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1、数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 矢量代数矢量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 矢量法矢量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）矢量代数与空间解析几何四、利用坐标作矢量的线性运算四、利用坐标作矢量的线性运算 第一、二节一、矢量的概念一、矢量的概念二、矢量的线性运算二、矢量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、矢量的模、方向角、投影五、矢量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矢量及空间直角坐标系 第八八章 表示法:一、矢量的概念一、矢量的概念矢
2、量:(又称向量). 既有大小, 又有方向的量称为矢量有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 若矢量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;规定: 零矢量与任何矢量平行 ;若矢量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;记作与 a 的模相同, 但方向相反的矢量称为 a 的负矢量,记作a ;矢量的模 : 矢量的大小,零矢量: 模为 0 的矢量,二、矢量的线性运算二、矢量的线性运算1. 矢量的加法矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 矢量的减法矢量的减法三角不等式3. 矢
3、量与数的乘法矢量与数的乘法 是一个数 ,规定 : 与 a 的乘积是一个新矢量, 记作总之:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,定理定理1. 设 a 为非零矢量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ”依定义显然成立。向量的单位化：向量的单位化：三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴
4、(竖轴)过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 向径 (矢径):起点为原点的矢量.坐标轴 : 坐标面 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 矢量的坐标表示矢量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分矢量分矢量.的坐标为此式称为矢量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意矢
5、量 r 可用向径 OM 表示.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作矢量的线性运算四、利用坐标作矢量的线性运算设则平行矢量对应坐标成比例:机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知两点机动 目录 上页 下页 返回 结束 的坐标表达为：BA以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢？以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢？ 作出A,B两点对应的矢径，则例例2. 一向量的终点在点B(2,-1,7)，解解: 设A(x,y,z),它的矢量坐标表达为求起点坐标。例例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:
6、由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、矢量的模、方向角、方向余弦五、矢量的模、方向角、方向余弦 1. 矢量的模与两点间的距离公式矢量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求证以证证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 在 z 轴上求与两点等距解解: 设该点为解得故所求点为及离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知两点和解解:求2. 方向角与方向余弦方向角与
7、方向余弦设有两非零矢量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为矢量 的夹角. 类似可定义矢量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向余弦的性质:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解:计算矢量机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 参考题参考题解解: 因1. 设求矢量在 x 轴上的投影及在 y轴上的分矢量.在 y 轴上的分矢量为故在 x 轴上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设求以矢量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束
