：m0此时此时A可任意取值，周期性边界可满足！可任意取值，周期性边界可满足！由周期性边界条件得：由周期性边界条件得： =0可使此两式为零，但不满足0的假设本征本征值为值为 本征函数本征函数为为 令令 三个常微分方程的求解（二）三个常
4、微分方程的求解（二）2 （13.2.4） 其中若所若所讨论讨论的的问题问题具有旋具有旋转轴对转轴对称性，即定解称性，即定解问题问题的解与的解与无关，无关，则则，即有，即有为勒让德（勒让德（legendre）方程）方程 （13.2.5） （13.2.6） 把自把自变变数从数从换为换为，则则方程（方程（13.2.4）可以化）可以化为为下列下列形式的形式的连带勒让德方程连带勒让德方程，其中 总结：球函数方程（总结：球函数方程（13.2.3）得到两个本征值问题得到两个本征值问题 本征本征值值 本征函数本征函数 （13.2.3）(ii) (13.2.7)分离变量分离变量（i） （13.2.6）本征本征值
5、为值为 本征函数本征函数为为 球函数方程球函数方程在在 区域中的解区域中的解， 是与本征是与本征值值相相应应的本征函数的本征函数 实际上由下列两个本征函数之积组成，即为实际上由下列两个本征函数之积组成，即为 （13.2.8）其中其中 是是变变量量相相应应于本征于本征值值的本征函数；的本征函数； 是是变变量量相相应应于本征于本征值值 （对对于确定的于确定的）的本征函数）的本征函数 （13.2.3）线线性独立的性独立的阶阶球函数共有球函数共有个个 因因为对应为对应于于，有一个球函数，有一个球函数对应对应于于则则各有两个球函数即各有两个球函数即和和 根据根据欧拉公式欧拉公式，将将复数形式的球函数统一
6、复数形式的球函数统一表示为表示为（13.2.9） 在（在（13.2.10）之中，独立的）之中，独立的阶阶球函数仍然是球函数仍然是个个 m的范围扩大的范围扩大球函数球函数(spherical harmonics )的复数表达式的复数表达式为了使得为了使得(13.2.8)所表示的函数系构成正交归一系，所表示的函数系构成正交归一系，必须添加适当常系数，于是定义必须添加适当常系数，于是定义 (13.2.10) 为为球球谐谐函数的本征函数（相函数的本征函数（相应应于本征于本征值值，并称它，并称它为球函数（球谐函数）表达式为球函数（球谐函数）表达式 上式（上式（13.2.10）也是）也是复数形式的球函数复
7、数形式的球函数其中其中归归一化系数一化系数球函数的正交关系球函数的正交关系 根据根据的正交性的正交性质质,当当时时，根据根据的正交性的正交性 ,当当 时时，可以得到可以得到的正交性，即当的正交性，即当或或时时有有即即 （13.2.11） Visual representations of the first few spherical harmonics. Red portions represent regions where the function is positive, and green portions represent regions where the function i
8、s negative.3Euler Equation:两个特解两个特解三个常微分方程的求解（三）三个常微分方程的求解（三）球坐标下拉普拉斯方程的通解（13.2.1）注意注意m取值范围的变化取值范围的变化球球坐坐标标下下拉拉普普拉拉斯斯方方程程通通解解求求解解总总结结欧拉欧拉方程方程缔合勒让德缔合勒让德方程，解为方程，解为Plm(x)拉普拉斯方程的非轴对称定解问题拉普拉斯方程的非轴对称定解问题例例1 在半径为在半径为球内（球内（）求解定解问题）求解定解问题【解解】在球坐标系下，定解问题即为在球坐标系下，定解问题即为【解解】 令令代入通过变量分离得到拉普拉斯方程的一系列特解代入通过变量分离得到拉普
9、拉斯方程的一系列特解其中其中都是任意常数都是任意常数通解为通解为 再代入定解条件再代入定解条件利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，即可算出中的待定系数即可算出中的待定系数见作业13-1拉普拉斯方程的轴对称定解问题拉普拉斯方程的轴对称定解问题基本问题：电场由电势描述基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程电势满足泊松方程+ +边界条件边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视情况不同而有不同解法而且视情况不同而有不同解法具体的
10、工作：解泊松方程具体的工作：解泊松方程应用静电场的定解问题方程边界条件高斯定理的普遍形式高斯定理的普遍形式积分形式微分形式自由电荷给定边界条件自然边界条件衔接条件Poisson方程电位移矢量电位移矢量介电常数无旋场的特点静电场问题中确定边界条件的一些基本原则p电势在两种介质的界面上连续电势在两种介质的界面上连续 导体：等势体；（常数） 接地时电势C=0电介质：利用电极化矢量描述为从媒质指向媒质为正方向p电势在两种介质界面上的法向导电势在两种介质界面上的法向导数满足数满足导体内部电场导体内部电场强度为零！强度为零！在许多实际问题中，静电场是由在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的带电导体决定
11、的例如例如l电容器内部的电场是由作为电极的两个电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的导体板上所带电荷决定的l电子光学系统的静电透镜内部，电场是电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布他自由电荷分布选择导体表面作为区域选择导体表面作为区域V的边的边界，界，V内部自由电荷密度内部自由电荷密度0，泊松方程化为比较简单的拉泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求
12、出。拉它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为氏方程在球坐标中的通解为若该问题中具有对称轴，取此轴为极若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为轴，这种情形下通解为例例1 介电常数为介电常数为的介质球置于的介质球置于均匀外电场均匀外电场E0中，求电势。中，求电势。设球半径为设球半径为R R0 0，球外为球外为真空（如图）。这问题真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场为通过球心沿外电场E E0 0方向的轴线，取此轴线方向的轴线，取此轴线为极轴。为极轴。球内区域的电势球内区域的电势解解球外区域的电势球外区域的电势边界条件：边界条件：
13、（1）无穷远处，）无穷远处，因而因而（2）R0处，处， 2为有限值，因此为有限值，因此（3）在介质球面上，有）在介质球面上，有比较比较P P1 1的系数得的系数得可解出可解出其他其他P Pn n项的系数可解出为项的系数可解出为介质球面介质球面上的衔接上的衔接条件条件所有常数已经定出，因此本问题的解为所有常数已经定出，因此本问题的解为在球内总电场作用下，介质的极化强度为在球内总电场作用下，介质的极化强度为 介质球的总电偶极矩为介质球的总电偶极矩为 1 1表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势 极化率例例2 半径为半径为R0的接地导体球置于的接地导
14、体球置于均匀外电场均匀外电场E0中，求电势和导体上中，求电势和导体上的电荷面密度。的电荷面密度。定解问题定解问题用导体表面边用导体表面边界条件，照上界条件，照上例方法可解出例方法可解出导体球外电势导体球外电势 导体面上导体面上电荷面密电荷面密度为度为解解例例3 一个内径和外径分别为一个内径和外径分别为R2和和R3的的导体球壳，带电荷导体球壳，带电荷Q，同心地包围一同心地包围一个半径为个半径为R1的导体球（的导体球（R1 R2）。）。使使内导体球接地，求空间各点的电势和内导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。这个导体球的感应电荷。这问题有球对称性，电势这问题有球对称性，电势不依不依赖于角度赖于角度和和。设导体壳外和设导体壳外和壳内的电势分别为壳内的电势分别为解解边界条件为：边界条件为：（1）内导体接地）内导体接地（2）整个导体球壳为等势体）整个导体球壳为等势体（3）球壳带总电荷）球壳带总电荷Q，将通解代入边界条件将通解代入边界条件由这些边界条件得由这些边界条件得其中其中利用这些值利用这些值得电势的解得电势的解导体球上的导体球上的感应电荷为感应电荷为
