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1、3.1 3.1 两角和与差的正弦、余弦两角和与差的正弦、余弦 和正切公式和正切公式3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式问题提出问题提出1.1.在三角函数中，我们学习了哪些基本在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？的三角函数公式？ 2.2.对于对于3030，4545，6060等特殊角的三等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出还可进一步求出150150，210210，315315等等角的三角函数值角的三角函数值. .我们希望再引进一些公我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数式，能够求更多的非特殊角
2、的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依值，同时也为三角恒等变换提供理论依据据. .3.3.若已知若已知，的三角函数值，那么的三角函数值，那么coscos()的值是否确定？它与的值是否确定？它与，的的三角函数值有什么关系？这是我们需要三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题探索的问题. . 探究（一）：探究（一）：两角差的余弦公式两角差的余弦公式 思考思考1 1：设设，为两个任意角为两个任意角, , 你能你能判断判断cos(cos()coscoscoscos恒成恒成立吗立吗? ?cos(30cos(303030) )cos30cos30cos30cos30sin60sin120cos6
3、0cos120cos( (12060) )sin30sin60cos30cos60cos( (6030) )思考思考2 2：我们设想我们设想cos(cos()的值与的值与，的三角函数值有一定关系，观察下的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？表中的数据，你有什么发现？思考思考3 3：一般地，你猜想一般地，你猜想cos(cos()等等于什么？于什么？cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin思考思考4 4：如图，设如图，设，为锐角，且为锐角，且，角，角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P1 1, , PP1 1OPOP，那么，那么cos(co
4、s()表示哪条表示哪条线段长？线段长？MPP1Oxycos(cos()=OM)=OM思考思考5 5：如何用线段分别表示如何用线段分别表示sinsin和和coscos？PP1OxyA Asinsincoscos思考思考6 6：coscoscoscosOAcosOAcos，它表示，它表示哪条线段长？哪条线段长？sinsinsinsinPAsinPAsin，它表示哪条线段，它表示哪条线段长？长？PP1OxyA AsinsinsinsincoscoscoscosB BC C思考思考7 7：利用利用OMOMOBOBBMBMOBOBCPCP可得什可得什么结论？么结论？sinsinsinsincoscosc
5、oscosPP1OxyA AB BC CM Mcos(cos()coscoscoscossinsinsinsinx xy yP PP P1 1M MB BO OA AC C+1 11 1思考思考8 8：上述推理能说明对任意角上述推理能说明对任意角，都有，都有cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin成立吗？成立吗？思考思考9 9：根据根据coscoscoscossinsinsinsin的的结构特征，你能联想到一个相关计算原结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？理吗？思考思考1010：如图，设角如图，设角，的终边与单的终边与单位圆的交点分别为位圆的交点分别为A A、B
6、B，则向量，则向量 、 的坐标分别是什么？其数量积是什的坐标分别是什么？其数量积是什么？么？B BO OA Ax xy y=(=(coscos,sin,sin) )=(=(coscos,sin,sin) )思考思考1111：向量与的夹角向量与的夹角与与、有什有什么关系？根据数量积定义，么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？等于什么？由此可得什么结论？ 2k2k或或2k2k B BO OA Ax xy ycos(cos()coscoscoscossinsinsinsin思考思考1212：公式公式cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin称为称为差角的余弦公
7、式差角的余弦公式，记，记作作 ，该公式有什么特点？如何记忆，该公式有什么特点？如何记忆？探究（二）：探究（二）：两角差的余弦公式的变通两角差的余弦公式的变通 思考思考1 1：若已知若已知和和的三角函数的三角函数值，如何求值，如何求coscos的值？的值？ coscoscos(cos() coscos() ) coscossin(sin()sin)sin. . 思考思考2 2：利用利用()可得可得coscos等于什么？等于什么？coscoscos(cos() coscos()cos)cossin(sin()sin)sin. .思考思考3 3：若若coscoscoscosa，sinsinsinsi
8、nb b，则，则cos(cos()等于什么？等于什么？思考思考4 4：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，则，则cos(cos()等于什么？等于什么？例例1 1 利用余弦公式求利用余弦公式求cos15cos15的值的值. . 例例2 2 已知已知 是第三象限角是第三象限角, ,求求cos(cos()的值的值. .理论迁移理论迁移例例3 3 已知已知 且且 , , 求求 的值的值. . 小结作业小结作业1.1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜
9、想、构数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会领会. .2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时该角的余弦（或正弦）值时, , 要注意该要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号数值符号. .作业：作业：P127P127练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既可以既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，角的变换，如，22()() ) 等等. . 同时，公式的应用具有同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择式形式的选择. .
