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1、X学习目标学习目标: : 1.1.理解正、余弦函数的奇偶性、理解正、余弦函数的奇偶性、 单调性的意义；单调性的意义；2.2.会求简单函数的奇偶性、会求简单函数的奇偶性、单调性单调性; ;重点重点: :正、余弦函数的性质正、余弦函数的性质难点难点: :正、余弦函数的性质正、余弦函数的性质 复习复习:正弦、余弦函数的图象和性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域x Ry - 1, 1 一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性x6yo-12345-2-3-41y=sinx
2、(x R)设设(x,y)是正弦曲线是正弦曲线y=sinx(xR)上任意一点，即上任意一点，即(x,sinx)是正是正弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是弦曲线上的一点，它关于原点的对称点是(-x,-y)即即(-x,-sinx)。由诱导公式由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，这个对称点就是可知，这个对称点就是(-x,sin(-x)。它显然也在正弦曲线上，它显然也在正弦曲线上， 所以所以正弦曲线关于原点对称正弦曲线关于原点对称，正弦函数是奇函数。，正弦函数是奇函数。奇函数：一般地，如果对于函数奇函数：一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x x，都有，
3、都有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x) )，则称，则称f(xf(x) )为这一定义域内的为这一定义域内的奇函数奇函数。 奇函数的图象关于原点对称。奇函数的图象关于原点对称。 x6yo-12345-2-3-41y=cosx (x R)设设(x,y)是余弦曲线是余弦曲线y=cosx(xR)上任意一点，即上任意一点，即(x,cosx)是余弦曲线上的一点，它关于是余弦曲线上的一点，它关于y轴的对称点是轴的对称点是(-x,y)即即(-x,cosx)。由诱导公式。由诱导公式cos(-x)=cosx可知，这个对称点就可知，这个对称点就是是(-x,cos(-x)。它显然也在余弦曲线上，。它显然也在余弦
4、曲线上， 所以所以余余弦曲线关于弦曲线关于y轴对称轴对称，余弦函数是偶函数。，余弦函数是偶函数。偶函数：一般地，如果对于函数偶函数：一般地，如果对于函数f(xf(x) )的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x x，都有，都有f(-xf(-x)=)=f(xf(x) )，则称，则称f(xf(x) )为这一定义域内的为这一定义域内的偶函数偶函数。 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称。轴对称。 sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=
5、cosx (x R)是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性例例1：判断函数奇偶性：判断函数奇偶性(1) y=-sin3x xR (2) y=|sinx|+|cosx| xR(3) y=1+sinx xR解解:(1)f(-x)=-sin3(-x)=-(-sin3x)=-f(x),且且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。的定义域关于原点对称，所以此函数是奇函数。(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且且f(x)的定义域关于原点对称，所以此函数是偶函数。的定义域关于原点对
6、称，所以此函数是偶函数。(3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)-f(x)且且f(-x)f(x)所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。 二、正弦函数的单调性二、正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增增区间为区间为 ， 其值从其值从-1增至增至1xyo-1234-2-31 x sinx 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-1 +2k , +2k ,k Z +2k , +2k ,k Z 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cosx - 0 -1 0 1 0 -1增增区间为
7、区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-31例例2.求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： y=3sin(2x- ) 单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为k Zk Zk Zk Zk Zk Z例例3 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin( )(2) cos( ) - cos( ) 解：解：又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数 sin( ) 0解：解：cos
8、 cos 即：即： cos cos 0又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数cos( )=cos =cos cos( )=cos =cos 从而从而 cos( ) - cos( ) 0练习:小小 结：结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇奇函数函数偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z单调递增单调递增2k , 2k + , k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数求求函数的单调区间：函数的单调区间：1. 直接利用相关性质直接利用相关性质2. 复合函数的单调性复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间
