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1、 教材：吴教材：吴，复变函数复变函数，华工出版社华工出版社参考参考:1:1西安交大，复变函数，高西安交大，复变函数，高教出版社教出版社22杨纶标，复变函数，科学出版杨纶标，复变函数，科学出版社社 覃永安 15302276149 2010.9第一章、复数与复变函数第一章、复数与复变函数1.1 复数复数复数:复数相等是指?虚数?纯虚数?复数的四则运算:复平面:复平面:模：非零复数的辐角：复数的共轭：复数的三角表示:复数加、减法的几何表示如下图：基本不等式:例1试用复数表示圆的方程:例2设、是两个复数，证明：三角表示的乘法：三角表示的乘法：欧拉公式；指数表示式；三种表示式的互化:关键是会用表示幅角
2、。复数的乘幂：复数的乘幂：可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。例5、求所有值：解：由于所以有有四个根。复球面与无穷大:无穷远点:对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。无穷远点:关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.2 复变函数复变函数复变函数的定义:注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若记z=x+iy，w=Ref(z)
3、+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y)。函数的几何意义:函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。函数的几何意义:单射，双射，一一对应，反函数。复变函数极限的定义复变函数极限与实值函数极限注解：1、几何意义：2、与重极限的关系：3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）复变函数连续性的定义复变函数连续性与实值函数连续性的关系注1、实初等函数在其有定义的地方连续。注解：1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；2、复合运算；3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、
4、有界性、取到极大模和极小模等）。4、同样我们也可以定义非正常极限。例6 2.1 解析函数解析函数导数导数解析Cauchy-Riemann方程解析的充要条件2.2(1)初等函数初等函数 (1)指数函数与对数函数指数函数与对数函数指数指数函数的函数的定义：定义：指数指数函数的函数的基本性质基本性质对数函数的定义：对数函数的主值：三种对数函数的联系与区别：对数对数函数的函数的基本性质基本性质 2.2(2) 初等函数初等函数 (2)三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数三角函数三角函数的概念:三角函数三角函数的基本性质:则对任何复数z，Euler公式也成立：cosz和sinz是单值函数；cosz偶，
5、sinz奇;所有三角公式也成立.三角函数三角函数的基本性质:cosz和sinz以 为周期,零点也与实的一样.三角函数三角函数的基本性质:不成立:三角函数三角函数的基本性质:在整个复平面解析：其它三角函数其它三角函数反三角函数反三角函数掌握计算表达式的推导方法 2.2(3)初等函数（3）幂函数双曲、反双曲函数幂函数的定义:当a为正实数，且z=0时，还规定幂函数的基本性质：等于n次方根.幂函数的基本性质：幂函数的基本性质：其中应当理解为某个分支。双曲函数uchz和shz以2pi为周期,chz偶,shz奇u(chz)=shz,(shz)=chz反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数第三章第三章
6、 复变函数的积分复变函数的积分3.13.1复积分定义、性质及计算复积分定义、性质及计算 复积分定义复积分定义: :分割分割, ,取点取点, ,求和求和, ,取极限取极限. .直接计算法直接计算法: :把曲线参数方程代入化把曲线参数方程代入化为定积分为定积分. .存在性存在性: :连续函数必可积连续函数必可积. .性质性质: :反向变号反向变号, ,线性线性, ,模不等式模不等式. .一个重要例题一个重要例题: :3.2- 3.33.2- 3.3 柯西柯西- -古萨基本定理古萨基本定理 复合闭路定理复合闭路定理原函数与不定积分原函数与不定积分 沿某一条曲沿某一条曲线第三章第三章 复变函数的积分复
7、变函数的积分柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理连续变形原连续变形原理理复合闭路定理复合闭路定理“牛莱公式牛莱公式”回忆以上内容回忆以上内容,并总结一下并总结一下求积分的方法求积分的方法第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分3.4-3.5柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式高阶导数公式*调和函数调和函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分复积分的定义、性质及计算复积分的定义、性质及计算柯西定理柯西定理复合闭路定理复合闭路定理原函数与不定积分原函数与不定积分本章小结本章小结柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式* *调和函数调和函
8、数调和函数调和函数分割分割,取点取点,求和求和,取极限取极限.复积分概念复积分概念: 柯西柯西-古萨定理古萨定理:DC复合闭路定理复合闭路定理:DC闭路变形原理闭路变形原理:一个重要的结果一个重要的结果:z0r. z0更一般更一般: :积分的模不等式积分的模不等式:. z0柯西积分公式柯西积分公式: z0 平均值公式平均值公式:. z0DC高阶导数公式高阶导数公式: 解析函数的无穷可微性（重要特性）解析函数的无穷可微性（重要特性） 由复合闭路定理由复合闭路定理由复合闭路定理由复合闭路定理, , , ,OC1C2Ci- -ixy典型例子典型例子:更一般地更一般地, ,高阶导数公式的应用（补充知识
9、高阶导数公式的应用（补充知识, ,不要求掌握）不要求掌握）柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式: : : :z0C刘维尔刘维尔:复平面上解析且有界的复函数是常数复平面上解析且有界的复函数是常数. 代数基本定理代数基本定理:在复平面上在复平面上n次多项式至少有一个零点次多项式至少有一个零点.实部和虚部调和实部和虚部调和实部和虚部调和实部和虚部调和; ; ; ;调和是实部调和是实部调和是实部调和是实部, , , ,也是虚部也是虚部也是虚部也是虚部. . . .由实部或虚部求解析函数由实部或虚部求解析函数由实部或虚部求解析函数由实部或虚部求解析函数: : : : 偏积分法偏积分法偏积分法偏积分法
10、, , , ,不定积分法不定积分法不定积分法不定积分法, , , ,线积分法线积分法线积分法线积分法. . . . 解析与调和解析与调和 总之总之总之总之, , , ,本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公式式式式, , , ,核心是掌握复积分的计算核心是掌握复积分的计算核心是掌握复积分的计算核心是掌握复积分的计算. . . .已介绍的方法有已介绍的方法有已介绍的方法有已介绍的方法有: : : : 提要提要 此外此外此外此外, , , ,还有用级数计算还有用级数计算还有用级
11、数计算还有用级数计算(ch4),(ch4),(ch4),(ch4),用留数计算用留数计算用留数计算用留数计算(ch5).(ch5).(ch5).(ch5). (1)(1)(1)(1)将曲线的参数方程代入，化为定积分将曲线的参数方程代入，化为定积分将曲线的参数方程代入，化为定积分将曲线的参数方程代入，化为定积分; ; ; ; (2)(2)(2)(2)求不定积分，用牛顿求不定积分，用牛顿求不定积分，用牛顿求不定积分，用牛顿- - - -莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算;(;(;(;(前前前前提条件提条件提条件提条件?)?)?)?) (3)(3)(3)(3)用柯西积分
12、公式以及高阶导数公式计算用柯西积分公式以及高阶导数公式计算用柯西积分公式以及高阶导数公式计算用柯西积分公式以及高阶导数公式计算. . . . 另外另外另外另外, , , ,要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法的方法的方法的方法( ( ( (偏积分法、不定积分法、线积分法偏积分法、不定积分法、线积分法偏积分法、不定积分法、线积分法偏积分法、不定积分法、线积分法)()()()(掌握一种掌握一种掌握一种掌握一种). ). ). ). 第四章第四章 级级 数数4.1(1)复
13、复(函函)数项级数项级数数复数序列 zn极限定理:序列zn收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列an收敛（于a）以及序列bn收敛（于b）。(充要条件)(归结性)复数项级数就是部分和序列：如果序列 收敛，那么我们说级数 收敛；定理:如果级数 收敛，那么充要条件,归结性? 绝对收敛,相对收敛定理:级数 绝对收敛的充要条件是：级数 以及 绝对收敛.定理:若级数绝对收敛，则它一定收敛。柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给可 以 找 到 一 个 正 整 数 N， 使 得 当 nN，p=1,2,3,时柯西收敛原理（复数序列）：序列收敛必要与充分条件是：任给可以找到一个正整数N，使得当
14、m及nN，定理: 如果复数项级数 及 绝对收敛并且它们的和分别为那么级数（它们的柯西积）也绝对收敛，并且它的和为(证略)4.1(2)复复(函函)数项级数数项级数函数项级函数项级数数u复变函数项级数复变函数项级数:u部分和部分和:usn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)u复变函数项级数复变函数项级数u在在 z0 收敛收敛:u和和: s(z0).u在在D内处处收敛内处处收敛, 则有则有u和函数和函数s(z):us(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.函数项级函数项级数数u幂级幂级数数定理定理(阿贝尔阿贝尔Abel)z0xyOu幂级幂级数数收敛圆收敛圆.在收敛圆的外部在收敛圆
15、的外部, 级数发散级数发散. 收敛圆的内部收敛圆的内部,级数绝对收级数绝对收敛敛. 收敛圆的半径收敛圆的半径R称为收敛半径称为收敛半径. 在收敛圆上是否收敛在收敛圆上是否收敛, 则不一定则不一定.幂级数幂级数幂级幂级数数收敛半径的求法收敛半径的求法:幂级数幂级数幂级数幂级数幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:更为重要的是代换更为重要的是代换(复合复合)运算运算:u这个代换运算这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的有着广泛的应用应用.幂级数幂级数幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:幂级数幂级数幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质:幂级数幂级数幂级数的运算和
16、性质幂级数的运算和性质:3)可逐项积分,即 第四章第四章 级级 数数4.2泰勒级数泰勒展开式定理定理设函数f(z)在圆盘内解析，那么在U内，解析函数的幂级数刻画定理函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是：它在z0的某个邻域内有幂级数展式。解析函数幂级数展式的唯一性定理解析函数幂级数展式的唯一性定理定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。注解：于是,我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。常用的方法有:直接法-直接计算系数法,间接法-代换(复合)运算法、导数(或积分)法.例1、求函数牢记这三个函数的展式!sinz, cosz=?
17、例2、|z|1。例3、求的解析分支在z=0的泰勒展式（其中a不是整数）.|z|1)。则在去掉中心z0的某一圆盘内其中 在这个圆盘内包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒级数展式是：高阶极点留数的计算：1)如果容易求出 的泰勒级数展式，那么用留数计算复积分例1 计算积分C为正向圆周:|z|=2.解:由于有两个一级极点+1,-1,而且都在圆周C内,所以定义：定义：设函数设函数f(z)在圆环域在圆环域R|z| 内解析内解析, C为圆为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线, 则积分则积分的值与具体的的值与具体的C无关无关, 称其为称其为f(z)在在 点的留数点的
18、留数, 记记作作在无穷远点的留数-定义定理（留数和定理）定理（留数和定理） 如果如果f(z)在扩充复平面内只有在扩充复平面内只有有限个孤立奇点有限个孤立奇点, 那末那末f(z)在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数总和必等于零的留数总和必等于零.在无穷远点的留数-留数和定理在无穷远点的留数-留数的计算无穷远点留数的计算公式无穷远点留数的计算公式:在无穷远点的留数-用于计算复积分例例2 计计算算积积分分解解 :在无穷远点的留数-用于计算复积分计算后两个留数较方便. 第五章第五章 留数留数5.2 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用一.型如的积分，其中R(x,y)是有理分式被积函数是t的连续函数.留数定理的应用-实积分的计算:解法：令 ，那么原积分化为 再用留数求此积分.的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。留数定理的应用-实积分的计算:二.型如解法:均如下例.例2、计算积分留数定理的应用-实积分的计算:How beautiful the sea is!
