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1、第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第一节第一节 随机样本随机样本第二节第二节 抽样分布抽样分布第一节第一节 随机样本随机样本总体与个体总体与个体在一个统计问题中，将研究对象的全体称为在一个统计问题中，将研究对象的全体称为总体总体。构成总体的每个元素称为构成总体的每个元素称为个体个体。由于总体就是一个随机变量由于总体就是一个随机变量X（或向量（或向量X ）或一个概）或一个概率分布，因此研究总体就是要研究率分布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某的概率分布或某些特征量。些特征量。从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽样。所抽得的
2、个体称为样。所抽得的个体称为样本样本。样本样本上一页上一页下一页下一页返回返回 设设X是具有分布函数是具有分布函数F的随机变量，若的随机变量，若X1，X2，Xn是具有同一分布函数是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变的、相互独立的随机变量，则称量，则称X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X(或总体或总体F)的的样本容量为样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，xn称为样本值。称为样本值。对于简单随机样本对于简单随机样本X1，X2，Xn ，其联合概率分，其联合概率分布可以由总体布可以由总体X的分布完全确定。若总体的分布完全确定。若总体X的分布函的分布函数
3、为数为F(x)，则样本，则样本X1，X2，Xn的联合分布函数为的联合分布函数为上一页上一页下一页下一页返回返回又若又若X具有概率密度具有概率密度f(x)，则，则X1，X2，Xn的联合概率的联合概率密度为密度为则则X1，X2，Xn的联合分布律为的联合分布律为 若若X的分布律为的分布律为 上一页上一页下一页下一页返回返回例例1 设总体设总体XB(1,p)，X1，X2，Xn为取自总体为取自总体X的样本，求样本的样本，求样本X1，X2，Xn的联合分布（称为的联合分布（称为样本分布）。样本分布）。解解: X的分布律为的分布律为所以样本所以样本X1，X2，Xn的联合分布律为的联合分布律为 上一页上一页下一
4、页下一页返回返回定义定义1 设设X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本,g(X1,X2,Xn)是是X1,X2,Xn的函数的函数,若若g中中不含任何未知参数不含任何未知参数,则称则称g(X1,X2,Xn)为为统计量统计量.样本平均样本平均 设设x1, x2,xn是相应于样本是相应于样本X1,X2,Xn的样本值的样本值,则则称称g(x1,x2,xn)是是g(X1,X2,Xn)的的观察值观察值.样本方差样本方差 上一页上一页下一页下一页返回返回样本标准差样本标准差 样本样本k阶阶(原点原点)矩矩 样本样本k阶中心矩阶中心矩 上一页上一页下一页下一页返回返回它们的观察值分别为它们的观察值分
5、别为 上一页上一页下一页下一页返回返回例例2设总体设总体X的期望、方差分别为的期望、方差分别为 X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X的样本，其样本均值和的样本，其样本均值和样本方差分别记为样本方差分别记为 。求。求上一页上一页下一页下一页返回返回由于由于 所以所以 上一页上一页下一页下一页返回返回第二节第二节 抽样分布抽样分布 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(0，1)的样本，则统的样本，则统计量计量服从自由度为服从自由度为n的的 分布，记为分布，记为分布的概率分布密度为分布的概率分布密度为1、 分布分布上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回 分布具有以下
6、性质分布具有以下性质: 上一页上一页下一页下一页返回返回标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上 分位点记为分位点记为 ,它满足它满足其中其中ZN(0,1)。 对不同的对不同的 分布的上分布的上 分位点的值已制成分位点的值已制成表格，可以查用。表格，可以查用。上一页上一页下一页下一页返回返回2、t 分布分布 设设XN(0,1),Y ,且且X与与Y相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布,记为记为tt(n)。t(n)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为上一页上一页下一页下一页返回返回t(n)分布的
7、概率密度函数分布的概率密度函数 关于关于t=0单峰对称单峰对称上一页上一页下一页下一页返回返回当当n很大时很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用分布接近于标准正态分布，利用函数函数的性质可以证明的性质可以证明当当n较小时，较小时，t(n)分布与分布与N(0,1)分布之间有较大差异。分布之间有较大差异。 t(n)分布的上分布的上 分位数记为分位数记为 ，即即 满足满足t分布的上分布的上 分位数可由附表查得。分位数可由附表查得。当当n45时，有时，有 上一页上一页下一页下一页返回返回 设设 且且U与与V相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量服从自由度为服从自由度为(n1，n2)的的F分布，记
8、为分布，记为FF(n1，n2)3、F分布分布 F(n1,n2)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回若若FF(n1,n2)，则，则 的上的上 分位点记为分位点记为 ，即它满足，即它满足上一页上一页下一页下一页返回返回若若FF(n1,n2),则则 F分布的上分布的上 分位点有如下的性质：分位点有如下的性质：上一页上一页下一页下一页返回返回4、正态总体的样本均值与样本方差的分布、正态总体的样本均值与样本方差的分布上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回
