《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修11（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质主题主题1 1椭圆的范围、对称性、顶点椭圆的范围、对称性、顶点1.1.观察下列图形观察下列图形, ,回答以下几个问题回答以下几个问题: :(1)(1)已知椭圆方程讨论椭圆性质时已知椭圆方程讨论椭圆性质时, ,首先要关注椭圆的首先要关注椭圆的方程要满足什么形式方程要满足什么形式? ?提示提示: :先看椭圆方程是否是标准形式先看椭圆方程是否是标准形式, ,若不是标准形式若不是标准形式要先化成标准形式要先化成标准形式. .(2)(2)观察椭圆观察椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的形状的形状, ,你能从图上看你能从图上看出横坐标出横坐标x,x,纵
2、坐标纵坐标y y的范围吗的范围吗? ?提示提示: :由由 得得:-a:-ax xa,-ba,-by yb b. .2.2.观察焦点分别在观察焦点分别在x x轴和轴和y y轴的两椭圆轴的两椭圆, ,探究下列问题探究下列问题, ,明确椭圆的几何特征明确椭圆的几何特征. .(1)(1)对比焦点分别在对比焦点分别在x x轴和轴和y y轴的两椭圆的图形轴的两椭圆的图形, ,长轴、长轴、短轴有何不同点与相同点短轴有何不同点与相同点. .提示提示: :相同点相同点: :两图长轴长与短轴长分别相等两图长轴长与短轴长分别相等; ;不同点不同点: :长轴与短轴所在位置不同长轴与短轴所在位置不同. .(2)(2)椭
3、圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系? ?提示提示: :椭圆的中心是焦点连线的中点椭圆的中心是焦点连线的中点, ,对称轴是焦点连对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线线所在直线及其中垂线. .(3)(3)若要画一个椭圆的草图若要画一个椭圆的草图, ,需先确定哪些量才能画出需先确定哪些量才能画出椭圆草图椭圆草图? ?提示提示: :首先确定椭圆的范围首先确定椭圆的范围, ,可利用椭圆的四个顶点及可利用椭圆的四个顶点及焦点位置用弧线画出椭圆的草图焦点位置用弧线画出椭圆的草图. .结论结论: :椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的焦点的位置位置焦点在焦点在x x轴上轴上
4、焦点在焦点在y y轴上轴上图形图形 标准标准方程方程 范围范围_-axa-axa且且-byb-byb-bxb-bxb且且-aya-aya焦点的焦点的位置位置焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上顶点顶点_轴长轴长短轴长短轴长=_,=_,长轴长长轴长=_=_焦点焦点F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0,-c),F(0,-c),F2 2(0,c)(0,c)焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=_|=_对称性对称性对称轴为对称轴为_,_,对称中心为对称中心为_A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0),(a,0),B
5、B1 1(0,-b),B(0,-b),B2 2(0,b)(0,b)A A1 1(0,-a),A(0,-a),A2 2(0,a),(0,a),B B1 1(-b,0),B(-b,0),B2 2(b,0)(b,0)2b2b2a2a2c2c坐标轴坐标轴原点原点【微思考【微思考】在椭圆的上述性质中在椭圆的上述性质中, ,哪些是与位置无关的哪些是与位置无关的? ?哪些是与哪些是与位置有关的位置有关的? ?提示提示: :与位置无关的与位置无关的, ,如长轴长、短轴长、焦距如长轴长、短轴长、焦距; ;与位置与位置有关的有关的, ,如顶点坐标、焦点坐标等如顶点坐标、焦点坐标等. .主题主题2 2椭圆的离心率椭
6、圆的离心率 观察不同的椭圆观察不同的椭圆, ,我们会发现我们会发现, ,椭圆的扁平程度不一椭圆的扁平程度不一. .对于椭圆对于椭圆 =1(ab0),=1(ab0),其扁平程度取决于什么其扁平程度取决于什么? ?提示提示: :椭圆的扁平程度椭圆的扁平程度, ,在长轴长不变的前提下在长轴长不变的前提下, ,取决于取决于两焦点离开中心的程度两焦点离开中心的程度, ,即离开中心越远即离开中心越远, ,椭圆越扁椭圆越扁, ,反反之之, ,越圆越圆. .结论结论: :椭圆的离心率椭圆的离心率(1)(1)定义定义: :椭圆的焦距椭圆的焦距与长轴长的比与长轴长的比_叫做椭圆的叫做椭圆的_._.(2)(2)性质
7、性质: :离心率离心率e e的范围是的范围是_._.当当e e越接近越接近1 1时时, ,椭圆椭圆_;_;当当e e越接近于越接近于_时时, ,椭圆椭圆就越接近于圆就越接近于圆. .离心率离心率(0,1)(0,1)越扁越扁0 0【微思考【微思考】能否用能否用a a和和b b表示椭圆的离心率表示椭圆的离心率e?e?提示提示: :可以可以, ,由于由于e= ,e= ,又又c= c= 故故e= e= 【预习自测【预习自测】1.1.椭圆椭圆 =1=1的长轴长为的长轴长为( () )A.81A.81B.9B.9C.18C.18D.45D.45【解析【解析】选选C.C.由标准方程知由标准方程知a=9,a=
8、9,故长轴长故长轴长2a=18.2a=18.2.2.椭圆椭圆 具有相同的具有相同的( () )A.A.顶点顶点B.B.离心率离心率C.C.长轴长轴D.D.短轴短轴【解析【解析】选选B.B.椭圆椭圆 =1=1的离心率的离心率e e1 1= = 椭圆椭圆 的离心率的离心率e e2 2= = 3.3.椭圆椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的左、右顶点分别是的左、右顶点分别是A,B,A,B,左、右焦点分别是左、右焦点分别是F F1 1,F,F2 2. .若若|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|成等成等比数列比数列, ,则此椭圆的离心率为则此椭圆的离心率为(
9、 () )【解析【解析】选选B.B.因为因为|AF|AF1 1|=a-c,|F|=a-c,|F1 1B|=a+c,|FB|=a+c,|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,又又|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|成等比数列成等比数列, ,所以所以|F|F1 1F F2 2| |2 2= =|AF|AF1 1|F|F1 1B|,B|,即即4c4c2 2=(a-c)(a+c=(a-c)(a+c),),从而从而a a2 2=5c=5c2 2, ,所以所以e e2 2= ,= ,所以所以e= .e= .4.4.已知椭圆中心在原点已知椭圆中心在原点, ,一
10、个焦点为一个焦点为F(-2 ,0),F(-2 ,0),且长轴长是短轴长的且长轴长是短轴长的2 2倍倍, ,则该椭圆的标准方程则该椭圆的标准方程是是_._.【解析【解析】已知已知 答案答案: : 类型一椭圆的简单几何性质类型一椭圆的简单几何性质【典例【典例1 1】(1)(2017(1)(2017温州高二检测温州高二检测) )平面内有一长度平面内有一长度为为4 4的线段的线段AB,AB,动点动点P P满足满足|PA|+|PB|=6,|PA|+|PB|=6,则则|PA|PA|的取值范的取值范围是围是( () )A.1,5A.1,5B.1,6B.1,6C.2,5C.2,5D.2,6D.2,6(2)(2
11、)若点若点O O和点和点F F分别为椭圆分别为椭圆 =1=1的中心和左的中心和左焦点焦点, ,点点P P为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点, ,则则 的最大值的最大值为为_._.【解题指南【解题指南】(1)(1)由已知可得动点由已知可得动点P P的轨迹为椭圆的轨迹为椭圆, ,根据根据椭圆的几何性质可求解椭圆的几何性质可求解. .(2)(2)设设P(xP(x0 0,y,y0 0),),利用数量积的坐标运算利用数量积的坐标运算, ,结合椭圆的范结合椭圆的范围解出围解出. .【解析【解析】(1)(1)选选A.A.由题意知点由题意知点P P的轨迹是以的轨迹是以A,BA,B为焦点的为焦点的椭圆椭圆,
12、,所以当点所以当点P P与与A A是同侧顶点时是同侧顶点时,|PA|,|PA|的最小值是的最小值是3-3-2=1,2=1,当点当点P P是与是与A A异侧的顶点时异侧的顶点时,|PA|,|PA|的最大值是的最大值是3+2=5.3+2=5.(2)(2)由题意由题意,F(-1,0),F(-1,0),设点设点P(xP(x0 0,y,y0 0),),则有则有 解得解得 因为因为 =(x=(x0 0+1,y+1,y0 0), =(x), =(x0 0,y,y0 0),),所以所以 此二次函数对应的抛物线的对称轴为此二次函数对应的抛物线的对称轴为x x0 0=-2,=-2,因为因为-2x-2x0 02,2
13、,所以当所以当x x0 0=2=2时时, , 取得最大值取得最大值 +2+3=6.+2+3=6.答案答案: :6 6【方法总结【方法总结】椭圆几何性质的四个作用椭圆几何性质的四个作用(1)(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置椭圆的焦点决定椭圆的位置. .(2)(2)椭圆的顶点决定椭圆的大小椭圆的顶点决定椭圆的大小. .(3)(3)椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度. .(4)(4)对称性是椭圆的重要特征对称性是椭圆的重要特征, ,顶点是椭圆与对称轴的顶点是椭圆与对称轴的交点交点, ,是椭圆重要的特殊点是椭圆重要的特殊点; ;若已知椭圆的标准方程若已知椭圆的标准方程, ,
14、则则根据根据a,ba,b的值可确定其性质的值可确定其性质. .【巩固训练【巩固训练】已知椭圆已知椭圆 =1=1与椭圆与椭圆 =1=1有相同的长轴有相同的长轴, ,椭圆椭圆 =1=1的短轴长与椭圆的短轴长与椭圆 =1=1的短轴长相等的短轴长相等, ,则则( () )A.aA.a2 2=25,b=25,b2 2=16=16B.aB.a2 2=9,b=9,b2 2=25=25C.aC.a2 2=25,b=25,b2 2=9=9或或a a2 2=9,b=9,b2 2=25=25D.aD.a2 2=25,b=25,b2 2=9=9【解析【解析】选选D.D.利用待定系数法利用待定系数法. .因为椭圆因为椭
15、圆 =1=1的长轴长为的长轴长为10,10,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,椭圆椭圆 =1=1的短轴长的短轴长为为6,6,所以所以a a2 2=25,b=25,b2 2=9.=9.【补偿训练【补偿训练】已知椭圆已知椭圆C: +yC: +y2 2=1=1的两焦点为的两焦点为F F1 1,F,F2 2, ,点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )满足满足0 + 1,0 + 1,则则|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2| |的取值的取值范围为范围为_._.【解析【解析】由于由于0 + 1,0 + 1,所以点所以点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在椭圆在椭圆 +y+y2 2=1=1内部
16、内部, ,且不能与原点重合且不能与原点重合. .根据椭圆的定义和几何性质知根据椭圆的定义和几何性质知,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|2a=2 ,|b0)=1(ab0)或或 =1(ab0).=1(ab0).由已知由已知a=2ba=2b且椭圆过点且椭圆过点(2,-6),(2,-6),从而有从而有 由由,得得a a2 2=148,b=148,b2 2=37=37或或a a2 2=52,b=52,b2 2=13.=13.故所求的椭圆的标准方程为故所求的椭圆的标准方程为 (2)(2)由题意由题意, ,得得A A1 1FAFA2 2为等腰直角三角形为等腰直角三角形,OF,OF为斜边为斜边
17、A A1 1A A2 2的中线的中线( (高高),),且且OF=c,AOF=c,A1 1A A2 2=2b,=2b,所以所以c=b=3,c=b=3,所以所以a a2 2=b=b2 2+c+c2 2=18.=18.故所求椭圆的标准方程为故所求椭圆的标准方程为 【补偿训练【补偿训练】求适合下列条件的椭圆方程求适合下列条件的椭圆方程. .(1)(1)经过点经过点A(2,3),A(2,3),对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴, ,焦点焦点F F1 1,F,F2 2在在x x轴上轴上, ,离心率为离心率为 . .(2)(2)对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴, ,经过点经过点P(-6,0)P(-6,0)和和Q(0,
18、8).Q(0,8).【解析【解析】(1)(1)由题意由题意, ,设椭圆方程为设椭圆方程为 =1(ab0),=1(ab0),由由e= e= 得得,a=2c,b,a=2c,b2 2=3c=3c2 2, ,所以所以 =1(*).=1(*).又又A(2,3)A(2,3)在在(*)(*)上上, ,故故c c2 2=4,=4,所以所以 =1=1即为所求即为所求. .(2)(2)由椭圆的几何性质可知由椭圆的几何性质可知, ,椭圆的长轴、短轴分别在椭圆的长轴、短轴分别在y y轴和轴和x x轴上轴上, ,且且a=8,b=6,a=8,b=6,所以所求标准方程为所以所求标准方程为 类型三椭圆的离心率的求法及应用类型
19、三椭圆的离心率的求法及应用【典例【典例3 3】(1)(2016(1)(2016全国卷全国卷)已知已知O O为坐标原点为坐标原点,F,F是是椭圆椭圆C: =1(ab0)C: =1(ab0)的左焦点的左焦点,A,B,A,B分别为分别为C C的左、的左、右顶点右顶点.P.P为为C C上一点上一点, ,且且PFxPFx轴轴. .过点过点A A的直线的直线l与线段与线段PFPF交于点交于点M,M,与与y y轴交于点轴交于点E.E.若直线若直线BMBM经过经过OEOE的中点的中点, ,则则C C的离心率为的离心率为( () )(2)(2)从椭圆从椭圆 =1(ab0)=1(ab0)上一点上一点P P向向x
20、x轴作垂线轴作垂线, ,垂垂足恰为左焦点足恰为左焦点F F1 1,A,A是椭圆与是椭圆与x x轴正半轴的交点轴正半轴的交点,B,B是椭圆是椭圆与与y y轴正半轴的交点轴正半轴的交点, ,且且ABOP(OABOP(O是坐标原点是坐标原点),),求该椭求该椭圆的离心率圆的离心率. .【解题指南【解题指南】(1)(1)点点M M是直线是直线AEAE和直线和直线BMBM的交点的交点, ,点点M M的的横坐标和左焦点相同横坐标和左焦点相同, ,进而找到进而找到a,b,ca,b,c的联系的联系. .(2)(2)利用利用ABOPABOP建立关于建立关于a,b,ca,b,c的齐次等式求解的齐次等式求解. .【
21、解析【解析】(1)(1)选选A.A.由题意可知直线由题意可知直线AEAE的斜率存在的斜率存在, ,设设为为k,k,直线直线AEAE的方程为的方程为y=k(x+ay=k(x+a),),令令x=0x=0可得点可得点E E坐标为坐标为(0,ka),(0,ka),所以所以OEOE的中点的中点H H坐标为坐标为 又右顶点又右顶点B(a,0),B(a,0),所以可得直线所以可得直线BMBM的斜率为的斜率为- ,- ,可设其方程为可设其方程为y=- x+ a,y=- x+ a,联立联立 可得点可得点M M横坐标为横坐标为- ,- ,又点又点M M的横坐标和左焦点相同的横坐标和左焦点相同, ,所以所以- =-
22、c,- =-c,所以所以e= .e= .(2)(2)由题意设由题意设P(-c,yP(-c,y0 0),),将将P(-c,yP(-c,y0 0) )代入代入 得得 =1,=1,则则 所以所以y y0 0= = 或或y y0 0= (= (舍去舍去),),所以所以 所以所以k kOPOP= = 因为因为A(a,0),B(0,b),A(a,0),B(0,b),所以所以k kABAB= = 又因为又因为ABOP,ABOP,所以所以k kABAB=k=kOPOP, ,所以所以 所以所以b=c.b=c.所以所以 【方法总结【方法总结】求椭圆的离心率的两种常见思路求椭圆的离心率的两种常见思路一是先求一是先求
23、a,ca,c, ,再计算再计算e;e;二是依据条件中的关系二是依据条件中的关系, ,结合有关知识和结合有关知识和a,b,ca,b,c的关系的关系, ,构造关于构造关于e e的方程的方程, ,再求解再求解. .注意注意e e的范围的范围:0e1.:0eb0)(ab0)上任意一点上任意一点, ,左、右两焦点分别为左、右两焦点分别为F F1 1,F,F2 2, ,则则:|PF:|PF1 1|=a+ex|=a+ex0 0,|PF,|PF2 2|=a-ex|=a-ex0 0. .2.2.椭圆的第二定义椭圆的第二定义: :当点当点M M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比与一个定点的距离和它到一条定
24、直线的距离的比是常数是常数e= (0e1)e= (0eb0), (ab0),对应焦点对应焦点F(c,0)F(c,0)的准线的准线方程是方程是x= .x= .根据对称性根据对称性, ,对应焦点对应焦点F(-c,0)F(-c,0)的准的准线方程是线方程是x=- .x=- .对于椭圆对于椭圆 =1=1的准线方程是的准线方程是 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比相应准线距离的比, ,这就是离心率的几何意义这就是离心率的几何意义. .【巩固训练【巩固训练】过椭圆过椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的左焦点的左焦点F F1 1作作x
25、 x轴的垂线交椭圆于点轴的垂线交椭圆于点P,FP,F2 2为右焦点为右焦点, ,若若F F1 1PFPF2 2=60=60, ,则椭圆的离心率为则椭圆的离心率为( () )【解析【解析】选选B.B.方法一方法一: :将将x=-cx=-c代入椭圆方程可解得点代入椭圆方程可解得点P ,P ,故故|PF|PF1 1|= ,|= ,又在又在RtRtF F1 1PFPF2 2中中, ,F F1 1PFPF2 2=60=60, ,所以所以|PF|PF2 2|= ,|= ,根据椭圆定义得根据椭圆定义得 =2a,=2a,从而可得从而可得e= e= 方法二方法二: :设设|F|F1 1F F2 2|=2c,|=
26、2c,则在则在RtFRtF1 1PFPF2 2中中, ,|PF|PF1 1|= c,|PF|= c,|PF2 2|= c.|= c.所以所以|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 c=2a,|=2 c=2a,离心率离心率e= e= 【补偿训练【补偿训练】如图所示如图所示,A,B,C,A,B,C分别为椭圆分别为椭圆 =1=1(ab0)(ab0)的顶点与焦点的顶点与焦点, ,若若ABC=90ABC=90, ,则该椭圆的则该椭圆的离心率为离心率为( () )【解析【解析】选选A.A.由由(a+c)(a+c)2 2=a=a2 2+2b+2b2 2+c+c2 2, ,又因为又因为b b2 2=a=a2 2-c-c2 2, ,所以所以c c2 2+ac-a+ac-a2 2=0.=0.因为因为e= e= 所以所以e e2 2+e-1=0,+e-1=0,所以所以 【课堂小结【课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结利用性质画椭圆草图的方法利用性质画椭圆草图的方法(1)(1)定位定位: :依焦点依焦点. .(2)(2)定形定形: :依四个顶点或依四个顶点或a,ba,b的值的值. .
